等差数列的前n项和单元训练题.docx

简单的线性规划问题检测试题1目标函数z4xy，将其看成直线方程时，z的几何意义是()A该直线的截距B该直线的纵截距C该直线的横截距D该直线的纵截距的相反数解析：选B.把z4xy变形为y4xz，则此方程为直线方程的斜截式，所以z为该直线的纵截距2若x0，y0，且xy1，则zxy的最大值为()A1 B1C2 D2答案：B3若实数x、y满足xy20，x4，y5，则sxy的最大值为_解析：可行域如图所示，作直线yx，当平移直线yx至点A处时，sxy取得最大值，即smax459.答案：94已知实数x、y满足y2xy2x.x3(1)求不等式组表示的平面区域的面积；(2)若目标函数为zx2y，求z的最小值解：画出满足不等式组的可行域如图所示：(1)易求点A、B的坐标为：A(3,6)，B(3，6)，所以三角形OAB的面积为：SOAB1212318.(2)目标函数化为：y12xz2，画直线y12x及其平行线，当此直线经过A时，z2的值最大，z的值最小，易求A 点坐标为(3,6)，所以，z的最小值为3269.一、选择题1zxy在2xy10x2y10 xy1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为()A(0,1) B(1，1)C(1,0) D(12，12)解析：选C.可以验证这四个点均是可行解，当x0，y1时，z1；当x1，y1时，z0；当x1，y0时，z1；当x12，y12时，z0.排除A，B，D.2(2010年高考浙江卷)若实数x，y满足不等式组x3y30，2xy30，xy10，则xy的最大值为()A9 B.157C1 D.715解析：选A.画出可行域如图：令zxy，可变为yxz，作出目标函数线，平移目标函数线，显然过点A时z最大由2xy30，xy10，得A(4,5)，zmax459.3在ABC中，三顶点分别为A(2,4)，B(1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在ABC内部及其边界上运动，则myx的取值范围为()A1,3 B3,1C1,3 D3，1解析：选C.直线myx的斜率k11kAB23，且k11kAC4，直线经过C时m最小，为1，经过B时m最大，为3.4已知点P(x，y)在不等式组x20y10x2y20表示的平面区域内运动，则zxy的取值范围是()A2，1 B2,1C1,2 D1,2解析：选C.先画出满足约束条件的可行域，如图阴影部分，zxy，yxz.由图知截距z的范围为2，1，z的范围为1,25设动点坐标(x，y)满足(xy1)(xy4)0，x3，y1.则x2y2的最小值为()A.5 B.10C.172 D10解析：选D.画出不等式组所对应的平面区域，由图可知当x3，y1时，x2y2的最小值为10.6(2009年高考四川卷)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是() w w w .x k b 1.c o mA12万元 B20万元C25万元 D27万元解析：选D.设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z5x3y.由题意得x0，y0，3xy13，2x3y18，可行域如图阴影所示由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x3，y4，z533427(万元)二、填空题7点P(x，y)满足条件0x10y1，yx12则P点坐标为_时，z42xy取最大值_解析：可行域如图所示，新课标第一网当y2x最大时，z最大，此时直线y2xz1，过点A(0,1)，(z1)max1，故当点P的坐标为(0,1)时z42xy取得最大值5.答案：(0,1)58已知点P(x，y)满足条件x0yx2xyk0(k为常数)，若x3y的最大值为8，则k_.解析：作出可行域如图所示：作直线l0x3y0，平移l0知当l0过点A时，x3y最大，由于A点坐标为(k3，k3)k3k8，从而k6.答案：69(2010年高考陕西卷)铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：a b/万吨 c/百万元A 50% 1 3B 70% 0.5 6某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为_(百万元)解析：设购买A、B两种铁矿石分别为x万吨、y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则z3x6y.由题意可得约束条件为12x710y1.9，x12y2，x0，y0.作出可行域如图所示：由图可知，目标函数z3x6y在点A(1,2)处取得最小值，zmin316215答案：15三、解答题10设z2y2x4，式中x，y满足条件0x10y22yx1，求z的最大值和最小值解：作出不等式组0x10y22yx1的可行域(如图所示)令t2y2x则zt4.将t2y2x变形得直线lyxt2.则其与yx平行，平移直线l时t的值随直线l的上移而增大，故当直线l经过可行域上的点A时，t最大，z最大；当直线l经过可行域上的点B时，t最小，z最小zmax222048，zmin212144.11已知实数x、y满足约束条件xay102xy0x1(aR)，目标函数zx3y只有当x1y0时取得最大值，求a的取值范围解：直线xay10过定点(1,0)，画出区域2xy0，x1，让直线xay10绕着(1, 0)旋转得到不等式所表示的平面区域平移直线x3y0，观察图象知必须使直线xay10的斜率1a0才满足要求，故a0.12某家具厂有方木料90 m3 ，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2；生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元；出售一个书橱可获利润120元(1)如果只安排生产方桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所获利润最大？解：由题意可画表格如下：方木料(m3) 五合板(m2) 利润(元)书桌(个) 0.1 2 80书橱(个) 0.2 1 120(1)设只生产书桌x张，可获利润z元，则0.1x902x600xN*x900x300xN*x300，xN*.目标函数为z80x.所以当x300时，zmax8030024000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24000元(2)设只生产书橱y个，可获利润z元，则0.2y901y600yN*y450y600yN*y450，yN*.目标函数为z120y.所以当y450时，zmax12045054000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54000元(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则0.1x0.2y902xy600x0，xNy0，xNx2y900，2xy600，x0，y0，且xN，yN.目标函数为z 80x120y.