2020届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学（文）试题（解析版）

2020届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学（文）试题一、单选题1已知集合，则的元素个数为（ ）ABCD【答案】C【解析】先由求解，确定与交点个数，即可得出结果.【详解】由解得或，即与有两个交点，所以的元素个数为个.故选：C.【点睛】本题主要考查交集中元素的个数，熟记交集的概念即可，属于基础题型.2已知复数满足，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】根据复数的乘法运算，得到，进而可确定其对应点的位置.【详解】因为，所以，所以其对应的点为，位于第四象限.故选：D.【点睛】本题主要考查复数对应点的位置，以及复数的乘法运算，熟记复数乘法运算法则，以及复数的几何意义即可，属于基础题型.3已知,则（ ）ABCD【答案】C【解析】因为,由得:,即可求得答案.【详解】 根据图像可知:又 ,根据图像,由 综上所述,.故选:C.【点睛】本题考查比较数值大小,这类大小比较一般是借助中间值,与中间值比较后可得它们的大小关系.4已知向量，向量，若，则实数（ ）ABCD【答案】D【解析】根据题意，先得到向量与的坐标，再由向量共线，列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为向量，向量，所以，又，所以，解得：.故选：D.【点睛】本题主要考查由向量共线求参数的问题，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.5为了解观众对某综艺节目的评价情况，栏目组随机抽取了名观众进行评分调查(满分分)，并统计得到如图所示的频率分布直方图，以下说法错误的是（ ）A参与评分的观众评分在的有人B观众评分的众数约为分C观众评分的平均分约为分D观众评分的中位数约为分【答案】C【解析】根据频率分布直方图，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，由频率分布直方图可得：参与评分的观众评分在的频率为，所以评分在的人数为，A正确；B选项，由频率分布直方图可得，参与评分的观众评分在的频率最大，因此观众评分的众数约为分，B正确；C选项，由频率分布直方图可得，观众评分的平均分约为，故C错；D选项，由频率分布直方图可得，观众评分的中位数约为，D正确.故选：C.【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求众数，中位数，平均数等，属于基础题型.6已知三角形中，内角所对的边分别为，若，则角（ ）ABCD【答案】A【解析】根据题意，由正弦定理求出；由余弦定理求出，进而可求出结果.【详解】因为，由正弦定理可得：，所以，因为为三角形内角，所以，解得；又，由余弦定理可得：，所以，因此.故选：A.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.7已知函数，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据对数的运算，结合函数解析式得到，进而可求出结果.【详解】因为，所以，又，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查分段函数求值的问题，熟记对数运算性质即可，属于常考题型.8九章算术中有一题：今有牛、马羊食人苗，苗主贵之粟五斗，羊主日：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说： “我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”，打算按此比例偿还，则牛主人比羊主人多赔偿几斗粟（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题意，可得，羊马牛的主人需赔偿的粟构成等比数列，由题意确定公比，求出首项，进而可求出结果.【详解】由题意，羊马牛的主人需赔偿的粟，依次成等比数列，且公比，因为一共赔偿五斗粟，所以，即，即，所以，因此，所以.即牛主人比羊主人多赔偿斗粟.故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式即可，属于常考题型.9直线交圆于两点，角的顶点为原点，始边与轴的非负半轴重合，终边分别过两点，则（ ）ABCD【答案】A【解析】先由直线与圆的方程联立，求出两点坐标，根据三角函数的定义，得到对应的三角函数值，再由两角和的正弦与余弦公式，以及同角三角函数基本关系，即可求出结果.【详解】由解得：或，不妨令，由三角函数的定义，可得：，；，所以，因此.故选：A.【点睛】本题主要考查用两角和与差的正弦与余弦公式求值的问题，熟记两角和与差的正弦与余弦公式，同角三角函数基本关系，三角函数的定义，以及直线与圆的交点的求法即可，属于常考题型.10数列:，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.