《溷凝土拱桥》PPT课件.ppt

第三篇混凝土拱桥 内容提要拱桥概述 发展 特点及分类 拱桥的构造及设计混凝土拱桥的计算混凝土拱桥的施工简介 第一章拱桥概述 第一节拱桥的发展及现状 拱桥 石拱木拱 国内 铸铁拱 钢拱钢砼拱 石拱木拱 双曲拱 桁架拱 钢砼拱 刚架拱桁式组合拱 钢管混凝土拱新型组合体系拱 国外 18世纪 19世纪 1964 70年代 80年代 80年代中 古代拱桥拱轴曲线造型千变万化 其中最具代表性的是建于公元595 605年的赵州桥 跨径37m 当代拱桥结构形式与施工方法丰富多彩如 1997年建成的重庆万县长江大桥 跨径420m 2000年建成的广州丫髻沙特大桥 跨径360m 2003年建成的上海卢浦大桥 跨径550m 重庆万县长江大桥 广州丫髻沙特大桥 上海卢浦大桥2003 6 28建成 总投资22亿余元 全长3900米 主桥长750米 为全钢结构 其中主跨直径达550米 居世界同类桥梁之首 被誉为 世界第一钢拱桥 第二节拱桥的主要特点 拱式结构将桥面的竖向荷载转化为一部分水平推力 拱圈截面的弯距大大减小 拱主要承受压力 1 拱桥的力学特点 2 拱桥的优缺点 优点 跨越能力较大 可节省大量钢材和水泥 耐久性好 维护费用少 形式多样 外型美观 缺点 跨径大时 自重较大 水平推力的存在增加了下部结构工程量 多孔连续拱桥互相影响 需采用复杂措施 上承式拱桥建筑高度大 可能增加纵坡 拱桥的缺点正在逐步得到克服 200 600m范围内 拱桥仍然是斜拉桥和悬索桥的竞争对手 1 拱桥的主要组成 第三节拱桥的组成及分类 拱圈最高处称拱顶 拱圈与墩台连接处为拱脚 或称起拱面 拱圈横截面形心的连线称拱轴线 拱圈上曲面称拱背 下曲面称拱腹 起拱面与拱腹的交线称起拱线 拱桥的主要组成部分 拱桥的主要技术名词净跨径 l0 每孔拱跨两个起拱线之间的平距计算跨径 l 相邻两拱脚截面形心之间的平距 即拱轴线两端点之间的平距 净矢高 f0 拱顶截面下缘至起拱线连线之间的垂距计算矢高 f 拱顶截面形心至相邻两拱脚截面形心之连线的垂距矢跨比 D或D0 又称矢度 计算矢高与计算跨径之比 D f l 或净矢高与净跨径之比 D0 f0 l0 坦拱 D 1 5陡拱 D 1 5 2 拱桥的分类 上承式 中承式 下承式 圆弧拱 抛物线拱 悬链线拱 实腹式 空腹式 板拱 板肋拱 肋拱 箱形拱双曲拱 钢管砼拱 劲性骨架 简单体系拱 组合体系拱 板拱桥主拱圈截面采用矩形实体截面的拱桥称板拱桥 在中 小跨径的圬工拱桥中采用 在较薄的拱板上增设纵向肋以提高拱圈抗弯刚度 即构成板肋拱 1 按主拱圈截面形式分类 肋拱桥肋拱桥是将板拱划分成多条分离的 截面高度较大的拱肋 肋间用横系梁联结 这种形式以较小的截面面积获得较大的截面抵抗矩 减轻了结构自重 多用于大 中跨径的拱桥 双曲拱桥主拱圈截面由一个或多个横向拱波组成 即主拱圈的纵横向均呈曲线形 因而称双曲拱桥 其截面抵抗矩比板拱大 可节省材料 但施工繁冗 整体性差 易开裂 一般用于中 小跨径拱桥 箱形拱桥箱形拱桥主拱圈截面挖空 以较少的材料可获得较大的截面抵抗矩 减轻自重 节省材料 箱形截面抗扭刚度很大 整体性和稳定性都较好 但施工制作较复杂 适用于大跨径拱桥 拱桥的截面形式 河南前河桥 我国跨径最大的双曲拱150m 箱形拱闭合箱的构造 钢管混凝土拱桥钢管混凝土简称CFST ConcreteFillledSteelTube 即在薄壁圆形钢管内填充混凝土而形成的复合材料 为钢 砼组合结构的一种 