《复变函数级数》PPT课件.ppt

第三章复变函数级数 复变函数的无穷级数 新运算 求和 连续求和 积分离散求和 级数重要性 积分和级数是表达函数的两大工具内容 级数收敛性和求和方法复变函数展开为级数 复变函数的级数表示 级数的运算 3 1幂级数 复数项级数收敛性 若级数的部分和序列有有限极限 则称该级数收敛 其和为 否则该级数发散 绝对收敛 若组成的级数收敛 则称该级数绝对收敛 绝对收敛收敛 收敛判别法基本法则 Cauchy判据任给 必有N存在 当时对任意的正整数p有特殊法则 比较判别法由基本法则可知 若对充分大的k有 则 发散发散收敛收敛 具体比较判别法与标准级数比较 如几何级数比值判别法 d Alembert判别法 根式判别法 Cauchy判别法 r1时级数发散 r 1时不一定 级数的代数运算若 加减法 两收敛级数的和与差级数仍收敛 且 乘法 两绝对收敛级数的乘积绝对收敛 且其和与乘积项的排列次序无关 n012 除法是乘法的逆运算 n 101 复变函数项级数收敛性 若复变函数项级数在某个区域D内所有点处收敛 则称该级数在D内收敛 一致收敛性定义 若对任意e 0 必有一个不依赖于z的N e 存在 使时 有则函数项级数在D上一致收敛 特殊判别法 正实常数项收敛级数有则在D上一致收敛 一致收敛级数性质 连续性 在有限 开 区域D内连续 在D内任意闭区域上一致收敛 则和函数在D内连续 一致收敛级数性质 积分性质 在有限 开 区域D内解析 在D内任意闭区域上一致收敛 则其和在D内解析且可沿l逐项积分 即 一致收敛级数性质 微商性质 在有限 开 区域D内解析 在D内任意闭区域上一致收敛 则其和在D内解析且可逐项微商任意多次 即 幂级数定义 主要研究整数幂级数 特别是非负整数幂级数 称为以a为中心的幂级数 收敛特性 以a为中心的幂级数在某个圆内收敛且绝对收敛在上绝对一致收敛在圆外发散收敛圆收敛半径 Abel定理 幂级数在某点处收敛它在上收敛且绝对收敛它在上绝对一致收敛 证 利用比较判别法 级数在内收敛 收敛 推论 若幂级数在某点处发散 则它在处发散 收敛半径的求法 比值或根式判别法 幂级数运算性质 幂级数在收敛圆内其和是解析函数 且可任意次逐项积分 逐项微商 例1 例2 3 2泰勒级数及解析延拓 Taylor展开定理 已知f z 在z a处解析 z0为f z 距离a点最近的奇点 则其中 且展开唯一 证 1 利用解析函数的积分特征 Cauchy积分公式2 将展开为以a为中心的幂级数3 逐项积分4 再利用Cauchy导数公式 具体计算 展开 逐项积分 利用导数公式 唯一性 Taylor展开方法 基本方法 Taylor展开定理 特殊方法 幂级数运算 线性运算乘除运算复合运算微积分运算 Taylor展开例子 例1求ez在邻域的Taylor展开 解 因为故收敛半径 例2求ez在邻域的Taylor展开 解 因为故收敛半径 例3求和在z 0邻域的Taylor展开 类似的有 例4求在z 0邻域的Taylor展开 例5求 a为任意复常数 在z 0邻域的泰勒展开当a 整数时 f z 为多值函数 须在指定叶上展开 z 1是其支点 若取负实轴上 1 为割线 规定 k为整数 因所以有 例6求在z 1邻域的泰勒展开若取负实轴 0 为割线 规定 k为整数 因有积分代入并逐项积分 无穷远点邻域的Taylor展开 若存在R使f z 在以z 0为圆心R为半径的圆外 包括z 解析只需作变换 解析延拓延拓 定义域扩大定义 函数f z 