线性代数同济第四版答案第四章课后答案.doc

第四章向量组的线性相关性1设,求及.解 2设其中,求解 由整理得3举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组是线性相关的,则可由线性表示.(2)若有不全为0的数使成立,则线性相关, 亦线性相关.(3)若只有当全为0时,等式才能成立,则线性无关, 亦线性无关.(4)若线性相关, 亦线性相关,则有不全为0的数,使同时成立.解 (1) 设满足线性相关,但不能由线性表示.(2) 有不全为零的数使 原式可化为取其中为单位向量,则上式成立,而 ,均线性相关(3) 由 (仅当)线性无关取取为线性无关组满足以上条件,但不能说是线性无关的.(4) 与题设矛盾.4设,证明向量组线性相关.证明 设有使得则(1) 若线性相关,则存在不全为零的数,;由不全为零,知不全为零,即线性相关.(2) 若线性无关,则由知此齐次方程存在非零解则线性相关.综合得证.5设,且向量组线性无关,证明向量组线性无关.证明 设则因向量组线性无关,故因为故方程组只有零解则所以线性无关6利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1) ; (2) .解 (1) 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2) ，所以第1、2、3列构成一个最大无关组7求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1),;(2),.解(1)线性相关.由秩为2,一组最大线性无关组为.(2) 秩为2,最大线性无关组为.8设是一组维向量,已知维单位坐标向量能由它们线性表示,证明线性无关.证明 维单位向量线性无关不妨设:所以两边取行列式，得由即维向量组所构成矩阵的秩为故线性无关.9设是一组维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示.证明设为一组维单位向量，对于任意维向量则有即任一维向量都可由单位向量线性表示.线性无关，且能由单位向量线性表示，即故两边取行列式，得由令则由即都能由线性表示，因为任一维向量能由单位向量线性表示，故任一维向量都可以由线性表示.已知任一维向量都可由线性表示，则单位向量组：可由线性表示，由8题知线性无关.10设向量组:的秩为,向量组:的秩向量组: 的秩,证明 证明 设的最大线性无关组分别为,含有的向量个数(秩)分别为,则分别与等价,易知均可由线性表示,则秩()秩(),秩()秩()，即设与中的向量共同构成向量组,则均可由线性表示,即可由线性表示,从而可由线性表示，所以秩()秩(),为阶矩阵，所以秩()即.11.证明.证明:设 且行向量组的最大无关组分别为 显然,存在矩阵,使得,因此12设向量组能由向量组线性表示为，其中为矩阵，且组线性无关。证明组线性无关的充分必要条件是矩阵的秩.证明若组线性无关令则有由定理知由组:线性无关知，故.又知为阶矩阵则由于向量组:能由向量组:线性表示,则综上所述知即若令,其中为实数则有又,则由于线性无关,所以即 （1）由于则(1)式等价于下列方程组: 由于所以方程组只有零解.所以线性无关,证毕.13设问是不是向量空间？为什么？证明 集合成为向量空间只需满足条件：若，则若，则是向量空间，因为：且 故故不是向量空间，因为：故故当时，14试证:由所生成的向量空间就是.证明 设 于是故线性无关.由于均为三维,且秩为3,所以为此三维空间的一组基,故由所生成的向量空间就是.15由所生成的向量空间记作,由所生成的向量空间记作,试证.证明 设任取中一向量,可写成,要证,从而得由得上式中,把看成已知数,把看成未知数 有唯一解同理可证: ()故16验证为的一个基,并把用这个基线性表示.解 由于即矩阵的秩为3故线性无关，则为的一个基.设，则故设，则故线性表示为17求下列齐次线性方程组的基础解系:(1) (2) (3).解(1)所以原方程组等价于取得取得因此基础解系为(2) 所以原方程组等价于取得取得因此基础解系为(3)原方程组即为取得取得取得所以基础解系为18设,求一个矩阵,使,且.解由于,所以可设则由可得,解此非齐次线性方程组可得唯一解，故所求矩阵19求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为.解显然原方程组的通解为,()即消去得此即所求的齐次线性方程组.20设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量且，求该方程组的通解解 由于矩阵的秩为3，一维故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得为其基础解系向量，故此方程组的通解：，21设都是阶方阵，且，证明证明 设的秩为，的秩为，则由知，的每一列向量都是以为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量(1) 当时,该齐次线性方程组只有零解,故此时,，结论成立(2)当时,该齐次方程组的基础解系中含有个向量,从而的列向量组的秩,即,此时,结论成立。