其核心砼为三向受压 抗压能力和抗变形能力都很大 最大跨径已达460m 重庆巫山长江大桥 劲性骨架混凝土拱桥劲性骨架混凝土拱桥以钢骨拱桁架作为受力筋 钢骨可以是型钢或钢管 其特点相当于内填外包型钢管砼拱 自重轻 刚度大 承载力高 最大跨径已达420m 重庆万县长江大桥 重庆巫山长江大桥钢管混凝土中承式拱桥 2005 1 8竣工 总投资1 96亿元 净跨460m 是世界上跨径最大的钢管混凝土拱桥 2 按结构受力图示分类 上缘与桥面纵向平行 下缘为拱形的结构 第四节拱桥的构造特点 1 上承式拱桥 板拱 肋拱 箱形拱 双曲拱 斜腹杆式 竖腹杆式 桁肋式 组合式 简支 连续 框架式腹孔 弧铰 平铰 钢铰 铅垫铰等 拱肋 两个分离式无铰拱 2 中 下承式拱桥 横向联系 横撑 对角撑 空格式构造 悬挂结构 吊杆 横梁 纵梁 桥面系 联梁式 3 拱式组合体系桥 简支梁拱组合式 无推力结构 只用于下承式 连续梁拱组合式 上 中 下承式 单 双 多肋拱 单悬臂组合式 将实腹梁挖空 只适用于上承式 一般由拱肋 系杆 吊杆 或立柱 行车道梁 板 及桥面系组成 第二章拱桥的设计要点 第一节拱桥的总体布置 拱桥的总体布置包括 拟定结构体系和形式 拟定桥梁长度 跨径 孔数 拱的主要尺寸 桥梁高度 墩台及基础形式 桥面纵横坡等 第二节不等跨连续拱的处理方法 选用原因 受地形 地质 通航等条件的限制 考虑纵坡协调 或对桥型有特殊要求处理目的 减小不等跨恒载产生的不平衡推力处理依据 水平推力大小与矢跨比成反比 1 采用不同的矢跨比 在相邻两孔中 大跨径用较陡的拱 矢跨比D较大 小跨径用较坦的拱 矢跨比D较小 2 采用不同的拱脚高程 不同的矢跨比使得相邻两孔拱脚高程不在同一水平线上 大跨孔的矢跨比较大 应降低其拱脚 减小拱脚水平推力对基底的力臂 3 调整拱上建筑的恒载质量 考虑桥型需要 必须使相邻两孔的拱脚放置于同一水平线上时 也可调整拱上建筑的质量 大跨径孔 轻质拱上填料或空腹式拱上建筑小跨径孔 重质拱上填料或实腹式拱上建筑 4 采用不同类型的拱跨结构 大跨径孔 采用分离式肋拱或薄壁箱拱小跨径孔 采用板拱或厚壁箱拱 具体设计中 可同时采用上述几种措施 若仍不能平衡水平推力 也可采用其他方式如加大桥墩 台 和基础尺寸 或做成不对称墩 第三节拱轴线的选择 拱轴线的形状 直接影响着拱圈的承载能力 影响结构耐久性 经济合理性和施工安全性等 理想拱轴线 与拱上各种荷载作用下的压力线相吻合 拱圈截面只受轴向压力 而无弯矩作用 充分利用圬工材料的抗压性能 但理想拱轴线并不存在 一般地 以结构重力压力线作为设计拱轴线 可以认为是基本适宜的 1 拱轴线选取应满足的要求 尽量减小拱圈截面的弯矩 使主拱圈各主要截面的应力相差不大 且最大限度减小截面拉应力 最好是不出现拉应力 对于无支架施工的拱桥 应尽可能少用或不用临时性施工措施 计算方法简便 易为生产人员掌握 线型美观 便于施工 2 常用的拱轴线形 1 圆弧线 2 悬链线 3 抛物线 均布径向荷载作用下 如水压力 拱的合理拱轴线 实腹式拱桥恒载作用下的合理拱轴线 竖向均布荷载作用下拱的合理拱轴线 小跨径拱桥 实腹式圆形拱或实腹式悬链线拱 大 中跨径拱桥 空腹式悬链线拱 轻型拱桥或矢跨比较小的大跨径钢筋混凝土拱桥 抛物线拱 第四节拱圈截面的变化规律和尺寸拟定 1 主拱圈的截面形式等截面变截面 宽度b不变 高度h变化 hd hj 高度h不变 宽度b变化 bd bj 拱圈截面变化规律可按下式计算 