ch44IIR习题答案.pdf

4 5 MATLAB 实现滤波器设计 1 4 6 习题 4 1 若 Butterworth 滤波器的阶数由式 4 24 确定 试证明按式 4 27 确定 c的 Butterworth 滤波器在通带和阻带均满足技术指标 证 记 N A 2 1 1 0 p c1 110 p NA s s 2 11 0 c2 110 c2c3c1 N HA 2 c 2 c 1lg10 j lg10 由上式可知 A c 是关于变量 c的单调递增函数 由课文中的推导过程可知 A c 满足 A p c1 Ap A s c1 As A p c2 Ap A s c2 As 由于 c1 c3 所以 p c3 p c1 由 A c 的单调递增特性及 A p c1 Ap可得 A p c3 Ap 由于 c3 c2 所以 s c2 s c3 由 A c 的单调递增特性及 A s c2 As可得 A s c3 As 4 2 试利用 Butterworth 滤波器 设计一个满足下列条件的模拟低通滤波器 501 j 8 0 H 101 0 j H 解 由题所给条件得 64 0 5 1 1 2 N c 5625 0 5 2 N c 01 0 10 1 1 2 N c 99 10 2 N c 7 3 2lg2 5625 0 99lg N 取 N 4 将 N 4 代入由通带方程得 3728 5 5625 0 5 8 1 c 将 N 4 代入由阻带方程得 6305 5 99 10 8 1 c 1 8478 1 1 7654 0 1 22 cccc ssss sH 由3728 5 c 得出的系统为 867 289279 9 867 281123 4 3025 833 22 ssss sH 由6305 5 c 得出的系统为 7025 31404 10 7025 313096 4 1 1005 22 ssss sH 4 3 试用 Chebyshev I 型滤波器 重做题4 2 解 由题所给条件得 5 c 75 018 0 1 2 5 2 5 10 harccos 101 0 1 1 harccos N 取 N 3 3662 0 1 sinh 1 N 1872 0 2 sin sinh 1 N 9274 0 2 cos cosh 1 N 5 2 5 sinh 5 sinh 222 22 kkk kk sss sH 2552 228722 1 8722 1 6667 41 2 sss6667 417604 257444 3 6667 41 23 sss 4 4 已知 H s 为 CB I 型低通滤波器 且 N 3 p 3 s 10 s 0 01 该滤波器在阻带正好满足指标 试确定用实系数有理多项式表示的 H s 解 1 由通带截频 p确定 c c p 3 2 由阻带波动确定 由 2 ps 22 arccosh cosh1 1 s N 得 4 5 MATLAB 实现滤波器设计 3 arccoshcosh 1 1 ps 2 s N 0 7238 3 2 sinh sinh 2 1 2 1 2 cc1 2 2 1 2 1 c 3 c sss sH N k k 2 p 12 sin sinh N k k 2 p 12 cos cosh N 1 harcsin 3255 94131 93078 2 3255 9 23 sss sH s 0 8101 s 0 01 4 5 已知二阶 CB II 型低通滤波器的参数 0 1 且 H j1 0 试求用实系数有理多项式 表示的 H s 解 由 1 j c 2 2 2 c 2 2 2 2 C C H 12 2 2 xxC 得 2 1 c 111 j s 4 sin sinh 1 4 cos cosh 1 N 1 harcsin 11 1 sp 0 2993 j0 3308 p 4cosj 1 z j 1 4142 Re 2 2 2 cc 2 2 2 c 2 22 kk kkk psps zszp sH 0995 04233 0 1 0995 0 2 2 ss s 4 6 试利用 Butterworth 滤波器设计一个通带 3dB 截频 p 5 rad s 的三阶模拟高通滤波 器 解 变换 sssHsH LPHP 1 要求的低通滤波器的 3dB 截频为 5 1 1 pp 3dB 截频为 5 1 p 的 3 阶巴特沃思滤波器为 