阅读与思考海伦和秦九韶 (4).docx

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=p(p-a)(p-b)(p-c)而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2注1：Metrica(度量论)手抄本中用s作为半周长，所以S=p(p-a)(p-b)(p-c)和S=s(s-a)(s-b)(s-c)两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。证明过程与海伦在他的著作Metrica(度量论)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC=(a2+b2-c2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*(1-cos2C)=1/2*ab*1-(a2+b2-c2)2/4a2*b2=1/4*4a2*b2-(a2+b2-c2)2=1/4*(2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)=1/4*(a+b)2-c2c2-(a-b)2=1/4*(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16=p(p-a)(p-b)(p-c)所以，三角形ABC面积S=p(p-a)(p-b)(p-c)证明（2）我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在九章算术中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px2=qk,p为“隅”，q为“实”。以、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4a2*c2-(a2+c2-b2)/22当P1时，2q,=1/4a2*c2-(a2+c2-b2)/22因式分解得2=1/164a2c2-(a2+c2-b2)2=1/16(c+a)2-b2b2-(c-a)2=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=1/162p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)=p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得：S=p(p-a)(p-b)(p-c)其中p=1/2(a+b+c)这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦秦九韶公式”。S=1/4a2*c2-(a2+c2-b2)/22.其中cba.根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积这里用海伦公式的推广S圆内接四边形=根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）代入解得s=83证明（3）在ABC中A、B、C对应边a、b、cO为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=rr=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=(p-a)+(p-b)+(p-c)tanA/2tanB/2tanC/2=ptanA/2tanB/2tanC/2=rp2r2tanA/2tanB/2tanC/2=pr3S2=p2r2=(pr3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)=p(p-a)(p-b)(p-c)S=p(p-a)(p-b)(p-c)证明(4)通过正弦定理:和余弦定理的结合证明(具体可以参考证明方法1)编辑本段推广关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为ABC外接圆、内切圆的半径，p=(a+b+c)/2,则SAB