《概率统计》PPT课件.ppt

1 4条件概率 在解决许多概率问题时 往往需要在有某些附加信息 条件 下求事件的概率 1 4 1 条件概率 条件概率的概念 如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率 将此概率记作P A B 一般地P A B P A P A 1 6 例如 掷一颗均匀骰子 A 掷出2点 B 掷出偶数点 P A B 已知事件B发生 此时试验所有可能结果构成的集合就是B P A B 1 3 B中共有3个元素 它们的出现是等可能的 其中只有1个在集A中 容易看到 P A B 于是 P A 3 10 又如 10件产品中有7件正品 3件次品 7件正品中有3件一等品 4件二等品 现从这10件中任取一件 记 B 取到正品 A 取到一等品 P A B 则 P A 3 10 B 取到正品 P A B 3 7 本例中 计算P A 时 依据的前提条件是10件产品中一等品的比例 A 取到一等品 计算P A B 时 这个前提条件未变 只是加上 事件B已发生 这个新的条件 这好象给了我们一个 情报 使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题 注1 如果B 则条件概率即为前面所定义的概率 如果B 则条件概率相当于将样本空间缩小为B 注2 事件A发生的条件下事件 B发生的条件概率 设A B为两事件 P B 0 则 定义 称为事件B发生的条件下事 件A发生的条件概率 记为 1 古典概型 可用缩减样本空间法 2 其它概型 用定义与有关公式 注3 条件概率的计算方法 条件概率也是概率 故具有概率的性质 上述三条性质对应于概率的公理化定义的三条性质 除此以外有下列性质 有限可加性 可减性 例1考虑有两个小孩的家庭 问其中至少有一个女 孩的家庭中 另一小孩也是女孩的概率有多大 假设生男 生女是等可能的 单调性 加法公式 半可加性 B 至少有一个女孩家庭 男 女 女 男 女 女 于是所求概率为 AB 至少有一个为女孩家庭中 另一个小孩也是女孩 女 女 解 根据题意样本空间为 男 男 男 女 女 男 女 女 例2一类动物由出生起活到20或20岁以上的 概率为0 8 活到25岁以上的概率为0 4 现假设此 类动物中有一动物为20岁 问其活到25岁以上的 解 设B 活到20或20岁以上 A 活到25岁以上 概率是多少 求P A B A B 利用条件概率求积事件的概率即乘法公式 推广 二 乘法公式 一场精彩的足球赛将要举行 5个球迷好不容易才搞到一张入场券 大家都想去 只好用抽签的方法来解决 5张同样的卡片 只有一张上写有 入场券 其余的什么也没写 将它们放在一起 洗匀 让5个人依次抽取 后抽比先抽的确实吃亏吗 到底谁说的对呢 让我们用概率论的知识来计算一下 每个人抽到 入场券 的概率到底有多大 大家不必争先恐后 你们一个一个按次序来 谁抽到 入场券 的机会都一样大 我们用Ai表示 第i个人抽到入场券 i 1 2 3 4 5 显然 P A1 1 5 P 4 5 第1个人抽到入场券的概率是1 5 也就是说 则表示 第i个人未抽到入场券 因为若第2个人抽到了入场券 第1个人肯定没抽到 也就是要想第2个人抽到入场券 必须第1个人未抽到 由于 由乘法公式 P A2 4 5 1 4 1 5 计算得 这就是有关抽签顺序问题的正确解答 同理 第3个人要抽到 入场券 必须第1 第2个人都没有抽到 因此 4 5 3 4 1 3 1 5 继续做下去就会发现 每个人抽到 入场券 的概率都是1 5 抽签不必争先恐后 也就是说 1 设P B 0 且A B 则下列必然成立的是 P A P A B P A P A B 2 P A 0 6 P A B 0 84 P B A 0 4 则P B 课堂练习 问题 由简单事件的概率推出复杂事件的概率 方法 复杂未知事件分解成两两互不相容事件之和 定理设B为随机试验T中的一复杂事件 上述公式称为全概率公式 1 4 3 全概率公式 事件A1 A2 An构成一完备事件组 则 A1 An BA1 BA2 BAn 全概率公式 B A2 应用乘法公式 例1甲乙两个口袋中各有3只白球 2只黑球 从甲袋 中任取一球放入乙袋中 求再从乙袋中取出一球 为白球的概率 解 A2表示 甲袋中取出一黑球放入乙袋 则 P B A1 4 6 P B A2 3 6 根据全概率公式有 P A1 3 5 P A2 2 5 设B表示 最后从乙袋中取出一球为白球 事件 A1表示 从甲袋中取一白球放入乙袋 例甲 乙 丙三人向同一飞机进行射击 击中飞 机的概率分别为0 4 0 5 0 7 如果一人击中飞机 飞机被击落的概率为0 2 两人击中飞机 飞机被 击落的概率为0 6 三人击中飞机 飞机必被击落 求飞机被击落的概率 解以B表示事件 飞机被击落 A0表示事件 三人均 未击中飞机 A1表示 三人中仅有一人击中飞机 A2表示事件 三人中有两人击中飞机 A3表示事 件 三人同时击中飞机 则根据题意有 P A0 1 0 4 1 0 5 1 0 7 0 09 P A1 0 4 1 0 5 1 0 7 0 5 1 0 4 1 0 7 0 7 1 0 4 1 0 5 0 36 P A2 0 4 0 5 1 0 7 0 5 0 7 1 0 4 0 4 0 7 1 