该数列前两项均为，从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.设计如图所示的程序框图，若输出“兔子数列”的第项，则图中，处应分别填入（ ）ABCD【答案】D【解析】根据框图的作用，结合题意，即可得出结果.【详解】由题意，可得，该框图用于计算“兔子数列”的第项，因此时，要输出结果，故应填；而最终输出的结果即是，所以由题意，中计算的结果，应是.故选：D.【点睛】本题主要考查补全循环程序框图，根据题意，分析框图的作用即可，属于常考题型.11正三棱锥，为中点， ，过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据题中数据，结合正棱锥的结构特征，得到两两垂直，可将正三棱锥看作正方体的一角，设正方体的体对角线的中点为，得到点是正三棱锥外接球的球心，记外接球半径为，过球心的截面圆面积最大；再求出，根据球的结构特征可得，当垂直于过的截面时，截面圆面积最小，结合题中数据，即可求出结果.【详解】因为正三棱锥，所以，即，同理，因此正三棱锥可看作正方体的一角，如图，记正方体的体对角线的中点为，由正方体结构特征可得，点即是正方体的外接球球心，所以点也是正三棱锥外接球的球心，记外接球半径为，则，因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积最大为；又为中点，由正方体结构特征可得；由球的结构特征可知，当垂直于过的截面时，截面圆半径最小为，所以.因此，过的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积范围为.故选：D.【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，球的截面的相关计算，熟记简单几何体的结构特征即可，属于常考题型.12已知双曲线左焦点为，分别在双曲线左右支上，轴，且与双曲线两渐近线从左至右依次交于，则以为直径的圆上的点到原点的最近距离为（ ）ABCD【答案】C【解析】先设，得到，根据双曲线得到其渐近线方程，由题意，不妨设在上，则，根据，求出；设中点为，则（为右焦点)，结合图像，即可得到圆上点到的最近距离为，进而可求出结果.【详解】设，则因为双曲线的渐近线方程为：，不妨设在上，则，所以由于，又，所以，设中点为，则（为右焦点)，圆上点到的最近距离为.故选：C【点睛】本题主要考查圆与双曲线的综合，熟记双曲线的定义及双曲线的简单性质，以及点到圆的距离的最值问题的解法即可，属于常考题型.二、填空题13已知实数满足不等式组，则的最大值为_【答案】【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为，则表示直线在轴截距的倍，根据图像，即可得出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下，因为目标函数可化为，则表示直线在轴截距的倍，由图像可得，当直线过点时，在轴截距最大，即取最大值；易知，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查求简单的线性规划问题，通常需要由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像求解，属于常考题型.14已知函数为奇函数，则_【答案】【解析】根据函数的奇偶性，得到，推出，再由题中范围，即可得出结果.【详解】因为函数为奇函数，所以，即，因此，又，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性求参数，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型.15已知为平面上不共线三点，时.任取，使得点在三角形内(含边界)的概率为_【答案】【解析】根据平面向量基本定理，以及三点共线的充要条件，先得到只需满足，即可使点在三角形内(含边界)，再作出平面区域，分别求出对应区域的面积，以及对应区域的面积，面积比即为所求概率.【详解】因为，为使点在三角形内(含边界)，必有；若线段上，则，三点共线，根据三点共线的充要条件，必有，因此，只需满足，即可使点在三角形内(含边界)，在平面直角坐标系内表示该平面区域如下（阴影部分），其面积为，而表示的区域为矩形区域，其面积为，所以点在三角形内(含边界)的概率为.故答案为：.【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率的计算公式，二元一次不等式组所表示的平面区域，以及平面向量的基本定理即可，属于常考题型.16已知函数，若对恒成立，则的取值范围是_【答案】【解析】先令，对其求导，用导数的方法研究的单调性，根据单调性，由作出函数的图像，由题意，得到在取最小，根据函数图像，即可得出结果.【详解】令，则，由得；由得或，因此函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，画出函数的图像如下:因为对恒成立，所以在取最小，可使能取得极小值且不能比更小，又不能超过的另一根由得，另一根为，综上：.