1525 15 1 2 sss sHLP 高通滤波器为 255 5 2 3 sss s sHHP 4 7 直接计算幅度响应的模方 证明 2 0 2 BP Bss Bs sH 是一个中心频率为 0 1 j 0BP H 通带 3dB 带宽为 B 的带通滤波器 解 2222 0 2 22 2 B B jHBP 由 上 式 知1 2 jHBP 在 0 时 2 jHBP达 到 最 大 值 1 所 以 1 0 jHBP 由2 1 2 jHBP得 2222 0 2 B 当 0 0 时 0 2 0 2 B 所以 2 0 2 2 42 BB p 0 0 时 0 2 0 2 B 2 0 2 1 42 BB p 所以 B pp 12dB3 4 8 直接计算幅度响应的模方 证明 2 0 2 2 0 2 BS Bss s sH 是一个中心频率为 0 0 j 0BS H 阻带 3dB 带宽为 B 的带阻滤波器 解 2222 0 2 22 0 2 2 B jHBS 由上式知1 0 2 jHBS 在 0 时 2 jHBS达到最小值 0 由2 1 2 jHBS得 2222 0 2 B 当 0 0 时 0 2 0 2 B 所以 2 0 2 2 42 BB p 0 0 时 0 2 0 2 B 4 5 MATLAB 实现滤波器设计 5 2 0 2 1 42 BB p 所以 B pp 12dB3 4 9 已知一模拟低通滤波器的技术指标为 fp 2 1 kHz fs 8 kHz Ap 0 5 dB As 30 dB 试分别确定用 Butterworth 滤波器和 CB I 型滤波器实现该指标所需的阶数 解 1 Butterworth 滤波器 由式 4 24 可得 37 3 lg 2 110 110 lg sp 1 0 1 0 s p A A N 取NBW 4 2 CB I型滤波器 由式 4 38 得 110 p 1 0 A 0 3493 由式 4 39 得 58 2 arccosh 110 1 arccosh ps 1 0 s A N 取NCB 3 4 10 利用二阶归一化 Butterworth 低通滤波器 设计一个中心频率为20 0 rad s 通带 3dB 带宽为 B 4 rad s 的模拟带通滤波器 解 1 变换中的参数为4 B 20 0 2 2 阶归一巴特沃思低通滤波器为 12 1 2 0 ss sHL 3 Bs s ssHsH LBP 2 0 2 0 22 0 222 0 2 22 2 BssBss sB 4 0 2 0 222 0 34 22 2 2 2 sBsBBss sB 1600007 22628166569 5 16 234 2 ssss s 4 11 有人提出了以下一种设计模拟带阻滤波器的方法 1 由 1p2p B 2p1p 2 0 确定变换参数 2 原型低通滤波器的阻带截频 s 为 min s2s1s 其中 2 0 2 1s 1s 1 B s 2 0 2 2s 2s 2 B s 3 设计通带截频为 1 rad s 阻带截频为 s 通带衰减为 Ap 阻带衰减为 As的原 型低通滤波器 L sH 4 由式 4 74 获得带阻滤波器 用上述步骤重做例 4 17 画滤波器的幅度响应曲线 分析和讨论所出现的问题 Ap 1dB As 10 dB p1 6 rad s p2 13 rad s s1 9 rad s s2 11 rad s 解 1 带阻变换中的参数为 7 1p2p B 8318 8 2p1p0 2 由 21 2 0 2 1s 1s 1 B s 7907 1 2 0 2 2s 2s 2 B s 得 7907 1 min s2s1s 3 由 N wc buttord 1 ws bar Ap As s num den butter N wc s 得原型低通滤波器的分子多项式系数 num 与分母多项式系数 den 分别为 num 0 0 0 0 3 4274 den 1 0000 3 5555 6 3208 6 5824 3 4274 4 由 numt dent lp2bs num den w0 B 得带阻滤波器分子多项式系数 numt 与分母多项式系数 dent 分别为 numt 1 0000e 000 1 7830e 014 3 1200e 002 3 6258e 012 3 6504e 004 2 3634e 010 1 8982e 