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文档简介
3eud教育网 百万教学资源,完全免费,无须注册,天天更新!251. 已知两平面,相交于直线a,直线b在内与直线a相交于A点,直线c在平面内与直线a平行,请用反证法论证b,c为异面直线.解析:这题规定用反证法,提出与结论相反的假定后,要注意分可能的几种情况讨论.证:用反证法.假设b,c共面,则bc或b,c相交.(1)若bc, ca, ab这与baA的已知条件矛盾;(2)若bcP, b, P.又 c, P. P而a. Pa,这样c,a有了公共点P,这与ac的已知条件矛盾.综上所述,假设不成立,所以b、c为异面直线.说明 本题如不指明用反证法,也可以考虑用平面直线的判定定理来证明.252. 如图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,异面直线AA1和的中点分别是E、F.(1)证明EF是AA1与BD1的公垂线段;(2)求异面直线AA1和BD1间的距离.解析:(1)连接ED1、EB,则显然ED1EBa又F为BD1之中点. EFBD1;连接FA1,FA. F为正方体的中心, FAFA1,又E为AA1之中点, EFA1A.故EF为AA1与BD1的公垂线段.(2)在RtEFD1中EF.故AA1到BD1间的距离是.评析:今后学习了线面的位置关系之后,可以利用“转化”的思想求距离.253. 如图所示,正三棱锥SABC的侧棱与底面的边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,求异面直线EF与SA所成的角.解析:计算EF、SA所成的角,可把SA平移,使其角的顶点在EF上.为此取SB之中点G,连GE、GF、BE、AE,由三角形中位线定理:GEBC,GFSA,且GFSA,所以GFE就是EF与SA所成的角.若设此正三棱锥棱长为a,那么GFGEa,EAEBa,EFa,因为EGF为等腰直角三角形.EFG45,所以EF与SA所成的角为45.说明 异面直线所成角的求法:利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上,通过证明所作的角就是所求的角或者补角,解三角形,可求.254. 在空间四边形ABCD中,M、N、P、Q分别是四边上的点,且满足k.(1)求证:M、N、P、Q共面.(2)当对角线ACa,BDb,且MNPQ是正方形时,求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)解析:(1) k MQBD,且 MQBD又 k PNBD,且 从而NPBD MQNP,MQ,NP共面,从而M、N、P、Q四点共面.(2) , , MNAC,又NPBD. MN与NP所成的角等于AC与BD所成的角. MNPQ是正方形, MNP90 AC与BD所成的角为90,又ACa,BDb, MNa又 MQb,且MQMN,ba,即k.说明:公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.255.已知:直线a和直线b是异面直线,直线ca,直线b与c不相交,求证:b、c是异面直线.证:因为b,c不相交,b、c的位置关系有bc或b、c异面两种可能.假设bc, ca, ab,这与已知a,b是异面直线矛盾.所以b与c不能平行,又b、c不相交所以b,c是异面直线.256.分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线,为什么?证明:假设AC、BD不异面,则它们都在某个平面内,这时A、B、C、D四点都在上,由公理1知A、B、C、D,这与已知AB与CD异面矛盾,所以AC、BD一定是异面直线.257. 如图,ABCDA1B1C1D1是正方体,B1E1D1F1,则BE1与DF1所成角的余弦值是( )A. B. C. D. 解析:过A点在平面ABB1A1内作AF,使A1FD1F1,则ADF1F是平行四边形,FADF1,再过E1在平面ABB1A1内作E1EFA,则BE1E即是BE1与DF1所成的角,由已知BE1DF1,ABCDA1B1C1D1是正方体, E1EA1B1,又DF1AFE1E,DF1BE1. E1EA1B1,EBA1B1在BE1E中,cosBE1E. 应选A.258. 在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )A. B. C.D.解析:由图所示,AM与CN是异面直线,过N作平行于AM的平行线NP,交AB于P,由定义可知PNC就是AM与CN所成的角.因PBC,PBN,CBN皆为直角三角形,且BP,BN,BC1,故PN2()2+()2,CN2()2+12,PC2()2+12,在PCN中cosPNC,所以cosPNC,因此应选D.259. 已知异面直线a与b所成的角为50,P为空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是30的直线有且仅有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析: 过P点分别作直线aa,bb,则a与b的夹角为50,由异面直线所成的角的定义可知,过P点与a,b成30角的条数,就是所求的条数.画图可知,过P点与a、b成30角的直线只有两条. 应选B.260. .若a、b为异面直
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