0 5 0 41 P A3 0 4 0 5 0 7 0 14P B A0 0 P B A1 0 2 P B A2 0 6 P B A3 1 根据全概率公式有 从上述几个例子可以看出 将结果视为B 然后找出原因Ai 再利用全概率公式 1 4 4 Bayes公式 贝叶斯ThomasBayes 英国人 1702年 出生于伦敦 做过神甫 1742年成为英 国皇家学会会员 1763年4月7日逝世 贝叶斯在数学方面主要研究概率论 他 首先将归纳推理法用于概率论基础理论 并创立了贝叶斯 统计理论 对于统计决策函数 统计推断 统计的估算 等做出了贡献 1763年发表了这方面的论著对于现代概率 论和数理统计都有很重要的作用 贝叶斯的另一著作 机 被沿用至今 贝叶斯公式是他在1763年提出来的 会的学说概论 发表于1758年 贝叶斯所采用的许多术语 底患了A1 A2 An中的哪一种病 以便对症下药 例4 专家系统 医疗诊断中 为了诊断病人到 对病人进行观察检查 症状记为事件B P Ai 表示生Ai病的概率 P B Ai 表示生Ai病有症状B的概率 P Ai B 表示症状B由Ai引起的概率 若P Ai B i 1 2 n中 最大的一个是P A1 B 我们便认为A1是生病的主要原因 下面的关键是 Bayes公式 Remark 后验概率 计算P Ai B i 1 2 n 上述公式称为Bayes公式 定理设B为一事件且P B 0 事件A1 A2 An构成一完备事件组 且P Ai 0 i 1 2 n 则有 例某商品由三个厂家供应 其供应量为 甲厂家是乙厂家的2倍 乙 丙两厂相等 各厂产品的次品率为2 2 4 若从市场上随机抽取一件此种商品 发现是次品 求它是甲厂生产的概率 解 用1 2 3分别记甲 乙 丙厂 设Ai 取到第i个工厂的产品 B 取到次品 由题意得 P A1 0 5 P A2 P A3 0 25 P B A1 P B A2 0 02 P B A3 0 04 0 4 由Bayes公式得 ABCA 问传输的是信号AAAA的概率等于多少 A3表示事件 传输的字符为CCCC 则根据题意有 例通信渠道中可传输的字符为AAAA BBBB CCCC三者之一 传输三者的概率分别为0 3 0 4 0 3 由于通道噪声的干扰 正确地收到被传输字母 的概率为0 6 收到其它字母的概率为0 2 假定字 母前后是否被歪曲互不影响 若收到的信号为 解以B表示事件 收到ABCA A1表示 传输的字符 为AAAA A2表示事件 传输的字符为BBBB P A1 0 3 P A2 0 4 P A3 0 3 P B A1 0 6 0 2 0 2 0 6 0 0144 P B A2 0 2 0 6 0 2 0 2 0 0048 P B A3 0 2 0 2 0 6 0 2 0 0048 根据Bayes公式有 作业 习题1 4 6 9 显然P A B P A 这就是说 已知事件B发生 并不影响事件A发生的概率 这时称事件A B独立 1 5 事件的独立性 A 第二次掷出6点 B 第一次掷出6点 先看一个例子 将一颗均匀骰子连掷两次 设 定义 设A B为两事件 若 则称事件A与事件B相互独立 注1 两事件A与B相互独立是相互对称的 若 注2 若 则 事件A与事件B相互独立 和 事件A与事件B互斥 互不相容 不能同时成立 注3 若 请问 如图的两个事件是独立的吗 即若A B互斥 且P A 0 P B 0 则A与B不独立 反之 若A与B独立 且P A 0 P B 0 则A B不互斥 而P A 0 P B 0 故A B不独立 我们来计算 P AB 0 设A B为互斥事件 且P A 0 P B 0 下面四个结论中 正确的是 前面我们看到独立与互斥的区别和联系 1 P B A 02 P A B P A 3 P A B 04 P AB P A P B 设A B为独立事件 且P A 0 P B 0 下面四个结论中 正确的是 1 P B A 02 P A B P A 3 P A B 04 P AB P A P B 再请你做个小练习 两事件相互独立的性质 试证其一 事实上 性质2 A B两个事件独立 则 三事件A B C相互独立 是指下面的关系式同时成立 2 定义 注2 仅满足 1 式时 称A B C两两独立 也称A B C为两两独立的事件组 注1 三事件A B C相互独立 要求满足 1 2 式 也称A B C为相互独立的事件组 注3 关系式 1 2 不能互相推出 n个事件A1 A2 An相互独立是指下面的关系式同时成立 定义 两两独立的事件组未必是独立的事件组 独立的性质 性质2 若A1 A2 An相互独立 则 例已知事件A B C相互独立 证明事件 证 概率是多少 这三种品质相互独立 解分别用A B C表示具有上述品质的姑娘 则所求概率为 根据题意有 即十亿分之一 例有一个单身汉 他梦想的姑娘有一笔直的鼻 梁 金色的头发 并有充分的概率统计知识 假 设对应的概率分别为0 01 0 01 0 00001 那么他遇 到第一位姑娘 或随机挑一位 具有前三种品质的 例三人独立地去破译一份密码 已知各人能译出的概率分别为1 5 1 3 1 4 问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少 解将三人编号为1 2 3 所求为 记Ai 第