006 4 6565e 009 3 7015e 007 dent 1 0000e 000 1 3444e 001 4 0237e 002 3 5016e 003 5 1302e 004 2 7313e 005 2 4480e 006 6 3797e 006 3 7015e 007 下画出了该滤波器的增益响应响应曲线 由图可知 所设计的滤波器也满足设计指标 但该方法存在以下不足 4 5 MATLAB 实现滤波器设计 7 1 由于选择了通带截频作为变换的参数 使得带阻滤波器中心频率 0不在阻带 s1 s2 范围内 2 滤波器的阶数比例 4 17 高一倍 567891011121314 60 50 40 30 20 10 0 rad s G dB 4 12 为获取数字音乐信号 用 48kHz 对模拟信号进行抽样 为了减少混叠 在抽样前用 模拟抗混叠滤波器进行滤波 滤波器的指标为 fp 19kHz fs 24kHz p 0 05 s 10 4 由于音乐信号的能量是随频率的增加而衰减的 所以要求抗混叠滤波器在通带的幅 度响应是单调下降的 试判断可用哪些类型的滤波器 确定滤波器的参数 N c 解 由于模拟滤波器的性质可知 可选用 Butterworth 和 CB II 型滤波器 Ap 20lg 1 p 0 4455dB As 20lg s 80 dB Butterworth 滤波器 由式 4 24 可得 2 44 lg 2 110 110 lg sp 1 0 1 0 s p A A N 取NBW 45 由式 4 25 可得 N A 2 1 1 0 p c 110 p 1 2242 105 CB II 型滤波器 由式 4 46 得 c s 24 103 2 4 8 104 由式 4 47 得 110 1 s 1 0 A 10 4 由式 4 48 得 可得5 15 arccosh 110 1 arccosh ps 1 0 p A N 取NCB 16 4 13 利用脉冲响应不变法 将下列模拟滤波器转换为数字滤波器 1 22 1 s sH 2 22 2 s s sH 3 22 3 s DCs sH 解 1 jsjsjs 11 2 1 22 1 1 1 1 1 1 1 2 zezej T zH TjTj 221 1 cos 21 sin zezTe zTTe TT T 2 jsjss s11 2 1 22 1 1 2 1 1 1 1 2 zeze T zH TjTj 221 1 cos 21 cos 1 zezTe zTeT TT T 3 22 3 s CDsC sH 123 zHCDzCHzH 221 1 e cos e21 cos sin e zzT zTCTCDTTC TT T 4 14 利用脉冲响应不变法 将下列模拟滤波器转换为数字滤波器 设 T 1s 1 3 1 2 1 ss s sH 2 9 1 0 1 2 2 s s sH 4 5 MATLAB 实现滤波器设计 9 3 4 5 2 43 2 2 3 sss s sH 解 1 3 5 0 1 5 0 1 ss sH 1311 1 e1 5 0 e1 5 0 zz zH 21 1 0183 04177 01 2088 01 zz z 2 由题 4 13 2 结论可得 22 011 0 11 0 2 e 3cos e21 3cos 3sin 3 0 e1 zz z zH 21 1 8187 07916 11 9341 01 zz z 3 4 5 13 14 13 25 2 13 64 2 3 ss s s sH 1 2 1 13 14 13 25 2 13 64 2 s s s 由题 4 13 3 结论可得 2115 0 15 0 12 3 e 1cos e21 1cos 13 25 1sin 26 3 e 13 25 e1 13 64 zz z z zH 21 1 1 3679 06554 01 5713 09231 1 1353 01 9231 4 zz z z 321 21 0498 04566 07908 01 7338 13951 23 zzz zz 4 15 利用模拟 Butterworth 低通滤波器和脉冲响应不变法 设计一个满足下列条件的数 字滤波器 p2 001 e 2 1 j H p6 02 0 e j H 解 取 T 1 1 则模拟滤波器指标为 2 0 p 6 