I 拱圈任意截面惯性矩 Id 拱顶截面惯性矩 n 拱厚变换系数 空腹式拱n 0 3 0 5 实腹式拱n 0 4 0 6 钢砼拱n 0 5 0 8 矢跨比D较小时 n取较小值 反之取较大值 横坐标参数 2x l 任意截面处拱轴线的水平倾角 2 主拱圈的截面尺寸拟定 1 主拱圈宽度中 小跨径桥 拱圈宽度 桥面净空宽度 栏杆宽大跨径桥或特宽桥 拱圈宽度 桥宽主拱圈宽度一般 l 20 桥规 规定当主拱圈宽度 l 20时 则应验算拱的横向稳定性 2 主拱圈厚度 中 小跨径桥 d 主拱圈厚度 cm l0 主拱圈净跨径 cm 系数 一般取4 5 6 0 k 荷载系数 一般取1 0 1 2 石拱桥 箱形拱 双曲拱 桁架拱和刚架拱桥确定箱形拱 拱肋中距 2 0m的双曲拱 拱片中距 3 0m的桁架拱和刚架拱时 由如下经验公式计算主拱圈厚度 d 主拱圈 肋 厚度 cm a b 系数 a b k的关系见下表 a b k系数表 第三章拱桥的计算 第一节上承式拱桥计算概述 拱桥计算 拱桥施工 本节讨论普通型上承式拱桥的计算 为简化分析 一般偏于安全地不考虑 拱上建筑与主拱的联合作用 在桥梁的横断面上都会出现应力分布的不均匀现象 称为 活载的横向分布 拱上建筑为墙式墩的板拱 包括双曲板拱 箱形截面板拱 如活载横向布置不超过拱圈以外 活载可均匀分布于拱圈全宽 拱上建筑为立柱排架式墩的板拱 以及横向由多个构件组成的肋拱 应考虑荷载横向分布影响 双肋拱桥 一般用杠杆原理法计算 拱上建筑为立柱排架式的拱桥 可按弹性支承连续梁 横梁 计算活载的横向分布系数 1 圆弧线拱 第二节拱轴方程的建立 圆弧线拱常用于15 20m以下的小跨径 圆弧线拱示意图 圆弧线的拱轴方程为 或 2 抛物线拱 抛物线拱的拱轴方程为 3 实腹式悬链线拱 实腹式悬链线拱采用结构自重压力线 不计弹性压缩 作为拱轴线 其结构自重分布规律如图 b 现以拱顶O为原点 建立图 b 所示的xOy1坐标系 推导实腹式悬链线拱轴方程 设拱轴线即为结构自重压力线 则在结构自重作用下 Mj 半拱结构自重对拱脚截面的弯矩 Hg 拱的结构自重水平推力 不考虑弹性压缩 f 拱的计算矢高 1 拱轴方程的确定 拱顶截面弯矩Md 0 拱顶剪力Qd 0 拱顶截面仅有结构自重推力Hg 对拱脚截面取矩 有 对任意截面取矩 可得任意点纵坐标y1为 Mx 任意截面以右的恒载对该截面的弯矩 将 式两边对x求二阶导数 可得 式即为结构自重压力线的基本微分方程 gd 拱顶处结构自重集度 0 拱上材料的平均重度 令 gj 拱脚处结构自重集度 将 式代入基本微分方程 式 并引入参数x l1 则dx l1d 可得 令 则 式为二阶非其次常系数线性微分方程 解之得拱轴线方程为一悬链线 对于拱脚截面 1 y1 f 则chk m 于是可求得系数k为 由拱轴方程式知 当矢跨比f确定后 拱轴线纵坐标y1取决于拱轴系数m 可查表确定 抛物线拱轴方程的另一种推导 由 式可知 当m 1时 gx gd 表示结构自重为均布荷载 将m 1代入 式 得k 0 将之代入 式 即得微分方程 a 显然 由图b可知 0时 y1 0且y1 0 则C1 C2 0 于是通解 b 可化为 c 当结构自重为均布荷载时 gdl12 2 Mj 则由 式和 c 式可得抛物线拱轴方程为 2 拱轴系数m的确定 拱轴系数m gj gd 而拱顶处恒载集度gd为 拱脚处hj hd h 则拱脚处恒载集度gj为 hd 拱顶填料厚度 一般为30 50cm d 拱圈厚度 拱圈重度 