用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题.doc

用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题 教案授课人：贵州省凯里一中数学组 梁恩焕 邮编：556000学情分析1、部分学生因对向量加法和减法的不熟练，在用向量表示几何关系时存在困难；2、学生虽然学过向量共线的条件和平面向量基本定理的内容，但现阶段对向量的认识还不够深刻，自主应用向量解决数学问题的意识还没有树立起来；3、虽然学生通过对平面向量基本定理这一节例5的学习，学会了在三点共线的条件下如何用向量表示几何关系的方法，但因时间关系，这一结论并没有去挖掘它的应用。应对策略1、课前要求学生自己复习向量的加法和减法、向量共线的充要条件和平面向量基本定理有关知识；2、在上完5.3的平面向量基本定理后，布置教材P110.第7题和一些用向量表示几何关系的练习，让学生能较熟练地用向量表示几何关系，为学习本节课的知识作准备；3、通过探求三点共线的向量结论中的几何意义，加深学生对这一结论的认识与理解，逐步增强学生应用向量的意识。知 识 与 技能目标1、能熟练地用向量表示几何关系；2、能说出三点共线的向量结论中的几何意义；3、模式识别：能应用三点共线的向量结论求平几中的共线线段的比值问题；4、培养学生应用向量解决数学问题的意识。过 程与方 法目 标1、复习三点共线的向量结论；2、启以、引导学生发现三点共线的向量结论中的几何意义；3、巩固与应用，增强学生应用向量解决数学问题的能力。情 感态 度与价值观学会合作与交流；在独立思考的基础上获取知识，获得成功的体验；感受向量应用的广泛性。教 学重 点三点共线的向量结论的应用教 学难 点应用向量解决数学问题的意识教 具准 备多媒体课件注：为了简单起见，平面几何简称为平几；师指教师，生指学生。教 学 过 程（师生活动）设计理念和实施方法创设情景师：上节课我们学习了三点共线的向量结论（如右图）A、B、C三点共线的充要条件是：有唯一实数对、，使且+=1；有何意义？这就量本节课需要解决的问题。电脑显示本节课课标：1、探求的几何意义；2、应用.1、“+=1”可提问学生，上课伊始适当的问题能让学生注意力转移到课堂上来；2、板书本节课课题：用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题探索分析52问题已知如图，A、B、C三点共线，O为线段AB外一点。1、2、师：请同学们完成上面两个问题（请学生说出答案）生：1、；2、师：请说出1的系数比 生：师：结合图形，你对这一比值有什么新的发现没有？生：恰好等于线段值。师：再次发挥同学们的想像能力，上述线段能否从1式的向量表达式中得到？怎样得到的？生：能；将1式各向量的终点联结就能得到。师：系数之比与用向量表达式写出的线段比位置上有何关系？生：交叉关系。师：从以上过程你对此有什么猜想？生：系数之比等于（由向量表达式写出的）“交叉线段”长之比？师：若A、B、C三点共线且+=1我们是否能作这样的猜想：=。师：大家算一下2的系数比，你又有什么发现？生：=，可写成=|=.师：由此我们可得猜想=。这一猜想是正确的。它的证明留给同学们课外完成，当你完成了这一结论的证明后，完全有理由相信自己对向量的认识会提高一个层次！师：综上所述，我们有下面结论：A、B、C三点共线的充要条件是有唯一实数对、，使，其中+=1； =。师：这一结论的右边表示什么的比值？这两线段有何位置关系？左边又表示什么的比值？生：线段；两线段共线（或三点共线）；向量表达式的比值。师：这些特点告诉了我们什么？（略停）求解三点共线的线段的比值问题，可将其转化为求三点共线的向量结论中的系数。我们所学的向量知识可与平几知识联系起来！1、电脑显示结论2、这节课的知识较抽象，过多使用电脑会给学生理解和掌握知识造成障碍。因此，板书对于学生理解知识是很有好处的。3、两个问题的答案如下：4、让学生经历操作观察猜想这一过程。5、这节课的重点是知道结论并会应用，证明的技巧性较强。对高一学生在教学中有时采用“重形式轻实质”的方法能让学生更好地学习本节课的主要知识。因此，证明过程让有兴趣的学生课外完成。6、得到结论后重要的是引导学生分析结论的特点，能模式识别。巩固练习应用1-想一想图11、已知平面上不同的四点满足：，试指出M、A、B的关系。2、已知如右图1，若，则 + 3、已知， 4、已知， .应用2-做一做例1、已知如右图，AE=2EC,ABC的中线AM交BE交于点G，求的值。思路分析：要求的是AG与GM两线段的比值，且两线段是共线的，故可考虑转化为用本节课的结论。解：A、G、M三点共线，可设又引导学生总结解题思路：（1）由A、G、M三点共线用结论表示；（2）由A、E、C三点共线用结论表示；(3)将与转化成用相同的基底表示； (4)根据两向量、共线，通过比较对应向量的系数转化为方程组求值。例2 已知如下图，G为ABC的重心，过点G的直线分别交边AB、AC于点E、F，且，（）。 求证：。 思路分析：从图中可看到E、F、G三点共线，可试着去找适当的基向量M表示，些时作辅助线再找一个与共线的向量就是自然的事了！解：连结AG并延长交BC于点M，则AM为BC的中线。 E、G、F三点共线，可设又，答案：1、三点共线2、3、4、解题过程的回顾与总结是调动学生参与课堂，也是一次学生自我提高的的过程。例题用多媒体显示学生练习教师巡视，对学生练习中出现的问题给予指导。答案：4：1课外引申用本节课所得到的结论证明第23届IMO试题（见课外作业）给学有余力的学生展示自己的平台的机会！课堂小结1、探索得到了三点共线的向量结论中的几何意义；2、应用这一结论解决平几中的一类求值问题；3、应用结论来求值时，选择适当的基底将几何关系用向量表示，再用向量共线来建立方程组进行求解；4、本节课仅是根据同学们现在具备的知识讲了向量的一个应用。实际上，随着同学们知识的积累，你会发现向量的应用是很广泛的，这节课只想起到一个抛砖引玉的作用，课后同学们可去网上查询有关这方面的知识！课堂小结是使知识系统化；作业布置课堂练习：已知如图 ，求 的值。课外作业（用试卷打好发给学生）1、已知如右图，AE=2EC,ABC的中线AM交BE交于点G，求的值。2、（第23届IMO试题）如图，M、N分别是正六边形对角线AC、CE上的点。若B、M、N三点共