图形旋转的一个重要性质及其应用.doc

图形旋转的一个重要性质及其应用441021 湖北省襄樊市第七中学 曾庆丰*图形的旋转是新课程中的一个新增内容，在各省市中考中占有相当的比重，然而由于教材对旋转的性质介绍的较少，再加上这类问题的图形往往比较复杂，常使人“眼花缭乱”，致使同学们求解起来颇感困惑本文介绍图形旋转的一个重要性质及其应用，望对同学们分析和解决这类问题有所帮助1 性质及证明性质 一个图形绕一个点旋转得到另一个图形，则对应边所在直线的夹角（）与旋转角（）相等或互补（记为性质*）证明 下面以两条线段为例来证明（1）当旋转角小于或等于900时：如图1，线段AB绕点O逆时针旋转（）得线段A/B/ AOA/=BOB/=， AOB=A/OB/在AOB和A/OB/中， ， A=A/又 ADO=A/DC， ACA/=AOA/=，即=（2）当旋转角大于900且小于1800时：如图2，延长AB交OA/于点D，A/B/于点C，同理（1），得ACA/=AOA/=而+ACA/=1800，故+=1800综合（1）、（2）即可获证图1图2注 由上述性质我们还可以得到如下推论：一个图形绕一个点旋转得到另一个图形，则每组对应边所在直线形成的夹角都相等且与旋转角相等或互补2 性质的应用图3例1 如图3，ABC中，ACB=900，AC=BC，将ABC绕点C旋转角（）后得到A1B1C，连结BB1，又CB1交AB于点D，A1B1分别交AB、AC于点E、F若要使BB1D是以B1D为底边的等腰三角形，求旋转角解析 由等腰直角三角形及旋转的性质，易得2=5=450；因为线段AB和线段A1B1是对应边，由性质“*”，得1=，所以3=2+1 =450+要使BB1D是以B1D为底边的等腰三角形，则有3=4，而CB=CB1，所以4=CBB1=，故450+=解得=300注 本题的图形比较复杂，识图的关键是抓住旋转前后图形的对应关系，这其中包括对应点、对应边及对应三角形例2 如图4，D在线段AB上，ACD和CBE均为等边三角形（1）CDE能否由CAB通过旋转得到，请说明理由；图4（2）若点D为线段AB的中点，试判断线段AC与DE线段的位置关系和数量关系，并说明理由解析 （1）因为ACD和CBE为等边三角形，所以1=2=600，CA=CD，CB=CE，由旋转的定义，得CDE是由CAB绕点D逆时针旋转600得到；（2）因为线段AB和线段DE是对应边，由性质“*”，得4=1=A=600，所以ACDE；又因为DA=DB=DC，所以ACB=900，所以3=900-A=300，故，而AB=DE，所以注 证明一个图形能否由另一个图形旋转得到，必须证明两点：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心连线所成的角相等，两点缺一不可，而同学们在证明旋转时，常常犯“全等即旋转”的错误，应引起我们的重视；另外，在表述旋转时，一定要包含旋转的三要素，即旋转中心、旋转方向和旋转角例3 在矩形ABCD中，ACB=300，现将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转得矩形AB1C1D1，C1B1的延长线交直线BC于点E，连结AE图5图6图8图7（1）如图5，当=600时，AEC= ；（2）如图6，当=900时，AEC= ；（3）如图7，当时，猜想AEC的度数，并证明你的结论；（4）如图8，当时，（3）中得到的结论还成立吗？若不成立，试探究AEC的度数，并写出你的结论（不需要证明）解析 由旋转的性质，易证，所以1=2（1）因为线段BC和线段B1C1是对应边，由性质“*”，所以600所以AEC=2+3=1200；（2）同理（1），得AEC=1350；（3）因为线段BC与线段B1C1是对应边，由性质“*”，得（2+1）+=1800又因为1=2，所以2=，而3=1800-（2+1）=，所以AEC=2+3=+=；（4）由（3），得1=2=，所以AEC=注 当旋转角为锐角或直角时，对应边所在直线的夹角等于旋转角；当旋转角为钝角时，对应边所在直线的夹角与旋转角互补上述性质虽然在考试中不一定能直接使用，但由于该性质的证明过程比较简单，在使用前，略作证明即可记住并掌握该性质对提高我们的识图能力、发现旋转中的等量关系等都是大有裨益的 曾庆丰，全国数学优质课一等奖获得者，襄樊名师系人民教育出版社课标实验教材讲师团成员，湖北省骨干教师培训授课教师，襄樊市教育讲师团教师，襄城区数学兼职教研员，市七中教科室主任先后在数学通报、数学教学、中学数学教学参考等30余种数学专业类期刊上发表专业论文150余篇，近10篇被人大报刊复印社中学数学教与学全文转载；主编（参编）人教版新课标教材教师用书、中考复习指南、中学数学思想