《概率统计》PPT课件.ppt

1 2 5几种重要的连续型分布 指数分布正态分布 分布 对数正态分布 前面我们曾经讨论的均匀分布是最简单的常用连续型分布 在这一节里 将介绍另几种常用连续型分布 它们有着广泛的应用背景 2 指数分布 定义 如果随机变量X的概率密度为 其中 0 则称X服从参数为 的指数分布 X Exp 易知 其分布函数为 3 指数分布的分布函数推导 当x 0时 当x 0时 4 指数分布的期望 方差 5 指数分布应用背景 指数分布经常用来作各种 寿命 分布的近似 如随机服务系统中的服务时间 某些消耗性产品 电子元件等 的寿命 产品首次发生故障 需要维修 的时间都常被假定服从指数分布 某产品的寿命T服从参数为 0 002的指数分布 则该产品的平均寿命E T l 1 0 002 1 500对指数分布 任何实数a b 0 a b 有 6 例题与解答 例1 某电子元件的寿命X 年 服从参数为3的指数分布 1 求该电子元件寿命超过2年的概率 2 已知该电子元件已使用了1 5年 求它还能使用两年的概率为多少 解 由题意可知 X 电子元件在已使用t小时之后再使用s小时的概率 与它使用s小时的概率是相同的 称这样的随机变量具有 无记忆性 正是指数分布的重要特点 7 指数分布的无后效性 定理 设X是连续型非负随机变量 则X服从指数分布 P X s t X s P X t 的充分必要条件是对任何的s t 0 有 无后效性是指数分布的特征 8 例题与解答 例2 顾客在某银行窗口等待服务的时间X服从参数为1 5的指数分布 X的计时单位为分钟 若等待时间超过10分钟 则他就离开 设他一个月内要来银行5次 以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数 求Y分布律及至少有一次没有等到服务的概率P Y 1 解 由题意不难看出Y B 5 p 而其中的概率p P X 10 现X的概率密度函数为 因此 Y的分布律为 于是P Y 1 1 P Y 0 1 1 e 2 5 0 5167 9 例题与解答 例3 某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T 设 0 t 时段内过桥的汽车数Xt服从参数为 t的泊松分布 求T的概率密度 解 当t 0时 当t 0时 1 P 在t时刻之前无汽车过桥 于是 10 正态分布 正态分布也叫高斯分布 正态分布是实践中应用最为广泛 在理论上研究最多的分布之一 故它在概率统计中占有特别重要的地位 正态分布是自然界最常见的一种分布 例如测量的误差 人的生理尺寸 身高 体重 一个班的考试成绩 普通人的年收入 工厂产品的尺寸 直径 长度 宽度 高度 一个地区的降雨量等等都近似服从正态分布 一般说来 若某一数量指标受到大量微小的 独立的随机因素的影响 则这个指标服从正态分布 11 正态分布 定义 如果连续型随机变量X的概率密度为 其中s m为常数 并且s 0 则称X服从正态分布 简记作X N m s2 特别地 当m 0 s 1时 称其为标准正态分布 其概率密度记为j x 这时X N 0 1 12 泊松积分公式 13 决定了图形的中心位置 决定了图形中峰的陡峭程度 正态分布的图形特点 14 正态分布的两个特性 1 单峰对称密度曲线关于直线x 对称f maxf x 2 的大小直接影响概率的分布 越大 曲线越平坦 越小 曲线越陡峻 15 标准正态分布密度函数图 16 标准正态分布密度函数特性 1 j x 有各阶导数 2 j x j x 偶函数 3 在 0 内严格上升 在 0 严格下降 在x 0处达到最大值 j 0 2 1 2 0 3989 4 在x 1处有两个拐点 5 x轴是j x 的水平渐近线 标准正态分布分布函数表示为 17 因此对同一长度的区间 若此区间越靠近点x 0 则其 即X在该区间上取值的概率 所以标准正态分布的分布规律是 中间多 两头少 越大 对应的曲边梯形的面积越大 18 正态分布的期望 若随机变量X N 2 则EX 证明 19 正态分布的方差 若随机变量X N 2 则DX 2 证明 20 x 当时 1 表中x的取值范围 0 4 49 2 当时 则有 x x 当x 4 5时 标准正态分布函数表 21 x 的计算 1 x 0时 查标准正态分布分布函数表 2 x 0时 用 若X N 0 1 则 1 P X a a 2 P X a 1 a 3 P a X b b a 4 若a 0 则P X a P a X a a a a 1 a 2 a 1 22 例题与解答 例4 X N 0 1 求P X 1 96 P X 1 96 