在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域 ，即可行域(图略)作直线l80x120y0，即直线l2x3y0(图略)把直线l向右上方平移，当直线经过可行域上的直线x2y900,2xy600的交点时，此时z80x120y取得最大值由x2y9002xy600解得交点的坐标为(100,400)所以当x100，y400时，zmax8010012040056000(元)因此，生产书桌100张，书橱400个，可使所获利润最大基本不等式训练题1若xy0，则对 xyyx说法正确的是()A有最大值2 B有最小值2C无最大值和最小值 D无法确定答案：B2设x，y满足xy40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()A400 B100C40 D20答案：A3已知x2，则当x_时，x4x有最小值_答案：244已知f(x)12x4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值；(2)当x0 时，求f(x)的最大值解：(1)x0，12x，4x0.12x4x212x4x83.当且仅当12x4x，即x3时取最小值83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)x0，x0.则f(x)12x(4x)212x(4x)83，当且仅当12x4x时，即x3时取等号当x0时，f(x)的最大值为83.一、选择题1下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()Ax12x Bx211x21C2x2x Dx(1x)答案：C2函数y3x26x21的最小值是()A323 B3C62 D623解析：选D.y3(x22x21)3(x212x211)3(221)623.3已知m、nR，mn100，则m2n2的最小值是()A200 B100C50 D20解析：选A.m2n22mn200，当且仅当mn时等号成立4给出下面四个推导过程：a，b(0，)，baab2baab2；x，y(0，)，lgxlgy2lgxlgy；aR，a0，4aa 24aa4；x，yR，xy0，xyyx(xy)(yx)2(xy)(yx)2.其中正确的推导过程为()A BC D解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑a，b(0，)，ba，ab(0，)，符合基本不等式的条件，故的推导过程正确；虽然x，y(0，)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，的推导过程是错误的；aR，不符合基本不等式的条件，4aa24aa4是错误的；由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xyyx提出负号后，(xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故正确5已知a0，b0，则1a1b2ab的最小值是()A2 B22C4 D5解析：选C.1a1b2ab2ab2ab2224.当且仅当abab1时，等号成立，即ab1时，不等式取得最小值4.6已知x、y均为正数，xy8x2y，则xy有()A最大值64 B最大值164C最小值64 D最小值164解析：选C.x、y均为正数，xy8x2y28x2y8xy，当且仅当8x2y时等号成立xy64.二、填空题7函数yx1x1(x0)的最小值为_答案：18若x0，y0，且x4y1，则xy有最_值，其值为_解析：1x4y2x4y4xy，xy116.答案：大1169(2010年高考山东卷)已知x，yR，且满足x3y41，则xy的最大值为_解析：x0，y0且1x3y42xy12，xy3.当且仅当x3y4时取等号答案：3三、解答题10(1)设x1，求函数yx4x16的最小值；(2)求函数yx28x1(x1)的最值解：(1)x1，x10.yx4x16x14x152 (x1)4x159，当且仅当x14x1，即x1时，取等号x1时，函数的最小值是9.(2)yx28x1x219x1(x1)9x1(x1)9x12.x1，x10.(x1)9x122(x1)9x128.当且仅当x19x1，即x4时等号成立，y有最小值8.11已知a，b，c(0，)，且abc1，求证：(1a1)(1b1)(1c1)8.证明：a，b，c(0，)，abc1，1a11aabcabaca2bca，同理1b12acb，1c12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a1)(1b1)(1c1)8.当且仅当abc时取等号12某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米总造价f(x)400(2x2200x)100200x60200800(x225x)120001600x225x1200036000(元)当且仅当x225x(x0)，即x15时等号成立等差数列的前n项和训练题1若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为()A360 B370C380 D390答案：C2已知a11，a86，则S8等于()A25 B26C27 D28答案：D3设等差数列an的前n项和为Sn，若a6S312，则an的通项an_.解析：由已知a15d123a13d12a12，d2.故an2n.答案：2n4在等差数列an中，已知a514，a720，求S5.解：da7a575201423，a1a54d14122，所以S55(a1a5)25(214)240.一、选择题1(2011年杭州质检)等差数列an的前n项和为Sn，若a21，a33，则S4()A12 B10C8 D6解析：选C.da3a22，a11，S44a143228.2在等差数列an中，a2a519，S540，则a10()A24 B27C29 D48解析：选C.由已知2a15d19，5a110d40.解得a12，d3.a1029329. X k b 1 . c o m3在等差数列an中，S10120，则a2a9()A12 B24C36 D48解析：选B.S1010(a1a10)25(a2a9)120.a2a924.4已知等差数列an的公差为1，且a1a2a98a9999，则a3a6a9a96a99()A99 B66C33 D0解析：选B.由a1a2a98a9999，得99a19998299.a148，a3a12d46.又a3n是以a3为首项，以3为公差的等差数列a3a6a9a9933a333322333(4846)66.5若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有()A13项 B12项C11项 D10项解析：选A.a1a2a334，anan1an2146，又a1ana2an1a3an2，得3(a1an)180，a1an60.Sn(a1an)n2390.将代入中得n13.6在项数为2n1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于()A9 B10C11 D12解析：选B.由等差数列前n项和的性质知S偶S奇nn1，即150165nn1，n10.二、填空题7设数列an的首项a17，且满足an1an2(nN*)，则a1a2a17_.解析：由题意得an1an2，an是一个首项a17，公差d2的等差数列a1a2a17S1717(7)171622153.答案：1538已知an是等差数列，a4a66，其前5项和S510，则其公差为d_.解析：a4a6a13da15d6.S55a1125(51)d10.w由得a11，d12.