《异面直线及所成的角》.ppt

异面直线及所成的角 一 基础知识 2 空间两条直线的位置关系 异面直线 1 异面直线的定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线 空间两条直线 连结平面内一点与平面外一点的直线 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 3 异面直线的画法 平面衬托法 4 异面直线的判断 1 异面直线的判定定理 2 反证法 5 异面直线成的角 1 定义 2 取值范围 00 900 3 作法 平移法或补形法 4 两条直线互相垂直 相交直线的垂直 异面直线的垂直 分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的锐角 或直角 叫做这两条异面直线所成的角 设图中的正方体的棱长为a 图中哪些棱所在的直线与BA1成异面直线 求异面直线A1B与C1C的夹角的度数 图中哪些棱所在的直线与直线AA1垂直 例题1 例题2 下面两条直线是异面直线的是 A 不同在一个平面内的两条直线 B 分别在某两个平面内的两条直线 C 既不平行又不相交的两条直线 D 平面内的一条直线和平面外的一条直线 C 例题3 若a b是异面直线 b c是异面直线 则a c的位置关系是 A 相交 平行或异面B 相交或平行C 异面D 平行或异面 例4 如图 a b c为不共面的三条直线 且相交于一点O 点M N P分别在直线a b c上 点Q是b上异于N的点 判断MN与PQ的位置关系 并予以证明 解 例5 法一 在棱长是a的正方体ABCD A1B1C1D1中 点E F分别是BB1 CC1的中点 求直线AE与BF所成的角 例5 法二 在棱长是a的正方体ABCD A1B1C1D1中 点E F分别是BB1 CC1的中点 求直线AE与BF所成的角 解 例5 法三 在棱长是a的正方体ABCD A1B1C1D1中 点E F分别是BB1 CC1的中点 求直线AE与BF所成的角 解 变式一 M N为A1B1 BB1的中点 求AM与CN所成的角 变式二 求AE与BD1所成的角 直三棱柱ABC A1B1C1中角ACB 900 D1 F1分别是A1B1与A1C1的中点 若BC CA CC1 求BD1与AF1这两条异面直线所成的角 A A1 C B B1 C1 F1 D1 分析 恰当的平移是将异面直线所成的角转化为平面中的角的关键 例6 思路一 取BC中点G 连结F1G 则角AF1G 或其补角 为异面直线所成的角 解三角形AF1G可得 A B C A1 B1 C1 D1 F1 G B 思路二 延展平面BAA1B1 使A1E D1A1 则将BD1平移到AE 角EAF1 或其补角 即为BD1与AF1所成的角 A A1 C B1 F1 D1 E 例7 A为正三角形BCD所在平面外一点 且AB AC AD BC a E F分别是棱AD BC的中点 连结AF CE 如图所示 求异面直线AF CE所成角的余弦值 G 解 连结DF 取DF的中点G 连结EG CG 又E是AD的中点 故EG AF 所以 GEC 或其补角 是异面直线AF CE所成的角 异面直线AF CE所成角的余弦值是 例7 A为正三角形BCD所在平面外一点 且AB AC AD BC a E F分别是棱AD BC的中点 连结AF CE 如图所示 求异面直线AF CE所成角的余弦值 P 另解 延长DC至P 使DC CP E为AD中点 AP EC 故 PAF 或其补角 为异面直线AF CE所成的角 异面直线AF CE所成角的余弦值是 注意 补形平移 直接平移 中位线平移 平移 若用余弦定理求出cos 则异面直线所成的角为 如 若求出 则异面直线所成的角的余弦值为 异面直线所成的角 求异面直线所