备考2017年百日捷进专题05 解析几何解答题（综合提升篇）.doc

【背一背重点知识】 1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程即消去y后得ax2bxc0通过这个方程解的情况判断直线与圆锥曲线的位置关系，具体如下表所示方程ax2bxc0的解交点个数l与C的关系a0b=0无解（含双曲线的渐近线）无公共点b0有一解（含与双曲线的渐近线的平行线或抛物线的对称轴平行的直线）一个交点相交a00两个不等的解两个交点相交0两个不等的解一个交点相切0无实数解无公共点相离2圆锥曲线的弦长（I）圆锥曲线的弦长的定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长（II）圆锥曲线的弦长的计算：设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|（抛物线的焦点弦长|AB|x1x2p，为弦AB所在直线的倾斜角)【讲一讲提高技能】1利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元转化成一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，即方程为一次方程；若不为0，则方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解例1【炎德英才大才大联考湖南师大2017届高三上学期第3次月考，20】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上()求椭圆的标准方程；()是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由【答案】()；()点不在椭圆上【解析】 ()椭圆上不存在这样的点，证明如下：设直线的方程为， 2利用弦长公式求解直线与圆锥曲线的弦长问题当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|x1x2|y1y2|，而|x1x2|，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解例2【广西陆川县中学2017届高三上学期12月考，20】（本小题满分12分）已知椭圆的离心率，且椭圆经过点直线与椭圆交于不同的两点（1）求椭圆的方程；（2）若的面积为1（为坐标原点），求直线的方程【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（I）根据题意可以得到的方程组，解方程可以求出的值，进而得到椭圆的方程；（2）将直线与椭圆联立得到，设出，利用韦达定理表示弦长，利用点到直线距离表示，利用面积公式即可得到方程，解得试题解析：（1）离心率，得，椭圆经过点，联立，解得椭圆的方程为3利用点差法求解圆锥曲线问题点差法是一种常见的设而不求的方法，在解答平面解析几何的某些问题时，合理的运用点差法，可以有效减少解题的运算量，达到优化解题过程的目的点差法的基本过程为：设点、代入、作差、整理代换例3【山东省实验中学2017届高三第一次诊，20】已知椭圆：的右焦点，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，当直线经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由【答案】（1）（2）直线的方程为： ， 9分 令得：点的横坐标， 10分因为， 所以，所以12分 所以线段上存在点 使得，其中13分【练一练提升能力】1【重庆巴蜀中学2017届高三12月考，20】已知椭圆：的两个焦点分别为，离心率为过焦点的直线（斜率不为0）与椭圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，直线交于椭圆，两点（）求椭圆的方程；（）当四边形为矩形时，求直线的方程【答案】(I)；(II)【解析】（）由题意可知直线斜率存在，设其方程为，点，由得所以，因为所以中点因此直线方程为考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用2【重庆巴蜀中学2017届高三上学期期中，20】（本小题满分12分）已知椭圆（常数），过点且以为斜率的直线与椭圆交于点，直线交椭圆于点（坐标原点）（1）求以为自变量，的面积的函数解析式；（2）若，求的最大值【答案】（1）；（2）2【解析】试题分析：（1）首先设出直线的方程，然后联立椭圆的方程求得点的纵坐标，由此利用三角形的面积公式得到的函数解析式；（2）首先结合（1）得出当时，的解析式，然后利用基本不等式求出最大值试题解析：（1）设直线的方程为：，由得，或，则点的纵坐标为， （2）当时，当且仅当时，上式等号成立，即的最大值3【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，20】（本小题满分13分）已知椭圆的左、右焦点分别是，离心率，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆的方程；（2）若直线过椭圆的右焦点，且与轴不重合，交椭圆于两点，过点且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围【答案】（1）（2）（2）当直线与轴不垂直时，设的方程，由，得，则，所以，过点且与垂直的直线，圆心到的距离是，所以故四边形面积可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为当与轴垂直时，其方程为，四边形面积为，综上，四边形面积的取值范围为轨迹与轨迹方程【背一背重点知识】1曲线与方程的概念：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2求轨迹方程的基本步骤：（1）建系设点：建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）列出关于动点的几何等量关系是：写出适合条件的p（M）的集合P=M|p(M)；（3）坐标化:用坐标表示条件p(M)，列出方程F(x，y)=0；（4）化简：化方程f(x，y)=0为最简形式；（5）检验：说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上，同时检验前后化简的等价性 