2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷.doc

.2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1（4分）设全集U1，2，3，4，5，若集合A3，4，5，则UA 2（4分）已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为 3（4分）已知双曲线x2y21，则其两条渐近线的夹角为 4（4分）若（a+b）n展开式的二项式系数之和为8，则n 5（4分）若实数x，y满足x2+y21，则xy的取值范围是 6（4分）若圆锥的母线长l5（cm），高h4（cm），则这个圆锥的体积等于 7（5分）在无穷等比数列an中，（a1+a2+an），则a1的取值范围是 8（5分）若函数f（x）ln的定义域为集合A，集合B（a，a+1），且BA，则实数a的取值范围为 9（5分）行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f（x），则y1+f（x）的零点是 10（5分）已知复数z1cosx+2f（x）i，z2（sinx+cosx）+i（xR，i为虚数单位）在复平面上，设复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，若Z1OZ290，其中O是坐标原点，则函数f（x）的最小正周期 11（5分）当0xa时，不等式+2恒成立，则实数a的最大值为 12（5分）设d为等差数列an的公差，数列bn的前n项和Tn，满足Tn+（1）nbn（nN*），且da5b2，若实数mPkx|ak2xak+3（kN*，k3），则称m具有性质Pk若Hn是数列Tn的前n项和，对任意的nN*，H2n1都具有性质Pk，则所有满足条件的k的值为 二、选择题（本题共有4题，满分20分）13（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间1，1上单调递减的是（）Af（x）arcsin xBylg|x|Cf（x）xDf（x）cos x14（5分）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）ABCD15（5分）已知f（x）logsinx，（0，），设af（），bf（），cf（），则a，b，c的大小关系是（）AacbBbcaCcbaDabc16（5分）已知函数f（x）m2x+x2+nx，记集合Ax|f（x）0，xR，集合Bx|ff（x）0，xR，若AB，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）A0，4）B1，4）C3，5D0，7）三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17（14分）如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PAAB1，AD2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动（1）求三棱锥EPAD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AFPE18（14分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB（1）若sinA，求cosC；（2）已知b4，证明519（14分）上海某工厂以x千克小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是（5x+1）元，其中1x10（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润20（16分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B，满足PA，PB的中点均在抛物线C上（1）求抛物线C的焦点到准线的距离；（2）设AB中点为M，且P（xP，yP），M（xM，yM），证明：yPyM；（3）若P是曲线x2+1（x0）上的动点，求PAB面积的最小值21（18分）记无穷数列an的前n项中最大值为Mn，最小值为mn，令，其中nN*（1）若an2n+cos，请写出b3的值；（2）求证：“数列an是等差数列”是“数列bn是等差数列”的充要条件；（3）若对任意n，有|an|2018，且|bn|1，请问：是否存在KN*，使得对于任意不小于K的正整数n，有bn+1bn成立？请说明理由2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1（4分）设全集U1，2，3，4，5，若集合A3，4，5，则UA1，2【考点】1F：补集及其运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合【分析】利用补集定义直接求解【解答】解：全集U1，2，3，4，5，集合A3，4，5，UA1，2故答案为：1，2【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用2（4分）已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为6【考点】G8：扇形面积公式菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；56：三角函数的求值【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积【解答】解：根据扇形的弧长公式可得lr62，根据扇形的面积公式可得Slr266故答案为：6【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键，属于基础题3（4分）已知双曲线x2y21，则其两条渐近线的夹角为900【