P X 1 96 P 1 X 2 P X 5 9 解P X 1 96 F 1 96 0 975P X 1 96 F 1 96 1 F 1 96 1 0 975 0 025P X 1 96 P 1 96 X 1 96 2F 1 96 1 0 95P 1 X 2 F 2 F 1 F 2 1 F 1 0 81855P X 5 9 F 5 9 1 23 一般正态分布的标准化 定理设X N 2 则Y N 0 1 推论 若X N 2 则 24 标准正态分布的重要性在于 都可以通过线性变换转化为标准正态分布 证明 X 即 任何一个一般的正态分布 25 例题与解答 例5 X N 8 0 52 求P X 8 1 及P X 10 解 因为X N 8 0 52 所以 X 8 0 5 N 0 1 26 例题与解答 例6 X N 2 P X 5 0 045 P X 3 0 618 求 及 解 27 例题与解答 例7 某地抽样调查结果表明 考生的外语成绩 百分制 近似地服从正态分布 平均成绩为72分 96分以上的考生占考生总数的2 3 试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率 28 3 原则 例8 设X N 2 求P 3 3 的值 如在质量控制中 常用标准指标值 3 作两条线 当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报 表明生产出现异常 29 正态分布的3 原则 设X N 2 则 P X 2 1 1 68 27 P X 2 2 2 1 95 45 P X 3 2 3 1 99 73 P X 6 99 999999802682 30 例题与解答 例9一种电子元件的使用寿命 小时 服从正态分布 100 225 某仪器上装有3个这种元件 三个元件损坏与否是相互独立的 求使用的最初90小时内无一元件损坏的概率 解 设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数 则Y B 3 p 其中 故 31 设X N 0 1 求Y X2的密度函数 解 Y是非负随机变量 是连续函数 对y 0可微 所以Y的密度是 对y 0 分布函数 课堂练习 32 设X为连续型随机变量 其密度函数为p x 而Y f X 如f x 在不相重叠的区间I1 I2 上逐段严格单调 其反函数分别为h1 y h2 y 而且h 1 y h 2 y 均为连续函数 那么Y f X 是连续型随机变量 其密度函数为 33 设X N 0 1 求Y X2的密度函数 解 y f x x2 分段单调 因此Y的密度函数为 34 已知电源电压X N 220 252 单位 伏 在电源电压不超过200伏 200 240伏和超过240伏三种情况 某种电子元件损坏的概率分别为0 1 0 001和0 2 试求 1 该电子元件损坏的概率 2 该电子元件损坏时 电源电压在200 240之间的概率 解 设B 电子元件损坏 Ai 三种电压 i 1 2 3 且 或 则A1 A2 A3是一完备事件组 35 解 1 2 36 分布 定义 如果随机变量X的概率密度为 则称X服从 分布 简记作X r 其中 r均为常数 函数 37 分布的特例 分布中 若r 1 就是参数为 的指数分布 若r为正整数时 有 r r 1 此时的 分布就是排队论中常用的r阶厄兰 Erlang 分布 若 1 2 r n 2 其中n是自然数 则 分布便成了具有n个自由度的 2分布 简记为X 2 n 2分布是数理统计中最重要的几个常用统计量的分布之一 2 n 分布的密度函数为 38 2分布与正态分布的关系 定理 设X N 0 1 则X2 2 1 证明 设X2的概率密度为fX2 x X的概率密度仍用 x 表示 由分布函数法FX2 x P X2 x 当x 0时 FX2 x 0 故fX2 x 0 当x 0时 FX2 x P X2 x P x1 2 X x1 2 F x1 2 F x1 2 所以 39 对数正态分布 某些连续型随机变量本身并不服从正态分布 但经适当变换后就服从或近似服从正态分布 其中有一类随机变量经对数变换后服从正态分布 这就是所谓的 对数正态随机变量 定义 如果随机变量X的概率密度为 其中 0 则称X服从参数为 和 2的对数正态分布 40 对数正态分布与正态分布关系 定理 1 若X N 2 则Y eX服从参数为 和 2的对数正态分布 定理 2 若Y服从参数为 和 2的对数正态分布 则X lnY N 2 另外 参数为 和 2的对数正态分布的期望 方差为 41 一般正态与标准正态的关系 定理 如果