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了解课标了解高考完善自我超越自我 高考数学命题的思路与方法陈惠勇博士hychen 江西师范大学数学与信息科学学院2013 8 陈惠勇 中国科学院数学与系统科学研究院博士北京师范大学数学科学学院博士后中国数学会数学史学会理事全国数学教育研究会常务理事江西省高等师范教育数学教学研究会秘书长江西省中学数学教学专业委员会副主任委员 提纲 0序言1课程理念解读2高考大纲 说明 解读3高考数学试题命制的思路与方法 一 函数与导数 二 立体几何 三 数列 四 创新题型举例 五 命题思路分析举例 解析几何4完善自我超越自我 0序言 Thereisnoroyalroadtogeometry EuclidofAlexandriaabout325BC about265BC 知己知彼百战不殆 孙子 谋攻篇 高考命题指导思想 坚持 有助于高校科学公正地选拔人才 有助于推进普通高中课程改革 实施素质教育 的原则 体现普通高中课程标准的基本理念 以能力立意 将知识 能力和素质融为一体 全面检测考生的数学素养 发挥数学作为主要基础学科的作用 考查考生对中学数学的基础知识 基本技能的掌握程度 考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平 以及进入高等学校继续学习的潜能 2013年高考考试大纲 理科 大纲说明数学 新课标卷 一 课程理念解读 一 课程的基本理念 十大理念 1 构建共同基础 提供发展平台2 提供多样课程 适应个性选择3 倡导积极主动 勇于探索的学习方式4 注重提高学生的数学思维能力5 发展学生的数学应用意识 6 与时俱进地认识 双基 7 强调本质 注意适度形式化8 体现数学的文化价值9 注重信息技术与数学课程的整合10 建立合理 科学的评价体系 特别注意以下几个理念 4 注重提高学生的数学思维能力高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力 这是数学教育的基本目标之一 人们在学习数学和运用数学解决问题时 不断地经历直观感知 观察发现 归纳类比 空间想像 抽象概括 符号表示 运算求解 数据处理 演绎证明 反思与建构等思维过程 这些过程是数学思维能力的具体体现 有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断 数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用 7 强调本质 注意适度形式化形式化是数学的基本特征之一 在数学教学中 学习形式化的表达是一项基本要求 但是不能只限于形式化的表达 要强调对数学本质的认识 否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里 数学的现代发展也表明 全盘形式化是不可能的 因此 高中数学课程应该返璞归真 努力揭示数学概念 法则 结论的发展过程和本质 数学课程要讲逻辑推理 更要讲道理 通过典型例子的分析和学生自主探索活动 使学生理解数学概念 结论逐步形成的过程 体会蕴涵在其中的思想方法 追寻数学发展的历史足迹 把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态 两点重要的启示 1更加注重数学的本质 返璞归真对中学数学核心概念 内容的教学应更加注重其本质的揭示 如函数 导数 解析几何等 2更加突出数学思维 数学的精神 思想和方法 强调数学思维方式对中学数学中重要的数学思想方法应更好地融入数学的知识内容中 二 课程的三维目标 知识与技能 过程与方法 情感 态度与价值观 对三维目标的理解 在高考命题中的体现 命题注重 考查考生的数学基础知识 基本技能和数学思想方法 考查考生的数学基本能力 应用意识和创新意识 考查考生对数学本质的理解水平 体现 课程目标 中对知识与技能 过程与方法 情感态度与价值观等目标的要求 摘自2013 大纲 命题指导思想 给我们的启示 1 教学理念 遵循数学思想发生发展的历史与逻辑相统一的辩证思维基本规律 贯彻以数学思想方法为核心 充分揭示数学的思维过程为原则来组织数学的教与学 将数学地思维 数学思想方法 作为数学教学的首要目标 突出培养学生的数学观在数学教学中的重要地位和数学的教育功能 同时 我们特别注重学生的思维与实践能力在数学教育中的核心地位和作用 2 教学方法 强调追寻数学思想的本源 让学生亲历数学的思维过程 学会数学地思维 合乎情理 力求自然 让学生 可以理解 可以学到手 能够加以推广应用 3 教学目标 通过数学的教与学 培养学生学会 如何发现和提出数学问题 数学创新意识 如何思考数学问题 数学地思维 数学思想方法 数学观 世界观 如何解决数学问题 数学思维与实践能力 方法论 如何表达数学问题 数学思维过程的逻辑把握 数学语言 数学文化 二 高考大纲 说明 解读 一 大纲解读 考试性质选拔性考试高考应有较高的信度 效度 必要的区分度和适当的难度 大纲解读 考试要求数学科的考试 将遵循 考查基础知识的同时 注重考查能力 的原则 确立以能力立意命题的指导思想 将知识 能力与素质的考查融为一体 全面检测考生的数学素养 数学科考试要发挥数学作为基础学科的作用 既考查中学数学的知识和方法 又考查考生进入高校继续学习的潜能 大纲解读 一 考试内容的知识要求 能力要求和个性品质要求其中 能力要求空间想象能力 抽象概括能力 推理论证能力 运算求解能力 数据处理能力以及应用意识和创新意识 1 空间想象能力 能根据条件作出正确的图形 