3求轨迹方程的基本方法：直接法、相关点法、定义法、参数法、交轨法等【讲一讲提高技能】1直接法求轨迹方程当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程，称之直接法例1【湖北孝感2017届高三上学期第一次统考，20】（本小题满分12分）双曲线的左、右焦点分别为，过作轴垂直的直线交双曲线于两点，的面积为12，抛物线以双曲线的右顶点为焦点（）求抛物线的方程；（）如图，点为抛物线的准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，求证：直线过定点【答案】（）；（）证明见解析【解析】（）由（）知：，则直线的方称为，代入抛物线的方程有：当时，直线的方程为：，即，此时直线过定点，当时，直线的方称为：，此时仍过点即证直线过定点【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现2定义法求轨迹方程如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法例2【河北石家庄2017届高三第一次质检，20】（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为（1）求曲线的方程；（2）以曲线上的点为切点作曲线的切线，设分别与轴交于两点，且恰与以定点为圆心的圆相切，当圆的面积最小时，求与面积的比【答案】（1）；（2）【解析】（2）解法一：由题意知切线的斜率必然存在，设为，则 由 ，得，即由，得到，6分解法二：由，当时，以为切点的切线的斜率为以为切点的切线为即，整理6分令则，令则，7分点到切线的距离(当且仅当时，取等号) 当时，满足题意的圆的面积最小9分，11分与面积之比为12分3相关点法求轨迹方程相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0，y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法例3【广东省惠州市2017届第二次调研考试数学（理）试题】（本小题满分12分）已知点，点是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点（）求点的轨迹方程；（）若直线与点的轨迹有两个不同的交点和，且原点总在以为直径的圆的内部，求实数的取值范围【答案】（）；（）（）设，则将直线与椭圆的方程联立得：，消去，得：，6分原点总在以为直径的圆的内部即7分而9分即，且满足式的取值范围是12分4交轨法求轨迹方程求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法例4【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测（一）数学（理）试题】（本小题满分12分）以边长为4的等比三角形的顶点以及边的中点为左、右焦点的椭圆过两点（1）求该椭圆的标准方程；（2）过点且轴不垂直的直线交椭圆于两点，求证直线与的交点在一条直线上【答案】（1）（2） （II） 当不与轴重合时，设的方程为，且，联立椭圆与直线消去可得，即，设，则： 5参数法求轨迹方程当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法例 5设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程 设点P的坐标为则消去参数k得 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程，所以点P的轨迹方程为【练一练提升能力】1【河北武邑中学2017届高三上学期第四次调研，21】已知椭圆，的离心率，且过点(）求椭圆的方程；()设与圆相切的直线交椭圆与，两点，求面积的最大值及取得最大值时直线的方程【答案】（1）；（2）最大值为，此时直线方程【解析】 当且仅当，即时等号成立，面积的最大值为，此时直线方程2【河南南阳一中2017届高三上学期第4次月考，20】如图，已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于、两点，且、三点互不重合（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线，的斜率之和为定值【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】试题解析：（1）由题意，可得，代入得，又，解得，所以椭圆的方程为分别将式代入（），得，所以，即直线，的斜率之和为定值3【广西陆川县中学2017届高三上学期模拟二，20】已知椭圆：的左焦点为，其左、右顶点为、，椭圆与轴正半轴的交点为，的外接圆的圆心在直线上（I）求椭圆的方程；（II）已知直线：，是椭圆上的动点，垂足为，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由【答案】(I)；(II)或【解析】即，因为在直线上，所以（4分）即因为，所以再由求得所以椭圆的方程为（7分）圆锥曲线中的范围、最值问题【背一背重点知识】1、求圆锥曲线最值范围问题常见的方法有两种（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图像性质结合曲线的定义来解决，这是几何法（2）代数法：题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值或范围求函数的最值范围常见的代数方法有:配方法、判别式法、基本不等式法、单调性法、三角换元法等2、求有关圆锥曲线的最值问题市应注意以下几点：（1）圆锥曲线上本身存在的最值问题如 椭圆上两点间最大距离为；椭圆的焦半径的取值范围为，和分别表示椭圆的焦点到椭圆上的最短距离和最长距离等（II）圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常把两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题解决；（III）圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法；(4)由直线(系)和圆锥曲线的位置关系，求直线中或圆锥曲线中某个参数(系数)满足的范围，解决方法是把所求参数化为另一变元的函数关系求解【讲一讲提高技能】圆锥曲线中的范围和最值问题的求解方法：求解有关圆锥曲线的最值、参数范围的问题：一是注意题目中的几何特征，充分考虑图形的性质；二是运用函数思想建立目标函数，求解最值在利用代数法解决最值和范围问题时常从以下几个方面入手:(1) 