相似三角形含练习有答案、例题和知识点.pdf

第27章 相似 一 基础知识 一 比例 1 第四比例项 比例中项 比例线段 2 比例性质 1 基本性质 2 合比定理 3 等比定理 3 黄金分割 如图 若 则点P为线段AB的黄金分割点 4 平行线分线段成比例定理 二 相似 1 定义 我们把具有相同形状的图形称为相似形 2 相似多边形的特性 相似多边的对应边成比例 对应角相等 3 相似三角形的判定 1 平行于三角形一边的直线与其它两边相交 所构成的三 角形与原三角形相似 2 如果两个三角形的三组对应边的比相等 那么这两个三 角形相似 3 如果两个三角形的两组对应边的比相等 并且相应的夹 角相等 那么这两个三角形相似 4 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应 相等 那么这两个三角形相似 4 相似三角形的性质 1 对应边的比相等 对应角相等 2 相似三角形的周长比等于相似比 3 相似三角形的面积比等于相似比的平方 4 相似三角形的对应边上的高 中线 角平分线的比等于 相似比 5 三角形中位线定义 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位 线 三角形中位线性质 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一 半 6 梯形的中位线定义 梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线 梯形的中位线性质 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半 7 相似三角形的应用 利用三角形相似 可证明角相等 线段成比例 或等积式 利用三角形相似 求线段的长等 3 利用三角形相似 可以解决一些不能直接测量的物体的长度 如求河的宽度 求建筑物的高度等 三 位似 位似位似 如果两个图形不仅是相似图形 而且是每组对应点所在的直线都 经过同一个点 那么这样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做位似中 心 这时的相似比又称为位似比 位似位似性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似 比 二 经典例题 例1 如图在4 4的正方形方格中 ABC和 DEF的顶点都在长为1的小 正方形顶点上 1 填空 ABC BC 2 判定 ABC与 DEF是否相似 考点透视 本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能 力 参考答案 135 2 能判断 ABC与 DEF相似 ABC DEF 135 点评 注意从图中提取有效信息 再用两对应边的比相等且它们两夹 角相等来判断 例2 如图所示 D E两点分别在 ABC两条边上 且DE与BC不平行 请 填上一个你认为适合的条件 使得 ADE ABC 考点透视 本例主要是考查相似的判定 参考答案 1 B或 2 C 或 点评 结合判定方法补充条件 例3 如图 王华晚上由路灯A下的B处走到C处时 测得影子CD的长为1 米 继续往前走2米到达E处时 测得影子EF的长为2米 已知王华的身 高是1 5米 那么路灯A的高度等于 A 4 5米 B 6米 C 7 2米 D 8米 考点透视 本例主要是考查相似的应用 参考答案 B 点评 在解答相似三角形的有关问题时 遇到有公共边的两对相似三 角形 往往会用到中介比 它是解题的桥梁 如该题中 例4 如图 ABC是一块锐角三角形余料 边BC 120mm 高AD 80mm 要把它加工成正方形零件 使正方形的一边在BC上 其余两个顶点分 别在AB AC上 这个正方形零件的边长是多少 考点透视 本例主要是考查相似的实际应用 参考答案 48mm 点评 解决有关三角形的内接正方形 或矩形 的计算问题 一般运 用相似三角形 对应高之比等于相似比 这一性质来解答 例5 如图所示 在 ABC中 AB AC 1 点D E在直线BC上运动 设 BD x CE y 1 如果 BAC 30 DAE 105 试确定y与x之间的函数关系 式 2 如果 BAC的度数为 DAE的度数为 当 满足怎样 的关系式时 1 中y与x之间的函数关系式还成立 试说明理由 考点透视 本例主要是考查相似与函数的综合运用 参考答案 解 在 ABC中 AB AC 1 BAC 30 ABC ACB 75 ABD ACE 105 又 DAE 105 DAB CAE 75 又 DAB ADB ABC 75 CAE ADB ADB EAC y 当 1 满足 90 y 仍成立 此时 DAB