在d上解析 如果能够把它的解析区域扩大 即在D内解析 这种延拓称为d上解析函数由d到D d的解析延拓 唯一性定理 若在区域D内两解析函数Fk k 1 2 在D上内某条曲线l上相等则必在整个区域D内相等 证明 利用级数特征 解析延拓方法基本方法 利用解析函数级数或积分特征例 3 3洛朗级数及奇点分类 非正整幂级数非正整幂级数非负整幂级数 收敛性 在圆外收敛且绝对收敛 在上绝对一致收敛 在圆内发散 在圆外定义一个解析函数 根据Taylor展开定理 在z 点解析的函数可以在其邻域展开为非正整幂级数 Laurent级数定义 整幂级数称为以a为中心的洛朗级数 它由非负整幂级数和非正整幂级数组成收敛性 在以a为中心的环内收敛且绝对收敛其和在环内解析 Laurent展开定理 已知f z 在环内解析 则 其中c为环内将z a围在其内的任意光滑曲线 且展开唯一 证 复通区域Cauchy积分公式把被积函数展开为幂级数 逐项积分解析函数的积分特征 几点说明 若函数f z 在内解析 则展开退化为泰勒展开尽管洛朗展开系数an的公式与泰勒展开系数的积分公式形式一样 但一般来说 Laurent展开方法 基本方法 展开公式特殊方法 利用幂级数运算线性运算乘积运算复合运算微积分运算 例1求在环内的洛朗展开基本方法 特殊方法 例2求在环内的洛朗展开 例3在的邻域内将展开为洛朗级数 例4在的邻域内将展开为洛朗级数 奇点分类 孤立奇点与非孤立奇点已知z z0是单值函数f z 的奇点 若在其一个邻域内除它外都解析 则称z z0为函数的孤立奇点 否则称为非孤立奇点 几个例子 函数 z 0 i 为其孤立奇点 函数仅在Re z 0处可导 所以复平面上所有点均为非孤立奇点 函数奇点为z 0和满足方程的点即为孤立奇点 为非孤立奇点 孤立奇点分类 有限孤立奇点分类 设z z0是f z 有限孤立奇点且有洛朗展开按展开中负幂项的个数分类 可去奇点 展开中不含负幂项m阶极点 展开中含有有限个负幂项本性奇点 展开中含有无穷多个负幂项 几个例子 z 1是函数的一阶极点z 0是函数的本性奇点 无穷远孤立奇点分类 设z 是f z 的孤立奇点且在其邻域有洛朗展开按展开中正幂项的个数分类 可去奇点 展开中不含正幂项m阶极点 展开中含有有限个正幂项本性奇点 展开中含有无穷多个正幂项 几个例子 z 是函数的5阶极点z 是函数的本性奇点 孤立奇点分类 按极限分类 可去奇点 单极点 m阶极点 本性奇点 不存在 例子 z 0是函数e1 z的本性奇点 在0 z 的环域内 它的Laurent级数为z沿正实轴 0时 1 z 故e1 z z沿负实轴 0时 1 z 故e1 z z沿虚轴 按i 2 n 0时 e1 z 1z按序列 函数e1 z的实部与虚部 孤立奇点类型判断 奇点的判断 解析的判断 初等函数无意义的点 支点除外 孤立奇点的判断 解析性的判断 三大特征 导数 积分 级数 孤立奇点类型的判断 基本法则 洛朗展开和极限特征 特殊法则 特殊法则 一个函数加减 乘除 在z点解析 且不为零 的函数不改变z点的奇点类型若z点是f z 的本性奇点 是g z 的非本性孤立奇点 则z点是f g fg f g的本性奇点函数f z 对z微商不改变其 有限 孤立奇点类型 但改变极点阶数 对无限孤立奇点 微商可能将极点变成可去奇点有限点z是函数f z 的m阶零点有限点z是1 f z 的m阶极点 有限阶支点 作变换在平面单叶圆环上展开无负幂项 解析型支点 有限个负幂项 极点型支点无限个负幂项 本性奇点型支