利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2) 利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3) 利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的范围；(4) 利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的范围；(5) 利用函数的值域的求法，从而确定参数的取值范围例1【湖南永州市2017届高三第一次模拟，20】（本小题12分）已知椭圆的焦距为2，离心率为，轴上一点的坐标为（）求该椭圆的方程；（）若对于直线，椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称，且，求实数的取值范围【答案】（）；（）（）由题意设，直线方程为：联立消整理可得：，由，解得5分（法二：请酌情给分）由题意设，直线的中点为，则，将，两点分别代入椭圆方程，并联立，两式相减得：，即，又，所以，所以，的中点的轨迹方程为：，【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用例2【四川巴中市2017届“零诊”，20】 (本小题满分12分) 已知椭圆：()的一个焦点为，左右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点（1）求椭圆方程； （2）记与的面积分别为和，求的最大值【答案】（1）；（2）【方法点睛】求解范围问题的常见求法：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围【练一练提升能力】1【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，20】（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（1）若，求直线的斜率；（2）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值【答案】（1）或；（2）42【河北省衡水中学2017届高三摸底联考，20】（本小题满分12分）已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与圆相切（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的左顶点的两条直线分别交椭圆于两点，且，求证: 直线过定点，并求出定点坐标；（III） 在（II） 的条件下求面积的最大值【答案】（I）；（II）过定点，证明见解析；（III） （2）设，由得解答题（共10题）1【江西南昌市2017届摸底考试，20】已知椭圆短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形（1）求椭圆的方程；（2）过圆上任意一点作圆的切线，与椭圆交于两点，以为直径的圆是否过定点，如过，求出该定点；不过说明理由【答案】（1）（2）坐标原点（）圆的方程为，设为坐标原点 当直线的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为，则， 所以 6分所以为直径的圆过坐标原点当直线的斜率存在时，设其方程设为，设因为直线与相关圆相切，所以联立方程组得，即， 7分， 9分 11分所以为直径的圆恒过坐标原点 12分2【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，20】本小题满分12分）已知椭圆过点两点（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值【答案】（1），（2）面积为23【云南省、四川省、贵州省2017届高三上学期百校大联考数学，20】（本小题满分12分）已知抛物线，直线与交于，两点，且，其中为坐标原点（1）求抛物线的方程；（2）已知点的坐标为（-3，0），记直线、的斜率分别为，证明：为定值【答案】（1）；（2）详见解析【解析】试题解析：（1）解：设，联立方程组，消元得，所以，2分又，6分所以，从而5分4已知椭圆：（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论分析：（1）把椭圆：化为标准方程，确定，利用求得离心率；（2）设点，其中，由，即，用、表示，当或分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，从而判断直线与圆的位置关系解析：（1）由题意椭圆的标准方程为，所以，从而，所以 5如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为（1） 求的值；（2） 过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程【答案】（1），；（II） 【解析】（2）由（1）知，上半椭圆的方程为，易知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为代入的方程中，整理得： （*）设点的坐标由韦达定理得又，得，从而求得所以点的坐标为同理，由得点的坐标为，因为，即，解得经检验，符合题意，故直线的方程为6已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有当点的横坐标为时，为正三角形（）求的方程；（）若直线，且和有且只有一个公共点，（）证明直线过定点，并求出定点坐标；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由【答案】（I）（II）（）直线AE过定点（）的面积的最小值为16由，整理可得，直线AE恒过点当时，直线AE的方程为，过点，所以直线AE过定点（）由（）知，直线AE过焦点，所以，设直线AE的方程为，因为点在直线AE上，故， 7如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，M为CD的中点（）求点M的轨迹方程；（）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数，