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第四章 相似矩阵1试用施密特法把下列向量组正交化：(1)； (2)解(1)根据施密特正交化方法: 令，故得: 2下列矩阵是不是正交阵:(1); (2)解(1)第一个行向量非单位向量,故不是正交阵(2)该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵3设与都是阶正交阵，证明也是正交阵证明 因为是阶正交阵，故，故也是正交阵4求下列矩阵的特征值和特征向量:(1); (2); (3).并问它们的特征向量是否两两正交?解 (1)故的特征值为当时,解方程,由 得基础解系所以是对应于的全部特征值向量当时,解方程,由 得基础解系所以是对应于的全部特征向量故不正交(2)故的特征值为当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量.当时,解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量；当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量，所以两两正交(3) = , 当时，取为自由未知量，并令，设.故基础解系为当时，可得基础解系综上所述可知原矩阵的特征向量为5设方阵与相似，求.解 方阵与相似，则与的特征多项式相同，即6设都是阶方阵，且，证明与相似证明 则可逆 则与相似7设3阶方阵的特征值为；对应的特征向量依次为，求.解 根据特征向量的性质知可逆,得:可得得8设3阶对称矩阵的特征值6，3，3，与特征值6对应的特征向量为,求.解 设由，知因为3是的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知的秩为1，故利用可推出秩为1.则存在实的使得成立由解得得9试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵:(1);(2)解(1)故得特征值为当时，由解得单位特征向量可取:当时,由解得单位特征向量可取: 当时,由解得单位特征向量可取: 得正交阵，(2)，故得特征值为当时，由解得此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量，单位化得当时,由解得单位化:得正交阵10(1)设，求；(2)设,求解(1)是实对称
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