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线方程，求得其渐近线方程，求得直线的夹角，即可求得两条渐近线夹角【解答】解：双曲线x2y211的两条渐近线的方程为：yx，所对应的直线的倾斜角分别为90，双曲线x2y21的两条渐近线的夹角为90，故答案为：90【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查直线的倾斜角的应用，属于基础题4（4分）若（a+b）n展开式的二项式系数之和为8，则n3【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得n的值【解答】解：（a+b）n展开式的二项式系数之和为2n8，则n3，故答案为：3【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题5（4分）若实数x，y满足x2+y21，则xy的取值范围是，【考点】7F：基本不等式及其应用菁优网版权所有【专题】11：计算题；57：三角函数的图象与性质【分析】三角换元后，利用二倍角正弦公式和正弦函数的值域可得【解答】因为x2+y21，所以可设xcos，ysin，则xycossinsin2，故答案为，【点评】本题考查了三角换元以及正弦函数的值域属基础题6（4分）若圆锥的母线长l5（cm），高h4（cm），则这个圆锥的体积等于12cm3【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】利用勾股定理可得圆锥的底面半径，那么圆锥的体积底面半径2高，把相应数值代入即可求解【解答】解：圆锥的高是4cm，母线长是5cm，圆锥的底面半径为3cm，圆锥的体积32412cm3故答案为：12cm3【点评】本题考查圆锥侧面积的求法注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形7（5分）在无穷等比数列an中，（a1+a2+an），则a1的取值范围是【考点】8J：数列的极限菁优网版权所有【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列【分析】无穷等比数列an中，推出0|q|1，然后求出首项a1的取值范围【解答】解：因为无穷等比数列an中，所以|q|1，所以，1q1且q00a11且a1故答案为：【点评】本题考查无穷等比数列的极限存在条件的应用，解题时要注意极限逆运算的合理运用8（5分）若函数f（x）ln的定义域为集合A，集合B（a，a+1），且BA，则实数a的取值范围为1，0【考点】1C：集合关系中的参数取值问题菁优网版权所有【专题】36：整体思想；4O：定义法；5J：集合【分析】先化简集合A，由BA，得，得1a0【解答】解：0，（x+1）（x1）0，1x1，A（1，1）；BA，1a0，实数a的取值范围为1，0故答案为1，0【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档9（5分）行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f（x），则y1+f（x）的零点是1【考点】OY：三阶矩阵菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用【分析】将行列式按第3行第2列展开，由f（x）A32（42x44x）2x+2（12x），令y1+f（x）12x+2（12x）0，解得：x1，即可求得y1+f（x）的零点【解答】解：第3行第2列的元素的代数余子式A3242x+44x2x+2（12x），f（x）2x+2（12x），y1+f（x）12x+2（12x），令y0，即2x+2（12x）1，解得：2x，x1故答案为：1【点评】本题考查三阶行列式的余子式的定义，考查函数的零点的定义，属于中档题10（5分）已知复数z1cosx+2f（x）i，z2（sinx+cosx）+i（xR，i为虚数单位）在复平面上，设复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，若Z1OZ290，其中O是坐标原点，则函数f（x）的最小正周期【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4R：转化法；57：三角函数的图象与性质；5N：数系的扩充和复数【分析】由已知求得Z1，Z2的坐标，结合Z1OZ290可得f（x）的解析式，降幂后利用辅助角公式化积，再由周期公式求周期【解答】解：由题意，Z1（cosx，2f（x），Z1OZ290，即2f（x），f（x）则函数f（x）的最小正周期为故答案为：【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数周期的求法，是基础的计算题11（5分）当0xa时，不等式+2恒成立，则实数a的最大值为2【考点】3R：函数恒成立问题菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想【分析】想法求出左边式子的最小值，首先把分式形式乘以a2，变形为2+，利用均值不等式得出式子的最小值【解答】解：（+）a2（+）x+（ax）2（+）x2+2x（ax）+（ax）22+2+4+28+20a2【点评】考查了对式子的配凑变形，均值定理的应用，思路不太好想，有一定难度12（5分）设d为等差数列an的公差，数列bn的前n项和Tn，满足Tn+（1）nbn（nN*），且da5b2，若实数mPkx|ak2xak+3（kN*，k3），则称m具有性质Pk若Hn是数列Tn的前n项和，对任意的nN*，H2n1都具有性质Pk，则所有满足条件的k的值为3，4【考点】8E：数列的求和菁优网版权所有【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列【分析】求得n1，2，3，4，5时，数列bn的前5项，即可求出通项公式，再求得d和首项a1，得