两个平面平行的判定和性质.ppt

面面平行的判定和性质 一 面 面平行的定义与表示方法 平行平面的定义 如果两个平面没有公共点 那么这两个平面叫做平行平面 记作 1 两个平面的位置关系 没有公共点 有一条公共直线 2 平行平面的画法 在画两个平面平行时 通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行线 一般画法 错误画法 思考题 1 如果一个平面内的一条直线与另一个平面平行 能否说明平面与平面平行 2 要求一个平面内的多少条直线与另一个平面平行才可判定两个平面平行呢 通过上面的两个问题 我们感觉到判定面面平行转化为线面平行时不是条数的问题 而是要求一个平面内的直线之间具备某种关系 二 两个平面平行的判定 判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 M 图形语言 符号语言 已知 在平面内有两条直线 相交且和平面平行 求证 证明 用反证法 假设 同理 这与题设和是相交直线矛盾 判定定理简而言之为 一交 两在 两平行 线面平行面面平行 A 推论 如果一个平面内有两条相交直线分别平行与另一个平面内的两条直线 那么这两个平面平行 m n 练习 判断下列命题是否正确 并说明理由 1 若平面 内的两条直线分别与平面 平行 则 与 平行 2 若平面 内有无数条直线分别与平面 平行 则 与 平行 3 平行于同一直线的两个平面平行 4 两个平面分别经过两条平行直线 这两个平面平行 5 a b为异面直线 且分别在平面 和 内 若a b 则 6 过已知平面外一条直线 必能作出与已知平面平行的平面 例题1 已知三棱锥P ABC中 D E F 分别是PA PB PC的中点 求证 平面DEF 平面ABC 证明 在 PAB中 因为D E分别是PA PB的中点 所以DE AB 因此DE 平面ABC 又知DE平面ABC 同理EF 平面ABC 又因为DE EF E 所以平面DEF 平面ABC 例1 如图 在长方体中 求证 平面平面 证明 是平行四边形 平面 平面 思考 如果两个平面平行 那么 1 一个平面内的直线是否平行于另一个平面 由思考一可以得到证明线面平行的另一种方法 即可以用面面平行证明线面平行 2 分别在两个平面内的两条直线是否平行 可以由反证法说明 线面无交点 4 平面与平面平行的性质定理 符号语言 a b 则a b 与没有公共点 与也没有公共点 证明 练习2 1 两条直线被三个平行平面所截 截得的对应线段成比例 已知 平面 平面 平面 两条直线l m分别与平面 平面 平面 相交于点A B C和点D E F 求证 证明 连接DC 设DC与平面 相交于点G 则平面ACD与平面 分别相交于直线AD BG 平面DCF与平面 分别相交于直线GE CF 因为 所以BG AD GE CF 于是得 所以 2 已知三棱锥P ABC中 D E F 分别是PA PB PC的中点 求证 平面DEF 平面ABC 证明 在 PAB中 因为D E分别是PA PB的中点 所以DE AB 因此DE 平面ABC 又知DE平面ABC 同理EF 平面ABC 又因为DE EF E 所以平面DEF 平面ABC 3 已知a AB和DC为夹在 间的平行线段 求证 AB DC 证明 连接AD BC AB DC AB和DC确定平面AC 又因直线AD BC分别是平面AC与平面 的交线 AD BC 四边形ABCD是平行四边形 AB DC 性质 夹在两个平行平面间的平行线段相等 性质 经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行 两个平面平行的其它性质 性质 如果两个平面平行 那么其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行 1 六棱柱的表面中 互相平行的面最多有 对 2 如图 设E F E1 F1分别是长方体ABCD A1B1C1D1的棱AB CD A1B1 C1D1的中点 求证 平面ED1 平面BF1 分析 在其中一个平面内找两条相交直线平行另一个平面即可 4 3 已知a b为异面直线 求证过a b分别存在平面 和 且 提示 在a上取一点A 过A作直线b b 同样在b上