1 拱顶填料及路面的平均重度 2 拱腹填料的平均重度 j 拱脚处拱轴线的水平倾角 从式 式可看出 由于唯一未知数 j的存在 不能直接求出m值 可用迭代法逐次逼近 将cos j代入式求出gj值后 与gd一同代入 式算出m值 若m m 则m即为所求 先根据l和f假定m 值 查出拱脚处的cos j值 若m m 则将m作为新假定值 重复上述步骤 直至二者接近 迭代法求拱轴系数m的具体步骤 a 假定mi 方便起见 按表3 3 1 教材P300 取m值 b 求 j 将式两边对 求导 得 其中 k可由式求出 拱脚处 1 于是可得 c 求gj mi 1将算出的 j代入式 求出gj 与gd一同代入 式 可求得mi 1 d 比较mi mi 1若两者相符 mi即为所求 若两者相差较大 将mi 1作为新的假定值 重复上述步骤 直到mi与mi 1误差在允许范围为止 3 纵坐标yl 4 矢跨比f与拱轴系数m的关系 当 1 2时 y1 yl 4 代入式得yl 4与m的关系 可见 yl 4随m增大而减小 随的减小而增大 当m增大时 拱轴线抬高 反之拱轴线降低 如图 一般悬链线拱桥中 gj gd 因而m 1 则 在均布荷载作用下 gj gd 此时m 1 由式可知 yl 4 0 25f 为抛物线拱 gd gj m与拱轴线坐标的关系如图所示 为方便计算 列出了yl 4 f与m的对应关系表 4 空腹式悬链线拱 空腹式拱桥结构自重由两部分组成 主拱圈与实腹段的分布荷载 空腹部分腹孔墩传来的集中荷载 如图 其自重压力线并非悬链线 实践表明 在空腹式拱桥设计中 仍可以悬链线作为拱轴线 为使悬链线与其自重压力线接近 一般采用 五点重合法 确定悬链线的m值 即 使拱轴线在全拱有五点 拱顶 两l 4点和两拱脚 与相应三铰拱自重压力线重合 如图a b 其相应的拱轴系数m确定如下 由拱顶弯矩为零 恒载对称可知 拱顶截面仅有通过截面重心的轴向压力 其值等于结构自重产生的水平推力Hg 而弯矩Md 剪力Qd均为零 在图 a b 中 由 MA 0得 由 MB 0得 将 式代入上式得 Mj 半拱结构自重对拱脚截面的弯矩 Ml 4 拱顶至拱跨l 4点区域的自重对l 4点截面的弯矩 Mj Ml 4可查表 求得后 可由式反求m 即 空腹式拱桥的m值仍用迭代法逐次逼近确定 空腹式无铰拱采用的 五点重合法 确定的拱轴线 仅与相应三铰拱结构自重压力线保持五点重合 而在其它截面的拱轴线与三铰拱结构自重压力线则有不同程度的偏离 如图a b 研究表明 偏离弯矩对拱顶 拱脚截面有利 结构自重压力线与拱轴线的偏离将产生附加内力 静定三铰拱各截面的偏离弯矩Mp可用三铰拱压力线与拱轴线在该截面的偏离值 y 如图a 来表示 Mp Hg y 而无铰拱为超静定结构 偏离弯矩将引起次内力 因而偏离弯矩 M应以Mp作为荷载来求得 偏离弯矩作用于结构上时引起弹性中心的赘余力 X1 赘余弯矩 X2 赘余水平力 如图c 可由力法计算 偏离弯矩 M的计算 y 以弹性中心为原点 向上为正 的纵坐标 ys 弹性中心到拱顶的距离 Md为负 Mj为正 恰与拱顶 拱脚截面的控制弯矩相反 即偏离弯矩对拱顶 拱脚是有利的 结论 空腹式无铰拱的拱轴线用悬链线 比用结构自重压力线更加合理 5 悬链线无铰拱的弹性中心 为简化计算无铰拱的内力 恒载 活载 变温 砼收缩徐变 拱脚变位等 常利用拱的弹性中心的概念按力法求解赘余力 如图 a 以半拱悬臂为基本结构 在荷载作用下拱顶产生三个赘余力X1 X2 X3 图 b 