根据图形想象出直观形象 能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系 能对图形进行分解 组合 会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质 空间想象能力是对空间形式的观察 分析 抽象的能力 主要表现为识图 画图和对图形的想象能力 识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系 画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换 对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种 是空间想象能力高层次的标志 2 抽象概括能力 抽象是指舍弃事物非本质的属性 揭示其本质的属性 概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程 抽象和概括是相互联系的 没有抽象就不可能有概括 而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论 抽象概括能力是对具体的 生动的实例 在抽象概括的过程中 发现研究对象的本质 从给定的大量信息材料中概括出一些结论 并能将其应用于解决问题或作出新的判断 3 推理论证能力 推理是思维的基本形式之一 它由前提和结论两部分组成 论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程 推理既包括演绎推理 也包括合情推理 论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法 也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法 一般运用合情推理进行猜想 再运用演绎推理进行证明 中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题 论证某一数学命题真实性的初步的推理能力 4 运算求解能力 会根据法则 公式进行正确运算 变形和数据处理 能根据问题的条件寻找与设计合理 简捷的运算途径 能根据要求对数据进行估计和近似计算 运算求解能力是思维能力和运算技能的结合 运算包括对数字的计算 估值和近似计算 对式子的组合变形与分解变形 对几何图形各几何量的计算求解等 运算能力包括分析运算条件 探究运算方向 选择运算公式 确定运算程序等一系列过程中的思维能力 也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力 5 数据处理能力 会收集 整理 分析数据 能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息 并作出判断 数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理 分析 并解决给定的实际问题 6 应用意识 能综合应用所学数学知识 思想和方法解决问题 包括解决相关学科 生产 生活中简单的数学问题 能理解对问题陈述的材料 并对所提供的信息资料进行归纳 整理和分类 将实际问题抽象为数学问题 能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证 并能用数学语言正确地表达和说明 应用的主要过程是依据现实的生活背景 提炼相关的数量关系 将现实问题转化为数学问题 构造数学模型 并加以解决 7 创新意识 能发现问题 提出问题 综合与灵活地应用所学的数学知识 思想方法 选择有效的方法和手段分析信息 进行独立的思考 探索和研究 提出解决问题的思路 创造性地解决问题 创新意识是理性思维的高层次表现 对数学问题的 观察 猜测 抽象 概括 证明 是发现问题和解决问题的重要途径 对数学知识的迁移 组合 融会的程度越高 显示出的创新意识也就越强 大纲解读 二 考查要求数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系 包括各部分知识在各自发展过程中的纵向联系和各部分知识之间的横向联系 要善于从本质上抓住这些联系 进而通过分类 疏理 综合 构建数学试卷的结构框架 大纲解读 1 对数学基础知识的考查 要既全面又突出重点 对于支撑学科知识体系的重点内容 要占有较大的比例 构成数学试卷的主体 注重学科的内在联系和知识的综合性 不刻意追求知识的覆盖面 从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题 在知识网络交汇点处设计试题 使对数学基础知识的考查达到必要的深度 大纲解读 2 对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查 考查时必须要与数学知识相结合 通过数学知识的考查 反映考生对数学思想和方法的理解 要从学科的整体意义和思想价值立意 注重通性通法 淡化特殊技巧 有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度 大纲解读 3 对数学能力的考查 强调 以能力立意 就是以数学知识为载体 从问题入手 把握学科的整体意义 用统一的数学观点组织材料 侧重体现对知识的理解和应用 尤其是综合和灵活的应用 以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力 