CAE DAB ADB CAE ADB 又 ABD ACE ADB EAC y 点评 确定两线段间的函数关系 可利用线段成比例 找相等关系转 化为函数关系 例6 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为 3 5cm 3 5cm 放映的荧屏的规格为2m 2m 若放映机的光源距胶片 20cm时 问荧屏应拉在离镜头多远的地方 放映的图象刚好布满整个 荧屏 解析 胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的 镜头就相当于位似中 心 因此本题可以转化为位似问题解答 考点透视 本例主要是考查位似的性质 参考答案 m 点评 位似图形是特殊位置上的相似图形 因此位似图形具有相似图 形的所有性质 三 适时训练 一 精心选一选 1 梯形两底分别为m n 过梯形的对角线的交点 引平行于底边的直 线被两腰所截得的线段长为 A B C D 2 如图 在正三角形ABC中 D E分别在AC AB上 且 AE BE 则 A AED BED B AED CBD C AED ABD D BAD BCD 题2 题4 题5 3 P是Rt ABC斜边BC上异于B C的一点 过点P作直线截 ABC 使 截得的三角形与 ABC相似 满足这样条件的直线共有 A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 4 如图 ABD ACD 图中相似三角形的对数是 A 2 B 3 C 4 D 5 5 如图 ABCD是正方形 E是CD的中点 P是BC边上的一点 下列条 件中 不能推出 ABP与 ECP相似的是 A APB EPC B APE 90 C P是BC的中点 D BP BC 2 3 6 如图 ABC中 AD BC于D 且有下列条件 1 B DAC 90 2 B DAC 3 4 AB2 BD BC 其中一定能够判定 ABC是直角三角形的共有 A 3个 B 2个 C 1个 D 0个 题6 题7 题8 7 如图 将 ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90 得 ABF 连 结EF交AB于H 则下列结论中错误的是 A AE AF B EF AF 1 C AF2 FH FE D FB FC HB EC 8 如图 在矩形ABCD中 点E是AD上任意一点 则有 A ABE的周长 CDE的周长 BCE的周长 B ABE的面积 CDE的面积 BCE的面积 C ABE DEC D ABE EBC 9 如图 在 ABCD中 E为AD上一点 DE CE 2 3 连结 AE BE BD 且AE BD交于点F 则S DEF S EBF S ABF等于 A 4 10 25 B 4 9 25 C 2 3 5 D 2 5 25 题9 题10 题11 10 如图 直线a b AF FB 3 5 BC CD 3 1 则AE EC为 A 5 12 B 9 5 C 12 5 D 3 2 11 如图 在 ABC中 M是AC边中点 E是AB上一点 且AE AB 连结EM并延长 交BC的延长线于D 此时BC CD为 A 2 1 B 3 2 C 3 1 D 5 2 12 如图 矩形纸片ABCD的长AD 9 cm 宽AB 3 cm 将其折叠 使 点D与点B重合 那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为 A 4 cm cm B 5 cm cm C 4 cm 2 cm D 5 cm 2 cm 题12 二 细心填一填 13 已知线段a 6 cm b 2 cm 则a b a b的第四比例项是 cm a b与 a b的比例中项是 cm 14 若 m2 则m 15 如图 在 ABC中 AB AC 27 D在AC上 且BD BC 18 DE BC交AB于E 则DE 16 如图 ABCD中 E是AB中点 F在AD上 且AF FD EF交AC于 G 则AG AC 题16 题17 题18 17 如图 AB CD 图中共有 对相似三角形 18 如图 已知 ABC P是AB上一点 连结CP 要使 ACP ABC 只需添加条件 只要写出一种合适的条 件 19 如图 AD是 ABC的角平分线 DE AC EF BC AB 15 AF 4 则DE的长等于 题19 题20 题21 20 如图 ABC中 AB AC AD BC于D AE EC AD 18 BE 15 则 ABC的面积是 21 如图 直角梯形ABCD中 AD BC AC AB AD 8 BC 10 则梯形ABCD 面积是 22 如图 已知AD EF BC 且AE 2EB AD 8 cm AD 8 cm