《概率习题》PPT课件.ppt

习题课参数估计 三 补充练习 一 内容小结 二 典例分析 一 内容小结 1 基本概念 总体X 样本 X1 X2 Xn 样本容量 简单随机样本 2 常用统计量的分布 样本值 x1 x2 xn 统计量g X1 X2 Xn 样本的数字特征 样本均值 样本方差 样本k阶矩 样本k阶中心矩 三大统计分布 设总体X N 0 1 X1 X2 Xn 为样本 则 3 设U 2 n1 V 2 n2 且U与V相互独立 则称随机变量 单个正态总体 设总体X N 2 X1 X2 Xn 为样本 则 两个正态总体 设总体X N 1 12 Y 2 22 且X与Y相互独立 X1 X2 Xn1 Y1 Yn2 分别为取自总体X Y的样本 则 1 一般情况时有 3 3 主要估计方法 矩估计 将要估计的总体参数 表示成总体X的矩的函数 然后用样本的相应的矩的函数作为其估计量进行估计 区间估计 极大似然估计 当我们用样本值估计总体的参数时 应使得当参数取这些值时 所观测到的样本值出现的概率为最大 从已知条件出发 求得一个含有待估参数 的 分布为已知 分布与 无关 的样本函数Z Z X1 X2 Xn 然后根据Z分布的 双侧 分位点 即可求得 的 1 的置信区间 2 当 12 22时 4 上 分位点及双侧 分位点 当n 45时 有近似公式 如若Y服从 如图 则 查表练习 t 分布 F 分布与此类似 一旦r vX的分布为已知 那么X的取值就必定以一定的概率落在一些特定区间内 二 典例分析 例1设总体X的概率密度为 解 1 的矩估计量 其中 1是未知参数 X1 X2 Xn是来自X的一个容量为n的简单随机样本 分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量 1 建立待估参数 与总体的矩之间的关系式 2 用相应的样本矩做总体矩的估计量 代入关系式得到 的估计量 3 代入样本值得到 的估计值 由于总体X的数学期望为 令其等于样本均值 即 解得未知参数 的矩估计量为 2 的极大似然估计量 设 x1 xn 是来自样本 X1 Xn 的一个观测值 则参数 的似然函数为 时 恒有L 0 故 因此 似然方程为 解之 得 的极大似然估计值 从而得 的极大似然估计量为 练习 设总体X的概率密度为P133T9 3 其中 0是未知参数 0是已知常数 试根据来自总体X的简单随机样本X1 X2 Xn 求 的极大似然估计量 解 对数似然函数 令 解得 的极大似然估计值 设 x1 xn 是来自样本 X1 Xn 的一个观测值 则 似然函数 故 的极大似然估计量 例2 投资的回收利润率常常用来衡量投资风险 随机地调查26个年回收利润率 得样本标准差S 15 设回收利润率为正态分布 求它的方差的区间估计 置信度为0 95 解 查自由度为26 1 25的 2分布表得 于是得 2的置信度为0 95的置信区间为 将S2 152 n 25代入得方差 2的置信度为0 95的区间估计为 138 39 428 73 若要求标准差 的置信度为0 95的区间估计为 由 从已知条件出发 寻求一个含有 而不含有其它未知参数 的样本函数 使得随机变量Z的分布为已知的 最好是常用的 分布 根据Z的分布的 分位点 解出 的置信区间 由于总体的均值未知 故选用r v 例3在一批货物的容量为100的样本中 经检验发现16个次品 试求这批货物次品率的95 的置信区间 则 E X p 由独立同分布中心极限定理 分析 设X1 X2 X100为容量100的样本 研究货物的次品率 故设总体 设p为货物次品率 p X 1 p 这是一个什么样的总体 服从什么分布 要估计的是总体的什么参数 求总体参数p的95 的置信区间 代入得 解得次品率p的置信区间为 0 101 0 244 关于p的一元二次不等式 非正态总体参数区间估计的大样本法 例4 设总体X的密度函数 X1 X2 Xn 来自总体X的样本 Yn max X1 X2 Xn 1 证明 和都是 的无偏估计量 2 两个估计量哪个更有效 证 1 又总体X的分布函数为 0是未知参数 因此Yn的分布函数为 都是 的无偏估计量 2 由于方差越小 估计量越有效 因而只需要算出这两个估计量的方差即可 又 故Yn的密度函数 同样求得 更有效 P132T3利用定理2的结论计算 2分布的期望与方差 由期望的性质得E Y nE X2 解 由定理2知 X N 0 1 X1 Xn 为其样本 记 由方差的性质得D Y nD X2 nE X4 n E X2 2 nD X nE2 X n 1 设总体X方差为1 根据来自X的容量为100的简单随机样本 测得样本均值为5 则X的数学期望的置信度近似等于0 95的置信区间为 4 802 5 196 2 设来自正态总体X N 0 92 容量为9的简单随机样本均值为5 则未知参数 的置信度为0