从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能 大纲解读 数学科的命题 在考查基础知识的基础上 注重对数学思想和方法的考查 注重对数学能力的考查 注重展现数学的科学价值和人文价值 同时兼顾试题的基础性 综合性和现实性 重视试题间的层次性 合理调控综合程度 坚持多角度 多层次的考查 努力实现全面考查综合数学素养的要求 二 新课标卷高考数学特点 1 突出对主干知识的考查试卷比较全面地考查了高中数学的基础知识 试题加强了主干知识考查的力度和深度 函数与导数 不等式 数列 三角函数 空间线面关系 直线与圆锥曲线的位置关系 平面向量 概率等都作了重点考查 2 重视思维 突出思想 增大思维量 控制计算量 3 合理交汇 适度综合 在知识点交汇处命题 4 人文关怀 文理有别 以姊妹题形式出现 5 特别注意课程标准中关于创新意识培养的理念在考题中的体现 创新题型 2004年高考数学试题 北京卷 理科 创新意识的培养是现代数学教育的基本任务 应体现在数学教与学的过程之中 学生自己发现和提出问题是创新的基础 独立思考 学会思考是创新的核心 归纳概括得到猜想和规律 并加以验证 是创新的重要方法 创新意识的培养应该从义务教育阶段做起 贯穿数学教育的始终 义务教育数学课程标准 2011年版 2013年新课标卷1结构分析 理 1 函数与导数部分 11 16 21 压轴题2 数列 7 12 小压轴题 14 3 三角函数 15 17 4 立体几何 8 18 5 解析几何 4 10 20 次压轴题6 概率与统计 3 9 19 其他 2013年新课标卷结构分析 文 1 函数与导数部分 9 12 20 次压轴题2 数列 6 17 3 三角函数 10 16 4 立体几何 11 19 5 解析几何 4 8 21 压轴题6 概率与统计 3 18 其他 三 高考数学试题命制的思路与方法 关键词 核心概念 数学思想 数学思维方法 一 函数与导数 核心思想方法 1 函数与方程 包含了中学数学主要思想 2 曲线的交点与方程的根 将方程的根看成两条曲线的交点 数与形 3 导数与斜率 切线 单调性 极值等的关系 4 函数变换 如平移 伸缩 翻折 对称等 图形变换与变量代换 课程标准指出 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型 高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系 同时还用集合与对应的语言刻画函数 函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终 学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解 体会函数与方程的有机联系 分析 1 掌握基本初等函数的性质 2 基本初等变换 平移 旋转 翻折 对称等基本变换 刚性变换 3 函数与方程 数与形 分析 以能力立意 在知识点交汇处命题 1 函数与方程 根与因式 根式定理 韦达定理 2 对称 函数零点 方程的根 的对称 3 导数与极值 二 立体几何 核心思想与方法 1 以空间位置关系的分析为线索的思考与推理 2 空间图形平面化 3 空间问题代数化 向量方法 课程标准指出 几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识 学会将自然语言转化为图形语言和符号语言 教师可以使用具体的长方体的点 线 面关系作为载体 使学生在直观感知的基础上 认识空间中一般的点 线 面之间的位置关系 通过对图形的观察 实验和说理 使学生进一步了解平行 垂直关系的基本性质以及判定方法 学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系 并能解决一些简单的推理论证及应用问题 三 数列 核心思想方法 1 抓住 前后项 之间递推关系的思考与推理 这里的 前后项 是指将含数列和n的式子看成关于n的函数f n 再看式子是否是关于f n 1 与f n 的关系 即构造为关于 f n 的等差 或等比 或裂为前后项之差的求和问题等 2 化归为基本数列 即化归为基本初等函数 递推数列的基本模型 一阶递推数列 四 创新题型举例关键 1 高等数学背景2 重在思维方法3 考查综合能力 特点是 表面看是数列问题 但观点高 对思维能力要求高 所谓 增大思维量 控制计算量 背景分析 1 涉及解析几何 椭圆 2 特别是涉及到较高深的实数完备性定理 单调有界定理 即单调有界数列必有极限 G Cantor的紧缩闭区间套定理等 这正是所谓的 高观点下的初等数学 解题思路分析 三个关键步骤 背景分析 面积函数的导函数 微积分基本定理 背景分析 实验几何问题平面几何 动点轨迹问题 小结 1以核心概念和逻辑指导和引领思维活动 2以数形结合的思维方式进行思考与推理是数学思维的特征 3化归与转化思想是进行数学推理的关键 4以位置关系为线索的思维与推理是解决几何问题的一把钥匙 五 命题思路分析举例 解析几何 解析几何的基本思想第一 坐标的观点 即在平面建立坐标系 平面上的点的与一组有序的实数对相对应 第二 在平面上建立了坐标系后 平面上的一条曲线就可由带两个变数 即坐标变量 的一个代数方程来表示了 解析几何的两大研究主题为 1 如何求曲线的方程 几何问题代数化 即由形到数 2 通过研究方程的性质 解的性质 来研究几何问题的性质 由数到形 核心思想与方法 1 思想 抓住 几何本质 形 实现 代数化 数 2 方法 设而不求 整体代换 注意韦达定理的应用 在平面解析几何初步的教学中 教师应帮助学生经历如下的过程