综上,22设阶矩阵满足,为阶单位矩阵,证明(提示:利用题11及题21的结论)证明所以由21题所证可知又由11题所证可知由此23求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系：(1) (2)解(1)(2) 24设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明:(1)线性无关；(2) 线性无关。证明 (1)反证法,假设线性相关,则存在着不全为0的数使得下式成立: (1)其中,否则,线性相关,而与基础解系不是线性相关的产生矛盾。由于为特解，为基础解系，故得而由(1)式可得故，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得产生矛盾,假设不成立, 故线性无关.(2)反证法,假使线性相关.则存在着不全为零的数使得下式成立: （2）即1) 若,由于是线性无关的一组基础解2) 系,故,由(2)式得此时与假设矛盾.3) 若由题(1)知, 线性无关,故与假设矛盾,综上,假设不成立,原命题得证.25.设是非齐次线性方程组的个解，为实数，满足.证明也是它的解.证明 由于是非齐次线性方程组的个解.故有 而即 （）从而也是方程的解26设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，是它的个线性无关的解(由题24知它确有个线性无关的解)试证它的任一解可表示为 （其中）.证明设为的任一解由题设知：线性无关且均为的解取，则它的均为的解用反证法证：线性无关反设它们线性相关，则存在不全为零的数：使得即亦即由线性无关知矛盾，故假设不对线性无关，为的一组基由于均为的解，所以为的解可由线性表出令则,证毕第五章 相似矩阵及二次型1试用施密特法把下列向量组正交化：(1)；(2)解(1)根据施密特正交化方法:令，故正交化后得: (2)根据施密特正交化方法令故正交化后得 2下列矩阵是不是正交阵:(1); (2)解(1)第一个行向量非单位向量,故不是正交阵(2)该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵3设与都是阶正交阵，证明也是正交阵证明 因为是阶正交阵，故，故也是正交阵4求下列矩阵的特征值和特征向量:(1); (2); (3).并问它们的特征向量是否两两正交?解 (1)故的特征值为当时,解方程,由 得基础解系所以是对应于的全部特征值向量当时,解方程,由 得基础解系所以是对应于的全部特征向量故不正交(2)故的特征值为当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量.当时,解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量当时，解方程，由得基础解系故是对应于的全部特征值向量，所以两两正交(3) = , 当时，取为自由未知量，并令，设.故基础解系为当时，可得基础解系综上所述可知原矩阵的特征向量为5设方阵与相似，求.解 方阵与相似，则与的特征多项式相同，即6设都是阶方阵，且，证明与相似证明 则可逆 则与相似7设3阶方阵的特征值为；对应的特征向量依次为，求.解 根据特征向量的性质知可逆,得:可得得8设3阶对称矩阵的特征值6，3，3，与特征值6对应的特征向量为,求.解 设由，知3是的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知的秩为1，故利用可推出秩为1.则存在实的使得成立由解得得9试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵:(1);(2)解(1)故得特征值为当时，由解得单位特征向量可取:当时,由解得单位特征向量可取: 当时,由解得单位特征向量可取: 得正交阵(2)，故得特征值为当时，由解得此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量单位化得当时,由解得单位化:得正交阵10(1)设，求；(2)设,求解(1)是实对称矩阵.故可找到正交相似变换矩阵使得从而因此 (2)同(1)求得正交相似变换矩阵使得11用矩阵记号表示下列二次型:(1);(2)(3)解(1)(2)(3)12求一个正交变换将下列二次型化成标准形:(1) ;(2) 解(1)二次型的矩阵为故的特征值为当时, 解方程，由得基础解系. 取当时，解方程，由得基础解系取当时，解方程，由得基础解系取，于是正交变换为且有(2)二次型矩阵为，故的特征值为当时，可得单位特征向量，当时，可得单位特征向量，当时，可得单位特征向量，于是正交变换为且有13证明：二次型在时的最大值为矩阵的最大特征值.证明 为实对称矩阵，则有一正交矩阵，使得成立其中为的特征值，不妨设最大，为正交矩阵，则且，故则其中当时，即即故得证14判别下