BC 14 cm 则S梯形AEFD S梯形BCFE 三 认真答一答 23 方格纸中 每个小格的顶点叫做格点 以格点连线为边的三角形叫 做格点三角形 请你在图示的10 10的方格纸中 画出两个相似但不全 等的格点三角形 并加以证明 要求所画三角形是钝角三角形 并标明 相应字母 24 如图 ABC中 CD AB于D E为BC中点 延长AC DE相交于 点F 求证 25 如图 在 ABC中 AB AC 延长BC至D 使得CD BC CE BD交AD于E 连结BE交AC于F 求证AF FC 26 已知 如图 F是四边形ABCD对角线AC上一 点 EF BC FG AD 求证 1 27 如图 BD CE分别是 ABC的两边上的高 过D作DG BC于G 分别交CE及BA的延长线于F H 求证 1 DG2 BG CG 2 BG CG GF GH 28 如图 ABC CDB 90 AC a BC b 1 当BD与a b之间满足怎样的关系时 ABC CDB 2 过A作BD的垂线 与DB的延长线交于点E 若 ABC CDB 求证四边形AEDC为矩形 自己完成图形 29 如图 在矩形ABCD中 E为AD的中点 EF EC交AB于F 连结 FC AB AE 1 AEF与 EFC是否相似 若相似 证明你的结论 若不相 似 请说明理由 2 设 k 是否存在这样的k值 使得 AEF BFC 若存 在 证明你的结论并求出k的值 若不存在 说明理由 30 如图 在Rt ABC中 C 90 BC 6 cm CA 8 cm 动点P C出发 以每秒2 cm的 速度沿CA AB运动到点B 则从C点出发多少秒时 可使S BCP S ABC 31 如图 小华家 点A处 和公路 L 之间竖立着一块35m长且平 行 于公路的巨型广告牌 DE 广告牌挡住了小华的视线 请在图中画出 视点A的盲区 并将盲区内的那段公路设为BC 一辆以60km h匀速行驶 的汽车经过公路段BC的时间是3s 已知广告牌和公路的距离是40m 求 小华家到公路的距离 精确到1m 32 某老师上完 三角形相似的判定 后 出了如下一道思考题 如图所示 梯形ABCD中 AD BC 对角线AC BD相交于O 试问 AOB和 DOC是否相似 某学生对上题作如下解答 答 AOB DOC 理由如下 在 AOB和 DOC中 AD BC AOB DOC AOB DOC 请你回答 该学生的解答是否正确 如果正确 请在每一步后面写 出根据 如果不正确 请简要说明理由 33 如图 四边形ABCD中 A BCD 90 过C作对角线BD的垂线 交BD AD于点E F 求证 如图 若过BD上另一点E作BD的垂线交 BA BC延长线于F G 又有什么结论呢 你会证明吗 34 阳光通过窗口照射到室内 在地面上留下2 7m宽的亮区 如图所示 已 知亮区到窗口下的墙脚距离EC 8 7m 窗口高AB 1 8m 求窗口底边离 地面的高BC 35 1 如图一 等边 ABC中 D是AB上的动点 以CD为一边 向上 作等边 EDC 连结AE 求证 AE BC 2 如图二 将 1 中等边 ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角 形 所作 EDC改成相似于 ABC 请问 是否仍有AE BC 证明 你的结论 36 如图 从 O外一点A作 O的切线AB AC 切点分别为B C 且 O 直经BD 6 连结CD AO 1 求证 CD AO 2 设CD x AO y 求y与x之间的函数关系式 并写出自变量x的取值 范围 3 若AO CD 11 求AB的长 37 已知 如图 在正方形ABCD中 AD 1 P Q分别为AD BC上 两点 且AP CQ 连结AQ BP交于点E EF平行BC交PQ于F AP BQ分别为方程的两根 1 求的值 2 试用AP BQ表示EF 3 若S PQE 求n的值 38 如图 在平面直角坐标系中 已知OA 12cm OB 6cm 点P从O点开始 沿OA边向点A以1cm s的速度移动 点Q从点B开始沿BO边向点O以 1cm s的速度移动 如果P Q同时出发 用t s 表示移动的时间 那么 1 设 POQ的面积为 求关于的函数解析式 O P A X Y B Q 2 当 POQ的面积最大时 POQ沿直线PQ翻折 后得到 PCQ 试判断点C是否落在直线AB上 并说明理由 3 当为何值时 POQ与 AOB相似 39 如图 矩形PQMN内接于 ABC 矩形周长为24 AD BC交PN于 E 且BC 10 AE 16 求 ABC的面积 40 已知 如图 ABC中 AB AC AD是中线 P是AD上一点 过 作CF AB 延长BP交AC于E 交CF于F 求证 BP2 PE PF 41 09延庆一模 在Rt ABC中 C 90 