5.6运用数学归纳法证明不等式.ppt

数学归纳法 请问 以上三个结论正确吗 为什么 得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点 共同点 均用了归纳法得出结论 不同点 问题1 2是用的不完全归纳法 问题3是用的完全归纳法 一 提出问题 1 错 2 对 3 对 问题情境二 数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例 猜想 都是质数 法国的数学家费马 PierredeFermat 1601年 1665年 十七世纪最卓越的数学家之一 他在数学许多领域中都有极大的贡献 因为他的本行是专业的律师 为了表彰他的数学造诣 世人冠以 业余王子 之美称 二 概念 1 归纳法定义 对于某类事物 由它的一些特殊事例或其全部可能情况 归纳出一般结论的推理方法 叫归纳法 2 归纳法分类 归纳法 想一想 由两种归纳法得出的结论一定正确吗 说明 1 不完全归纳法有利于发现问题 但结论不一定正确 2 完全归纳法结论可靠 但一一核对困难 提出问题 如何寻找一种严格推理的归纳法 二 挖掘内涵 形成概念 证明某些与自然数有关的数学题 可用下列方法来证明它们的正确性 1 验证当n取第一个值n0 例如n0 1 时命题成立 2 假设当n k k N k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 完成这两步 就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立 这种证明方法叫做数学归纳法 归纳奠基 归纳递推 问题情境三 多米诺骨牌课件演示 3 数学归纳法 思考题 1 数学归纳法能证明什么样类型的命题 2 数学归纳法有几个步骤 每个步骤说明什么问题 3 为什么这些步骤缺一不可 4 数学归纳法是完全归纳法还是不完全归纳法 二 数学归纳法的步骤 根据 1 2 知对任意的时命题成立 注 1 证明当取第一个值或时结论正确 两个步骤缺一不可 仅靠第一步不能说明结论的普遍性 仅有第二步没有第一步 就失去了递推的依据 只有把第一 二步的结论结合在一起才能得出普遍性结论 因此完成一二两步后 还要做一个总的结论 3 数学归纳法用来证明与正整数有关的命题 1 2 数学归纳法的应用 题型一用数学归纳法证明等式问题 题型二用数学归纳法证明不等式问题 题型三用数学归纳法证明整除问题 题型四用数学归纳法证明几何问题 题型五用数学归纳法解决探究性问题 证明 1 当n 1时 左 12 1 右 n 1时 等式成立2 假设n k时 等式成立 即那么 当n k 1时左 12 22 k2 k 1 2 右 n k 1时 原等式成立由1 2知当n N 时 原等式都成立 例1 用数学归纳法证明 第二步的证明要用上归纳假设 题型一用数学归纳法证明等式问题 第二步的证明要用上归纳假设 用数学归纳法证明 证明 请你来批作业 第二步的证明没有用上归纳假设 例3 已知正数数列 an 中 前n项和为sn 且用数学归纳法证明 证 1 当n 1时 1 结论成立 2 假设当n k时 结论成立 即 则当n k 1时 故当n k 1时 结论也成立 根据 1 2 知 对一切正整数n 结论都成立 第二步的证明要用上归纳假设 1 在第二步中 证明n k 1命题成立时 必须用到n k命题成立这一归纳假设 否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系 造成推理无效 证明中的几个注意问题 2 在第一步中的初始值不一定从1取起 证明时应根据具体情况而定 3 在证明n k 1命题成立用到n k命题成立时 要分析命题的结构特点 分析 n k 1时 命题是什么 并找出与 n k 时命题形式的差别 弄清应增加的项 1 明确首先取值n0并验证命题真假 必不可少 2 假设n k时命题正确 并写出命题形式 3 分析 n k 1时 命题是什么 并找出与 n k 时命题形式的差别 弄清左端应增加的项 4 明确等式左端变形目标 掌握恒等式变形常用的方法 乘法公式 因式分解 添拆项 配方等 5 两个步骤 一个结论缺一不可 否则结论不能成立 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项 