故答案为：.【点睛】本题主要考查分段函数的应用，以及导数的应用，熟记分段函数性质，以及导数的方法研究函数的单调性即可，属于常考题型.三、解答题17已知数列前项和为，且.（1）求证:为等比数列;（2）求和.【答案】（1）见解析；（2），【解析】（1）先由，得，两式作差，整理，即可证明结论成立；（2）根据（1）的结论，由等比数列的通项公式即可求出结果，再由题中条件，即可得出.【详解】(1)因为，所以，两式相减得，.所以；又得所以为首项为，公比为的等比数列；(2)由（1）可得：，所以，所以.【点睛】本题主要考查由递推关系证明等比数列，以及数列的求和，熟记等比数列的定义，以及等比数列的通项公式即可，属于常考题型.18如图，在四棱锥中，平面，为线段上一点，.（1）求证:平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）连接交于，根据线面平行的判定定理，即可证明平面；（2）由（1）推出平面，根据，即可求出结果.【详解】（1）连接交于，因为，所以，又因为，所以，而平面，平面，所以平面；(2)由(1)知且，因为平面，所以平面，所以.【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及求三棱锥的体积，熟记线面平行的判定定理，以及三棱锥的体积公式即可，属于常考题型.19某公司决定投人资金进行产品研发以提高产品售价.已知每件产品的制造成本为元，若投人的总的研发成本(万元)与每件产品的销售单价(元)的关系如下表:（1）求关于的线性回归方程;（2）市场部发现，销售单价(元)与销量(件)存在以下关系：，.根据（1）中结果预测，当为何值时，可获得最高的利润？附:，.【答案】（1）；（2）时，获得最大利润【解析】（1）先由题中数据得，根据最小二乘法估计，求出，即可得出回归直线方程；（2）根据（1）的结果，由题意，得到销售利润为，结合二次函数的性质，即可求出结果.【详解】（1）由题中数据可得，所以；所以，因此关于的线性回归方程为；(2)由题意，销售利润为，显然其对应的二次函数开口向下，对称轴为；所以，时，利润取得最大值元.【点睛】本题主要考查用最小二乘法求线性回归方程，以及线性回归方程求预测值，属于常考题型.20函数.（1）若函数的图象在处的切线过，求的值；（2）在恒成立，求的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】（1）先对函数求导，得到，根据题意，得到，推出，设，对其求导，研究其单调性，求出最小值，即可得出结果；（2）先由题意，将在恒成立，转化为在恒成立，设，对其求导，分，三种情况讨论，研究其单调性，得到其大致范围，即可得出结果.【详解】（1）因为，所以，由于在处的切线过，所以，即，化简得，即，设，则，由得；由得；从而在单调递增，再单调递减；因此，所以有唯一根；(2)由得，因为，所以，因此，在恒成立，即是在恒成立；设，则，当时，此时恒成立，所以单增，因此，满足题意；当时，显然恒成立，此时单增，所以，也满足题意；当时，由得，所以方程必有两不等实根，不妨设为，由根与系数关系，所以方程在有唯一根，即在有唯一根，所以易得：在单减，单增，则，与题意矛盾，不成立；综上，.【点睛】本题主要考查由函数的切线过某点求参数，以及由导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义，以及导数的方法研究函数的单调性，最值等即可，属于常考题型.21已知抛物线焦点为，为抛物线上在第一象限内一点，为原点，面积为.（1）求抛物线方程；（2）过点作两条直线分别交抛物线于异于点的两点，且两直线斜率之和为，（i）若为常数，求证直线过定点；（ii）当改变时，求（i）中距离最近的点的坐标.【答案】（1）；（2）( i )见解析；（ii）【解析】（1）先将代入抛物线的方程，根据三角形面积，求出，即可得出抛物线方程；（2）（i）先设直线不存在时没有两个交点，不成立)，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，得到，表示出，化简整理，得到，代入直线方程，即可得出结果；（ii）由（i）得到定点在直线上，易得，距离最近时为，进而可求出结果.【详解】（1）由题意，将代入抛物线得，所以面积为，解得，所以抛物线方程为；（2）（i）由题意，设直线不存在时没有两个交点，不成立)，联立得，所以，所以，则，从而，带入得直线所以过定点（ii）由（i），令，所以，即定点在直线上，因为过点的直线与垂直，由得，所以距离最近时为.【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，以及抛物线中的定点问题，熟记抛物线的标准方程，以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型.22在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