BC 9 CA 12 ABC的平 分线BD交AC于点D DE DB交AB于点E O是 BDE的外接圆 交BC于点F 第41题 1 求证 AC是 O的切线 2 联结EF 求的值 42 09东城一模 请阅读下列材料 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 即如右图1 若 弦AB CD交于点P则PA PB PC PD 请你根据以上材料 解决下列问 题 图1 已知 O的半径为2 P是 O内一点 且OP 1 过点P任作一弦AC 过 A C两点分别作 O的切线m和n 作PQ m于点Q PR n于点R 如 图2 1 若AC恰经过圆心O 请你在图3中画出符合题意的图形 并计算 的 值 2 若OP AC 请你在图4中画出符合题意的图形 并计算 的值 3 若AC是过点P的任一弦 图2 请你结合 1 2 的结论 猜想 的值 并给出证明 图2 图4 图3 43 09昌平一模 已知 是的平分线 将一个直角的直角顶点在射线 上移动 点不与点重合 1 如图 当直角的两边分别与射线 交于点 时 请判断与的数量 关系 并证明你的结论 2 如图 在 1 的条件下 设与的交点为点 且 求的值 3 若直角的一边与射线交于点 另一边与直线 直线分别交于 点 且以 为顶点的三角形与相似 请画出示意图 当时 直接写 出的长 44 09昌平二模 图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片 和 叠放在一起 与 重合 1 固定 将 绕点 顺时针旋转 得到 连结 如图2 此时线段 与 有怎样的数量关系 并证明你的结论 2 设图2中 的延长线交 于 并将图2中的 在线段 上沿着 方向以每秒1个单位的速度平移 平移后的 设为 如图3 设 移动 点 在线段 上 的时间为x秒 若 与 重叠部分的面积为y 求y与x之间的函数解析式 并写出自变量x的取值 范围 3 若固定图1中的 将 沿 方向平移 使顶点C落在 的中点处 再以点 为中心顺时针旋转一定角度 设 边 交 于点M 边 交 于点N 如图4 此时线段 的值是否随 的变化而变化 如果没有变化 请你求出 的值 如果有变化 请你说明理由 图1 图2 图3 图4 45 09通州二模 如图 是 O的直径 是弦 延长 到点 使得 1 求证 是 O的切线 2 若 求 的长 46 09房山二模 已知 如图 AB为 O的直径 AD为弦 DBC A 1 求证 BC是 O的切线 2 若OC AD OC交BD于E BD 6 CE 4 求AD的长 47 09朝阳二模 在 ABC中 点D在AC上 点E在BC上 且 DE AB 将 CDE绕点C按顺时针方向旋转得到 使 180 连接 设直线 与AC交于点O 1 如图 当AC BC时 的值为 2 如图 当AC 5 BC 4时 求 的值 3 在 2 的条件下 若 ACB 60 且E为BC的中点 求 OAB面 积的最小值 图 图 48 09东城二模 如图 在直角梯形ABCD中 AD BC DC BC AB 10 AD 6 DC 8 BC 12 点E在下底边BC上 点F在AB 上 若EF平分直角梯形ABCD的周长 设BE的长为 试用含 的代数式表示 BEF的面积 是否存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分 若存 在 求出此时BE的长 若不存在 请说明理由 若线段EF将直角梯形ABCD的周长分为 两部分 将 BEF 的面积记为 五边形AFECD的面积记为 且 求出 的最大值 49 09门头沟二模 在矩形ABCD中 点E是AD边上一点 连结BE 且BE 2AE BD是 EBC的平分线 点P从点E出发沿射线ED运动 过 点P作PQ BD交直线BE于点Q 1 当点P在线段ED上时 如图 求证 2 当点P在线段ED的延长线上时 如图 请你猜想 三者之间的数量关系 直接写出结果 不需说明理由 3 当点P运动到线段ED的中点时 如图 连结QC 过点P 作PF QC 垂足为F PF交BD于点G 若BC 12 求线段PG的 长 50 同上 如图 在平面直角坐标系xOy中 已知点A 4 0 点 B 0 3 点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动 速度为每秒1 个单位长度 点Q从点A出发沿AO方向向点O匀速运动 速度为每秒 2个单位长度 连结PQ 若设运动的时间为t秒 0 t 2 1 求直线AB的解析式 2 设 AQP的面积为 求 与 之间的函数关系式 3 是否存在某一时刻 使线段PQ恰好把 AOB的周长和面积同时平分 若存在 请求出此时 的值 若不存在 请说明理由 4 连结PO 并把 PQO沿QO翻折 