卡盟排行榜卡盟 MicrosoftOfficePowerPoint 是微软公司的演示文稿软件 用户可以在投影仪或者计算机上进行演示 也可以将演示文稿打印出来 制作成胶片 以便应用到更广泛的领域中 利用MicrosoftOfficePowerPoint不仅可以创建演示文稿 还可以在互联网上召开面对面会议 远程会议或在网上给观众展示演示文稿 叫演 题型二用数学归纳法证明不等式问题 例5 用数学归纳法证明 证 1 当n 2时 左边 不等式成立 2 假设当n k k 2 时不等式成立 即有 则当n k 1时 我们有 题型二用数学归纳法证明不等式问题 即当n k 1时 不等式也成立 由 1 2 原不等式对一切都成立 例6 证明不等式 证 1 当n 1时 左边 1 右边 2 不等式显然成立 2 假设当n k时不等式成立 即有 则当n k 1时 我们有 即当n k 1时 不等式也成立 根据 1 2 可知 原不等式对一切正整数都成立 例7 求证 证 1 当n 2时 左边 右边 由于故不等式成立 2 假设n k 时命题成立 即 则当n k 1时 即当n k 1时 命题成立 由 1 2 原不等式对一切都成立 例8 已知x 1 且x 0 n N n 2 求证 1 x n 1 nx 2 假设n k时 不等式成立 即 1 x k 1 kx当n k 1时 因为x 1 所以1 x 0 于是左边 1 x k 1 1 x k 1 x 1 x 1 kx 1 k 1 x kx2 右边 1 k 1 x 因为kx2 0 所以左边 右边 即 1 x k 1 1 k 1 x 这就是说 原不等式当n k 1时也成立 根据 1 和 2 原不等式对任何不小于2的自然数n都成立 证明 1 当n 2时 左 1 x 2 1 2x x2 x 0 1 2x x2 1 2x 右 n 1时不等式成立 例9 已知求证 证 1 当n 2时 不等式成立 2 假设当n k k 2 时不等式成立 即 则当n k 1时 有 即当n k 1时 不等式成立 由 1 2 所证不等式对一切都成立 题型三用数学归纳法证明整除问题 例11 用数学归纳法证明 当n为正偶数时 xn yn能被x y整除 证 1 当n 2时 x2 y2 x y x y 即能被x y整除 故命题成立 2 假设当n 2k时 命题成立 即x2k y2k能被x y整除 则当n 2k 2时 有 都能被x y整除 故x2k 2 y2k 2能被x y整除 即当n 2k 2时命题成立 由 1 2 知原命题对一切正偶数均成立 例12 用数学归纳法证明 能被8整除 证 1 当n 1时 A1 5 2 1 8 命题显然成立 2 假设当n k时 Ak能被8整除 即是8的倍数 那么 因为Ak是8的倍数 3k 1 1是偶数即4 3k 1 1 也是8的倍数 所以Ak 1也是8的倍数 即当n k 1时 命题成立 由 1 2 知对一切正整数n An能被8整除 例13 求证 x3n 1 x3n 2 1能被x2 x 1整除 证 1 当n 1时 x3n 1 x3n 2 1 x2 x 1 从而命题成立 2 假设当n k时命题成立 即x3k 1 x3k 2 1能被x2 x 1整除 则当n k 1时 x3 k 1 1 x3 k 12 1 x3k 2 x3k 1 1 x3 x3k 1 x3k 2 1 x3 1 x3 x3k 1 x3k 2 1 x 1 x2 x 1 因为x3k 1 x3k 2 1 x2 x 1都能被x2 x 1 整除 所以上式右边能被x2 x 1整除 即当n k 1时 命题成立 根据 1 2 知 对一切正整数n 命题成立 题型四用数学归纳法证明几何问题 例15 平面内有n n 2 条直线 任何两条都不平行 任何三条不过同一点 问交点的个数为多少 并证明 当n k 1时 第k 1条直线分别与前k条直线各交于一点 共增加k个点 由1 2 可知 对一切n N 原命题均成立 证明 1 n 2时 两条直线交点个数为1 而f 2 2 2 1 1 命题成立 k 1条直线交点个数 f k k k k 1 k k k 1 2 k k 1 k 1 k 1 1 f k 1 即当n k 1时命题仍成立 2 假设n k k N k 2 时 k条直线交点个数为f k k k 1 题型四用数学归纳法证明几何问题 题型五用数学归纳法解决探