为以简支曲梁为基本结构 赘余力中弯矩X1和轴力X2是对称的 而剪力X3是反对称的 故副系数 为使 12 21 0 可如图采用引入 刚臂 的办法 求解 12 21 0时刚臂的长度 即弹性中心的位置 以悬臂曲梁为基本结构 如图 计算易得作用于弹性中心的三个赘余力以单位力分别作用时引起的内力为 注 关于坐标与符号的规定 如图 x轴向左为正 y轴向下为正弯矩M以使拱下缘受拉为正剪力Q以绕隔离体逆时针方向转动为正轴力N以压力为正拱轴线水平倾角 在右半拱取正 左半拱取负 由结构力学可知 令 12 21 0 可得弹性中心与拱顶距离为 将 式 式代入 式 可得 为设计方便 系数 可查表求得 例题3 3 1 某无铰拱桥 计算跨径l 80m 主拱圈及拱上建筑的自重简化为如图所示的荷载作用 主拱圈截面面积A 5 0m2 重度 25kN m3 试用 五点重合法 确定拱轴系数m 并计算拱脚竖向剪力Vg 水平推力Hg及结构自重轴力Ng 解 取 悬臂曲梁 为基本结构 因结构 自重荷载均对称 故作用于弹性中心的赘余力X3 0 仅有赘余力X1 X2 半拱悬臂集中荷载对拱跨l 4截面和拱脚截面的弯矩分别为 由式和 式联立 可得 1 假定拱轴系数m 2 514 参考表格 由f l 16 80 1 5查表得半拱悬臂自重对拱跨l 4截面和拱脚截面的弯矩分别为 半拱悬臂自重引起的任意截面K的弯矩为 所以 半拱悬臂结构的全部荷载对拱跨l 4截面和拱脚截面的总弯矩分别为 于是可求得新的拱轴系数m 为 即m 与m差别较大 需重新计算 2 假定拱轴系数m 2 240 参考表格 半拱悬臂自重引起的任意截面K的弯矩为 则半拱悬臂结构的全部荷载对拱跨l 4截面和拱脚截面的总弯矩分别为 于是可求得新的拱轴系数m 为 于是 可取拱轴系数m 2 240 3 计算由半拱结构自重引起的拱脚内力 半拱悬臂集中荷载对拱脚截面的竖向剪力为 则半拱悬臂结构的全部荷载对拱脚截面的竖向总剪力为 查表得半拱悬臂自重对拱脚截面竖向剪力为 综上 可得半拱结构自重引起的拱脚截面内力分别为 第三节结构自重作用下拱的内力计算 结构自重内力分为两部分 不考虑弹性压缩影响的内力和仅由弹性压缩引起的内力 实际设计时 分别计算这两部分内力 然后相加得到结构自重作用下的总内力 1 不考虑弹性压缩的结构自重内力 1 实腹拱实腹式悬链线拱桥的拱轴线与结构自重压力线完全吻合 其结构自重内力仅有轴向力 所以结构自重作用下拱内力按纯压拱计算 由式 式中 结构自重作用下 拱脚的竖向反力Vg为半拱的结构自重 即 将 式 式 式代入上式 积分可得 式中 系数kg kg 可查表 结构自重弯矩和剪力均为零 拱圈各截面轴向力N为 2 空腹拱空腹式悬链线无铰拱的结构自重内力分为两部分 不考虑拱轴线偏离影响的内力和仅由偏离引起的内力 可分别求出然后叠加得到总内力 中小跨径空腹式拱桥可不考虑偏离影响 则拱脚处的结构自重内力为 大跨径空腹式拱桥 拱轴线与其结构自重压力线偏离一般比中小跨径的大 因此大跨径拱桥的自重内力应考虑偏离弯矩的有利因素 按静力平衡条件可求得空腹拱自重压力线与拱轴线的偏离引起拱圈产生内力为 其中赘余力 X1 X2可分别由 式和 式求得 然后将 式代入 式可求得任意截面轴力 2 弹性压缩引起的内力 在自重轴力作用下 拱圈的弹性压缩表现为拱轴长度的缩短 并将在拱中产生相应的内力 取悬臂曲梁为基本结构 弹性压缩会使拱轴在跨径方向缩短 l 由于实际结构中 拱顶并无相对水平变位 则在弹性中心必有一水平拉力 Hg 如图 