得到四边形 那么是否存在某一时刻 使四边形 为菱形 若存在 请求出此时点Q的坐标和菱形的边长 若不存在 请说 明理由 参 考 答 案 一 精心选一选 1 B 2 B 3 C 4 C 5 C 6 A 7 C 8 B 9 A 10 C 11 A 12 B 二 细心填一填 13 答案 4 14 提示 分a b c 0和a b c 0两种情况 答案 1 15 提示 由 ABC BCD 列出比例式 求出CD 再用 ABC AED 答 案 10 16 提示 延长FE交CB延长线于H点 则AF BH 考虑 AFG CHG 答案 1 5 17 提示 分 类和 类两类 答案 6对 18 答案 B ACP 或 ACB APC 或AC2 AP AB 19 答案 6 20 提示 作EF BC交AD于F 设BE交AD于O点 先求出OD长和OB长 最后用勾股定 理求出BD的长 答案 144 21 提示 作AE DC交BC于E点 由Rt ABE Rt CBA 依次算出BE AB的长 最后 求出AE的长 即可求出梯形面积 答案 36 三 认真答一答 22 提示 延长EA 与CD的延长线交于P点 则 APD EPF BPC 答案 23 方格纸中 每个小格的顶点叫做格点 以格点连线为边的三角形叫做格点三角形 请你在 图示的10 10的方格纸中 画出两个相似但不全等的格点三角形 并加以证明 要求所画三角形 是钝角三角形 并标明相应字母 提示 先任意画一个格点钝角三角形 然后三边都扩大相同的倍数 画出另一个格点钝 角三角形 24 提示 过F点作FG CB 只需再证GF DF 答案 方法一 作FG BC交AB延长线于点G BC GF 又 BDC 90 BE EC BE DE BE GF 1 DF GF 方法二 作EH AB交AC于点H BDC 90 BE EC BE DE 25 如图 在 ABC中 AB AC 延长BC至D 使得CD BC CE BD交AD于E 连结BE交 AC于F 求证AF FC 提示 先证 BCF DBA 再证 答案 BC CD EC BD BE DE FBC D 又 AB AC BCF DBA BCF DBA 又 BD 2BC AB AC FC AC 因此 AF FC 26 已知 如图 F是四边形ABCD对角线AC上一点 EF BC FG AD 求证 1 提示 利用AC AF FC 答案 EF BC FG AD 1 27 如图 BD CE分别是 ABC的两边上的高 过D作DG BC于G 分别交CE及BA的延长线 于F H 求证 1 DG2 BG CG 2 BG CG GF GH 提示 1 证 BCG DCG 2 证Rt HBG Rt CFG 答案 1 DG为Rt BCD斜边上的高 Rt BDG Rt DCG 即DG2 BG CG 2 DG BC ABC H 90 CE AB ABC ECB 90 ABC H ABC ECB H ECB 又 HGB FGC 90 Rt HBG Rt CFG BG GC GF GH 28 如图 ABC CDB 90 AC a BC b 1 当BD与a b之间满足怎样的关系时 ABC CDB 2 过A作BD的垂线 与DB的延长线交于点E 若 ABC CDB 求证四边形AEDC为矩形 自己完成图形 提示 利用三角形相似 推出BD 答案 1 ABC CDB 90 当 时 ABC CDB 即 BD 即当BD 时 ABC CDB ABC CDB ACB CBD AC ED 又 D 90 ACD 90 E 90 四边形AEDC为矩形 29 如图 在矩形ABCD中 E为AD的中点 EF EC交AB于F 连结FC AB AE 1 AEF与 EFC是否相似 若相似 证明你的结论 若不相似 请说明理由 2 设 k 是否存在这样的k值 使得 AEF BFC 若存在 证明你的结论并求 出k的值 若不存在 说明理由 提示 1 如图 证明 AFE DGE 证出 AFE EFC 2 证明 ECG 30 BCF 30 答案 如图 是相似 证明 延长FE 与CD的延长线交于点G 在Rt AEF与Rt DEG中 E是AD的中点 AE ED AEF DEG AFE DGE AFE DGE E为FG的中点 又 CE FG FC GC CFE G AFE EFC 又 AEF与 EFC均为直角三角形 AEF EFC 存在 如果 BCF AEF 即k 时 AEF BCF 证明 当 时 ECG 30 ECG ECF AEF 30 BCF 90 60 30 又 AEF和 BCF均为直角三角形 AEF BCF 因为EF不平行于BC BCF AFE 不存在第二种相似情况 30 如图 在Rt ABC中 C 90 BC 6 cm CA 8 cm 动点P从点C出 发 以每秒2 cm的速度沿CA AB运动到点B 