0 s 2 设计模拟滤波器的 由于 p 是 3db 截频 所以 2 0 pc 由阻带指标得 04 0 2 0 6 0 1 1 2 N 24 3 2 N 45 13lg2 24lg N 取 N 2 所以 3948 08886 0 3948 0 1 2 1 2 2 ss ss sH cc 22 4443 0 4443 0 4443 0 8886 0 s 3 将模拟滤波器转换为数字滤波器 由题 4 13 1 的结果得 28886 014443 0 14443 0 4443 0cos 21 4443 0sin 8886 0 zeze ze zH 21 1 4112 0 1580 1 1 2449 0 zz z 4 16 利用 ChebyshevI 型滤波器 重做题4 15 解 取 T 1 1 则模拟滤波器指标为 2 0 p 6 0 s 2 由通带截频 p确定 c c p 0 2 3 确定 由 2 1 1 1 2 可得 1 3 阻带指标确定 N 由 2 ps 22 arccosh cosh1 1 s N 可得 arccosh 1 1 1 arccosh ps 2 s N N 1 2887 取 N 2 4 设计 AF 4407 0 1 harcsin N 7769 0 j3218 0 4 cos jcosh p 4 sin sinh 1 s 2 1 2 cc1 2 2 1 2 c 2 21 1 sss s sH 2792 04044 0 1974 0 2 ss 5 21 1 6674 04431 11 1594 0 zz z zH 4 5 MATLAB 实现滤波器设计 11 4 17 4 18 利用双线性变换法 将下列模拟滤波器转换为数字滤波器 设 T 1s 1 4 1 2 1 ss sH 2 12 0 2 2 2 ss s sH 3 1 1 2 3 3 sss s sH 解 1 1 1 1 1 2 11 z z s sHzH 4 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 z z z z 2 21 9 1 1 1 9 1 z z 2 1 1 1 1 2 22 z z s sHzH 1 1 1 2 0 1 1 4 1 1 4 1 1 2 1 1 1 1 z z z z z z 21 21 27 23 9 10 1 1 27 20 zz z 3 1 1 1 1 2 33 z z s sHzH 321 31 7 1 7 5 21 25 1 1 21 8 zzz z 4 19 在实际中 可以通过题4 19图所示系统来实现一个模拟滤波器 设要实现的模拟低 通滤波器 sH的指标为 fp 1 2kHz Ap 3dB fs 2kHz As 15dB 1 如果系统的抽样频率 fsam 8kHz 试确定图中数字滤波器 H z 的设计指标 使得 如图所示系统能和模拟低通滤波器 H s 等价 2 用双线性变换法 分别设计满足 1 中指标的 BW 型和 CB I 型的数字低通滤波 器 A DH z D Ax t x k y k T yr t T 题4 19图 解 a 等效数字滤波器的频率指标 3 0 2 sampp ff 5 0 2 samss ff b 取 T 2 则设计 DF 所需模拟滤波器频率指标为 5095 0 2 tan pp 1 2 tan ss BW 型 5095 0 pc 5 2 lg 2 110lg 1 0 cs As N 取 N 3 1 2 2 1 23 ccc BW sss sH 1323 05192 00191 1 1 23 sss 由双线性变换得 321 31 1378 0 6959 0 1619 1 1 1 0495 0 zzz z zHBW CB 型 5095 0 pc 1110 1 0 p A 8 1 harccos 110 1 harccos 1 0 cs As N 取 N 2 1838 03286 0 1301 0 2 ss sHCB 由双线性变换得 21 21 5655 0 0794 1 1 1 086 0 zz z zHCB 4 20 利用三阶模拟 Butterworth 低通滤波器和双线性变换法 设计一个通带 3dB 截止频 率为 p 0 5 的数字高通滤波器 解 取 T 2 则 AF HP 的 3dB 截频为 1 2 tan pp 1 1 2 3