使拱顶的相对水平变位为零 弹性压缩产生的赘余力S 由拱顶变形协调条件可得 如图 全拱拱轴缩短的水平分量 l为 由单位水平力作用于弹性中心产生的水平位移 考虑轴向力影响 为 其中 s y2 EI ds可查表 等截面拱的 1也可直接由表查得 3 结构自重作用下拱圈各截面总内力 注 关于坐标与符号的规定 如图 x轴向左为正 y轴向下为正弯矩M以使拱下缘受拉为正剪力Q以绕隔离体逆时针方向转动为正轴力N以压力为正拱轴线水平倾角 在左半拱取负 右半拱取正 1 不考虑拱轴线对结构自重压力线的偏离不考虑偏移时结构自重总内力 不计弹性压缩的结构自重内力 仅由弹性压缩产生的内力 计算公式如下 上式中 在左半拱取负 右半拱取正 2 考虑拱轴线对结构自重压力线的偏离大跨度空腹式拱桥拱轴线偏离结构自重压力线的程度较大 结构自重偏离弯矩是可以利用的有利因素 计入偏离影响后 结构自重总内力为 上式中 X2 M分别按 式 式计算 在左半拱取负 右半拱取正 与 式相比较可知 式中计算考虑拱轴线偏离引起的弹性压缩赘余力项时 以 Hg X2 代替 Hg 即可 第四节汽车和人群荷载的内力计算 拱桥的桥跨结构属于空间结构 在活载作用下的受力比较复杂 实际设计时为简化计算 象梁桥一样 引入荷载横向分布系数 将空间结构简化成平面结构进行计算 计算活载产生的主拱圈内力最简便的方法是采用影响线加载法 与计算结构自重内力一样 也分为两步 先求不计主拱圈弹性压缩影响的内力 然后计入弹性压缩对活载内力的影响 1 荷载横向分布系数 1 石板拱桥 混凝土箱板拱桥石板拱主拱圈横向刚度较大 可假定荷载均匀分布在主拱圈全宽上 对矩形截面拱 常取单位主拱圈宽度进行计算 其荷载分布系数为如 a 式 混凝土箱板拱 取单个拱箱作为计算单元 其荷载横向分布系数如 b 式 c 车列数 B 主拱圈宽度 n 主拱圈的拱箱个数 a b 2 肋拱桥 双肋拱桥一般按杠杆法计算拱肋横向分布系数 多肋拱的拱上建筑一般为排架式 可按弹性支承连续梁计算拱肋的荷载横向分布系数 2 活载作用下不计弹性压缩影响的内力计算由活载产生的不计弹性压缩影响的内力 最简便的方法是利用影响线和等代荷载的方法 先求出赘余力影响线 再用叠加的方法得到主拱圈各截面内力影响线 然后按最不利情况布载 编制出等代荷载 悬链线无铰拱影响线等代荷载可查相关资料 1 赘余力影响线取简支曲梁作为基本结构 如图 赘余力为X1 X2 X3 由弹性中心的特性可知 所有副系数均为零 即 ij 0 i j 则典型方程为 解 式 可得单位活载P 1沿跨径方向移动到某位置时三个赘余力的影响线竖标 可将拱圈沿跨径分为若干等分 求出每个分点处的影响线竖标 式中 ii为弹性中心的常变位 ip为弹性中心的载变位 求得赘余力影响线如图 赘余力影响线 欲计算赘余力影响线 可先求出单位活载P 1在x处时赘余力的表达式 为x的函数 由弹性中心的特性可将典型方程化为 现求解X3以为例 说明赘余力影响线的求法 设图中X3的方向为正 则由典型方程可得 如图 c d X3 1 P 1对基本体系 简支曲梁 产生的弯矩 以拱下部受拉为正 分别为 忽略轴力 剪力影响 可得常变位 33和载变位 3p分别为 显然 常变位 33恒大于零 则X3的函数特性取决于载变位 3p 3p是拱轴线横坐标x的函数 含cos 项 而cos 与拱轴线形状 由拱轴方程决定 有关 因此函数X3 x 计算较为复杂 但不难验证 X3 x 具有以下特征 1 X3 x 为奇函数 2 X3 x 的导函数