则从C点出发多少秒时 可使 S BCP S ABC 提示 先求CP 再求DP 答案 当点P从点C出发 运动在CA上时 若S BCP S ABC 则 CP BC AC BC CP AC 2 cm 故由点P的运动速度为每秒2 cm 它从C点出发1秒时 有S BCP S ABC 当点P从点C 出发运动到AB上时 如图 可过点P作PD BC于D 若S BCP S ABC 则 PD BC AC BC PD AC 2 cm Rt BAC Rt BPD 又 AB 10 故 BP AP AB BP 10 7 5 也就是说 点P从C出发共行15 5 cm 用去7 75秒 此时S BCP S ABC 答 1秒或7 75秒 31 BC 50m AM 133米 32 错误 33 证 DCE DBC得DC2 DE DB再证 DEF DAB得 DE DB DA DF 2 AD DF DG DC 34 BC 4m 35 证 1 EAC与 DBC全等 得到 EAC B 而 B ACB 得 EAC ACB 故AE BC 2 EAC DBC得到 EAC B 而 B ACB 得 EAC ACB 36 1 连接BC交OA于E点 AB AC是 O的切线 AB AC 1 2 AE BC OEB 90O BD是 O 的直径 DCB 90O DCB OEB CD AO 2 CD AO 3 4 AB是 O的切线 DB是直径 DCB ABO 90O BDC AOB y 0 x 6 3 由已知和 2 知 8分 把x y看作方程z2 11z 18 0的两根 解这个方程 得 z 2或z 9 舍去 AB 6 37 1 AP QC AP BQ QC BQ BC 1 又 AP BQ分别为方程的两根 有AP BQ m AP BQ n AP BQ m 1 2分 2 EF AP 又 AP BQ 即 即 3 连结QD 则EP QD 得 S AQD 且 S AEP S AQD AP2 AD2 AP2 1 AP2 S AEP AP2 S AQD AP2 S PQE S AEP EQ AE 即 AP2 EQ AE BQ AP AP BQ 即 n 38 解 1 OA 12 OB 6由题意 得BQ 1 t t OP 1 t t OQ 6 t y OP OQ t 6 t t2 3t 0 t 6 2 当有最大值时 OQ 3 OP 3即 POQ是等腰直角三角形 把 POQ沿翻折后 可得四边形是正方形 点C的坐标是 3 3 直 线的解析式为当时 点C不落在直线AB上 3 POQ AOB时 若 即 若 即 当或时 POQ 与 AOB相似 39 提示 利用相似三角形的性质 列出关于ED的方程 求ED的长 即可求出S ABC 答案 矩形PQMN PN QM PN QM AD BC AE PN APN ABC 设ED x 又 矩形周长为24 则PN 12 x AD 16 x 即 x2 4x 32 0 解得 x 4 AD AE ED 20 S ABC BC AD 100 点评 本题要求运用相似三角形对应高线的比等于相似比 40 提示 先证PB PC 再证 EPC CPF 答案 连结PC AB AC AD是中线 AD是 ABC的对称轴 PC PB PCE ABP CF AB PFC ABP PCE PFC 又 CPE EPC EPG CPF 即 PC2 PE PF BP2 PE PF 点评 本题要求运用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质 41 1 证明 连结OD 1分 又 BD为 ABC的平分线 即 2分 又 OD是 O的半径 AC是 O的切线 3分 2 解 DE DB O是Rt BDE的外接圆 BE是 O的直径 设 O的半径为r 在Rt ABC中 ADO ACB 4分 又 BE是 O的直径 BEF BAC 5分 42 解 过圆心 且m n分别切 O于点A C 2 连接OA AEC PAQ 同理可得 得 43 解 1 与的数量关系是相等 1分 证明 过点作 垂足分别为点 易得 而 是的平分线 又 2分 2 又 3分 4分 3 如图1所示 若与射线相交 则 6分 如图2所示 若与直线的交点与点在点的两侧 则 8分 44 解 1 1分 证明 如图2 与 都是等边三角形 绕点 顺时针旋转30 得到 也是等边三角形 且 2分 3分 2 如图3 设 分别与 交于点 CDE在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移x秒 平移后的 为 由 1 可知 在 中 4分 过点 作 于点 在 中 5分 当点 与点 重合时 此函数自变量x的取值范围是 6分 3 的值不变 7 分 证明 如图4 由题意知 在 中 又 点 是 的中点 8分 45 1 证明