到等差数列an的通项公式，求得n1，2，3，4，H2n1的特点，结合k3，4，5，6，集合的特点，即可得到所求取值【解答】解：Tn+（1）nbn（nN*），可得n1时，T1+b1T1，解得b1，T2+b2+b2+b2，T3+b3+b2+b3+，即b2+2b3，T4+b4+b2+b3+b4+，即b2+b3，解得b2，b3，同理可得b4，b5，b2n1，da5b2，可得da1+4d，解得a1，d，an，设Hn是数列Tn的前n项和，若对任意的nN*，H2n1都具有性质Pk，由于H1T1b1，H3T1+T2+T3，H5T1+T2+T3+T4+T5，H7+0，H2n1H2n3+b2n1，（n2），当k3时，P3x|a1xa6x|x，当k4时，P4x|a2xa7x|x，当k5时，P5x|a3xa8x|x1，当k6时，P3x|a4xa9x|0x，显然k5，6不成立，故所有满足条件的k的值为3，4答案为：3，4【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式的求法，集合的性质和数列的单调性的判断和应用，考查化简整理的运算能力，属于难题二、选择题（本题共有4题，满分20分）13（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间1，1上单调递减的是（）Af（x）arcsin xBylg|x|Cf（x）xDf（x）cos x【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】可看出f（x）arcsinx在1，1上单调递增，ylg|x|和f（x）cosx都是偶函数，从而判断A，B，D都错误，只能选C【解答】Af（x）arcsinx在区间1，1上单调递增；该选项错误；Bylg|x|为偶函数，该选项错误；Cf（x）x是奇函数，且在1，1上单调递减；该选项正确；Df（x）cosx是偶函数，该选项错误故选：C【点评】考查反正弦函数和一次函数的单调性，以及奇函数和偶函数的定义14（5分）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）ABCD【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率菁优网版权所有【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5I：概率与统计【分析】确定基本事件的个数，即可求出概率【解答】解：随机选派2人参加象棋比赛，有10种，选出的2人中恰有1人是女队员，有6种，所求概率为，故选：B【点评】本题考查古典概型，考查概率的计算，确定基本事件的个数是关键15（5分）已知f（x）logsinx，（0，），设af（），bf（），cf（），则a，b，c的大小关系是（）AacbBbcaCcbaDabc【考点】3G：复合函数的单调性菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】先判断f（x）在（0，+）上是减函数，再比较，的大小关系，从而得到a，b，c的大小关系【解答】解：f（x）logsinx，（0，），sin（0，1），故f（x）在（0，+）上为减函数af（），bf（），cf（），0，af（）bf（），ab又 ，即），bf（）cf（），即bc综上，abc，故选：D【点评】本题主要考查复合函数的单调性，基本不等式的应用，比较两个数大小的方法，属于中档题16（5分）已知函数f（x）m2x+x2+nx，记集合Ax|f（x）0，xR，集合Bx|ff（x）0，xR，若AB，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）A0，4）B1，4）C3，5D0，7）【考点】19：集合的相等菁优网版权所有【专题】32：分类讨论；35：转化思想；5J：集合【分析】由x|f（x）0x|f（f（x）0可得f（0）0，从而求得m0；从而化简f（f（x）（x2+nx）（x2+nx+n）0，从而讨论求得【解答】解：设x1x|f（x）0x|f（f（x）0，f（x1）f（f（x1）0，f（0）0，即f（0）m0，故m0；故f（x）x2+nx，f（f（x）（x2+nx）（x2+nx+n）0，当n0时，成立；当n0时，0，n不是x2+nx+n0的根，故n24n0，解得：0n4；综上所述，0n+m4；故选：A【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17（14分）如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PAAB1，AD2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动（1）求三棱锥EPAD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AFPE【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】（1）转换底面，代入体积公式计算；（2）利用线线垂直证明AF平面PBC，即可得出结论【解答】（1）解：PA平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，（3分）（6分）（2）证明：PA平面ABCD，PAAB，又PAAB1，且点F是PB的中点，AFPB（8分）又PABC，BCAB，PAABA，BC平面PAB，又AF平面PAB，BCAF（10分）由AF平面PBC，又PE平面PBC无论点E在边BC的何处，都有AFPE成立（12分）【点评】本题给出特殊的四棱锥，考查了线面垂直的证明与性质的运用，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力，关键是要熟练掌握定理的条件18（14分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosB（1）若sinA，求cosC；（2）已知b4，证明5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；HR：余弦定理菁优网版权所有【专题】15：综合题；35：转化思想；58：解三角形；5A：平面向量及应用【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，由sinBsinA，可得A为锐角，可求cosA，根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式即可计算得解cosC的值（2）由余弦定理，基本不等式可求得ac13，根据平面向量数量积的运算，诱导公式即可计算得解【解答】解：（1）cosB，可得：sinB，sinBsinA，BA，可得A为锐角，cosA，cosCcos（A+B）sinAsinBcosAcosB（2）证明：由余弦定理b2a2+c22accosB，可得：a2+c2ac16，a2+c22ac，解得：ac13，当且仅当ac时等号成立，accos（B）accosBac5得证【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，余弦定理，基本不等式，平面向量数量积的运算，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19（14分）上海某工厂以x千克小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是（5x+1）元，其中1x10（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润【考点】5A：函数最值的应用；5C：根据实际问题选择函数类型菁优网版权所有【专题】34：方程思想；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用【分析】（1）由题意可得：2（5x+1）30，1x10解出即可得出（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，设该厂应选取生产速度为，10，可得t90，900可得获得利润f（t）5+1+1，t0利用反比例函数的单调性即可得出【解答】解：（1）由题意可得：2（5x+1）30，1x10解得：3x10，因此要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，x的取值范围为3，10（2）生产900千克该产品，所用时间是小时，获得利润为100（5x+1）90000（+5），1x10，记f（x）+5，1x10，则f（x）3（）2+5，当且仅当x6时取到最大值最大利润为90000457500元【点评】本题考查了不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题20（16分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B，满足PA，PB的中点均在抛物线C上（1）求抛物线C的焦点到准线的距离；（2）设AB中点为M，且P（xP，yP），M（xM，yM），证明：yPyM；（3）若P是曲线x2+1（x0）上的动点，求PAB面积的最小值【考点】KN：直线与抛物线的综合菁优网版权所有【专题】34：方程思想；4I：配方法；4J：换元法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由抛物线方程求得p，则答案可求；（2）P（xP，yP），设A（，y1），B（，y2），运用中点坐标公式可得M的坐标，再由中点坐标公式和点在抛物线上，代入化简整理可得y1，y2为关于y的方程y22yPy+8xP0的两根，由根与系数的关系即可得到结论；（3）由题意可得，1xP0，2yP2，可得PAB面积为S|PM|y1y2|，再由配方和换元法结合函数单调性求最值【解答】（1）解：由抛物线C：y24x，得2p4，则p2，抛物线C的焦点到准线的距离为2；（2）证明：P（xP，yP），设A（，y1），B（，y2），AB中点为M的坐标为M（xM，yM），则M（，），抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，可得，化简可得y1，y2为关于y的方程y22yPy+8xP0的两根，可得y1+y22yP，y1y28，可得；（3）解：若P是曲线x2+1（x0）上的动点，可得，1xP0，2yP2，由（2）可得y1+y22yP，y1y28，由PM垂直于y轴，可得PAB面积为S|PM|y1y2|（）（），令t，得时，t取得最大值xP1时，t取得最小值2，即2t，则S在2t递增，可得S6，PAB面积的最小值为6【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查转化思想和运算能力，训练了利用换元法及函数的单调性求最值，属于难题21（18分）记无穷数列an的前n项中最大值为Mn，最小值为mn，令，其中nN*（1）若an2n+cos，请写出b3的值；（2）求证：“数列an是等差数列”是“数列bn是等差数列”的充要条件；（3）若对任意n，有|an|2018，且|bn|1，请问：是否存在KN*，使得对于任意不小于K的正整数n，有bn+1bn成立？请说明理由【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式菁优网版权所有【专题】34：方程思想；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用【分析】（1）an2n+cos，可得a12，a23，a38，M3，m3即可得出b3（2）充分性：若“数列an是等差数列”，设其公差为d，可得bn，bn+1bn+1bn常数，即可证明“数列bn是等差数列”必要性：若“数列bn是等差数列”，设其公差为d，bn+1bn+d，根据定义，