多项式插值的震荡现象.doc

第二次作业多项式插值的振荡现象实验2.1 多项式插值的振荡现象问题提出：考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然Lagrange插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。我们自然关心插值多项式的次数增加时，是否也更加靠近被逼进的函数。设区间-1，1上函数实验内容：考虑区间-1,1的一个等距划分，分点为则拉格郎日插值多项式为其中，是n次lagrange插值基函数。function t_charpt2%输入插值结点result=inputdlg(请输入插值结点数N1：,charpt_2,1,3)N1=str2num(char(result);result=inputdlg(请输入插值结点数N2：,charpt_2,1,5)N2=str2num(char(result);result=inputdlg(请输入插值结点数N3：,charpt_2,1,10)N3=str2num(char(result);result=inputdlg(请输入插值结点数N4：,charpt_2,1,15)N4=str2num(char(result);if(N11|N21|N31|N41) errordlg(结点输入错误！);return;end%插值结点小于1时错误f=inline(1./(1+25*x.2);a=-1;b=1;%标准函数fx1=linspace(a,b,N1+1);x2=linspace(a,b,N2+1);x3=linspace(a,b,N3+1);x4=linspace(a,b,N4+1);y1=feval(f,x1);y2=feval(f,x2);y3=feval(f,x3);y4=feval(f,x4);x=a:0.1:b;inter1=Lagrange(x1,y1,x);inter2=Lagrange(x2,y2,x);inter3=Lagrange(x3,y3,x);inter4=Lagrange(x4,y4,x);%inter1为插值结点为3，inter2为插值结点为5，inter3为插值结点为10，inter4为插值结点为15fplot(f,a,b,-);%画标准函数f的图形hold on;plot(x,inter1,-);plot(x,inter2,*);plot(x,inter3,-.);plot(x,inter4,:);%画插值逼近函数legend(f,inter1,inter2,inter3,inter4)xlabel(x);ylabel(y=f(x) o and y=Ln(x)-); %-function y=Lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if(j=k) p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=s+p*y0(k); end y(i)=s;end图1、函数的拉格朗日插值多项式结果分析：多项式插值逼近结果如图所示，inter1为插值结点为3，inter2为插值结点为5，inter3为插值结点为10，inter4为插值结点为15。当结点数由3个结点增加为5个结点时，函数图形越接近，当插值结点增加到10时，曲线光滑，函数逼近效果在曲线的中间部分（-0.6，0.6）比较好，但是由上图在两个端点处x=-1和x=1附近时会出现在与原函数f(x)偏差会很大（龙格现象）。可以看出，适当提高插值多项式次数，可以提高逼近的精度，但是太高反而会产生不良的现象。由函数和的拉格郎日插值多项式的逼近结果可以得出相同的结论。图2、函数的拉格郎日插值多项式图3、函数拉格郎日插值多项式由