信息智能分析与处理模糊数学.pdf

信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n一 模糊一 模糊 Fuzzy 数学的基本概念数学的基本概念 n模糊数学就是用数学方法研究模糊现象模糊数学就是用数学方法研究模糊现象 n1965年 美国数学家扎德 L A Zadeh 发表论文 模糊集合 Fuzzy Sets 开辟了一门新的数学分支 模糊数学 nZadeh Lotfi A Fuzzy Sets Information and Control Vol 8 1965 pp 338 353 n涉及纯粹数学 应用数学 自然科学 人文科学和管理 科学等方面 在图像识别 人工智能 自动控制 信息处理 经济学 心理学 社会学 生态学 语言学 管理科学 医 疗诊断 哲学研究等领域中 都得到广泛应用 把模糊数学 理论应用于决策研究 形成了模糊决策技术 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 0 1 Ax Ax x A 模糊集合是经典集合概念的推广 在经典集合论 康托尔集合论 中 每一个集合都必须由确定的元素 构成 元素对于集合的隶属关系是明确的 这一性质 可以用特征函数来描述 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n nZadeh将特征函数改成所谓的 隶属函数 其中 n这里 A 称为 模糊集合 称为 x对 集合A 的 隶属度 n经典集合论要求隶属度只能取0 1二值 模糊集合论 则突破了这一限制 将隶属度扩展到了 0 1 闭区间 n由于集合论是现代数学的重要基石 因此模糊集合的 概念对数学产生了广泛的影响 人们将模糊集合引进数学 的各个分支从而出现了模糊拓扑 模糊群论 模糊测度与 积分 模糊图论等等 它们一起形成通常所称的模糊数 学 x A 1 0 x A x A 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n实际上 模糊性是事物复杂性表现的一个方面 随着 电子计算机的发展以及它对日益复杂的系统的应用 处理 模糊性问题的要求也比以往显得突出 这是模糊数学产生 的背景 由于人脑的思维包括有精确的与模糊的两个方面 因此模糊数学在人工智能模拟方面具有重要意义 n 当系统的复杂性日趋增长时 我们作出系统特性的 精确然而有意义的描述的能力将相应降低 直至达到这样 一个阈值 一旦超过它 精确性和有意义性将变成两个几 乎互相排斥的特性 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 二模糊理论的数学基础二模糊理论的数学基础 隶属函数隶属函数 设U是论域 称映射 A x U 0 1 确定了一个U上的模糊子集A 映射A x 称为A的隶属函数 表 示x对A的隶属程度 使A x 0 5的点x称为A的过渡点 此点最具模糊性 当映射A x 只取0或1时 模糊子集A就是经典子集 而 A x 就是它的特征函数 可见经典子集就是模糊子集的特殊 情形 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n模糊子集的表达方法模糊子集的表达方法 n解析法 也即给出隶属函数的具体表达式 nZadeh 记法 例如 分母是论域中的元素 分子是该元素对 应的隶属度 有时候 若隶属度为0 该项可以忽略不写 n序偶法 例如A x1 1 x2 0 5 x3 0 72 x4 0 序偶对的前者是论域中的元素 后者是该元素对应的隶属度 n向量法 在有限论域的场合 给论域中元素规定一个表达的 顺序 那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式 如 A 1 0 5 0 72 0 n 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n例设论域例设论域U x1 140 x2 150 x3 160 x4 170 x5 180 x6 190 单位 单位 cm 表示人的身高 那么表示人的身高 那么U上的上的 一个模糊集 高个子 一个模糊集 高个子 A 的隶属函数的隶属函数A x 可定义为可定义为 140190 140 x xA 100200 100 x xA 也可用也可用Zadeh表示法 表示法 654321 18 06 04 02 00 xxxxxx A 654321 9 08 07 06 05 04 0 xxxxxx A 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n模糊集的运算模糊集的运算 相等 相等 A B A x B x 包含 包含 A B A x B x 并 并 A B的隶属函数为的隶属函数为 A B x A x B x 取大运算 取大运算 交 交 A B的隶属函数为的隶属函数为 A B x A x B x 取小运算 取小运算 余 余 Ac的隶属函数为的隶属函数为 Ac x 1 A x n 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n例设论域例设论域U x1 x2 x3 x4 x5 商品集商品集 在 在U上定上定 义两个模糊集 义两个模糊集 A 商品质量好 商品质量好 B 商品质量 商品质量 坏 并设坏 并设 A 0 8 0 55 0 0 3 1 B 0 1 0 21 0 86 0 6 0 n则则Ac 商品质量不好 商品质量不好 Bc 商品质量不坏商品质量不坏 Ac 0 2 0 45 1 0 7 0 Bc 0 9 0 79 0 14 0 4 1 n可见可见Ac B Bc A 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n又又 A Ac 0 8 0 55 1 0 7 1 U nA Ac 0 2 0 45 0 0 3 0 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n模糊集的并 交 余运算性质模糊集的并 交 余运算性质 幂等律 幂等律 A A A A A A 交换律 交换律 A B B A A B B A 结合律 结合律 A B C A B C A B C A B C 吸收律 吸收律 A A B A A A B A 分配律 分配律 A B C A C B C A B C A C B C 0 1律 律 A U U A U A A A A 还原律 还原律 Ac c A n 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n对偶律 对偶律 A B c Ac Bc n A B c Ac Bc 对偶对偶律的律的证明证明 对于任意对于任意的的 x U 论域论域 A B c x 1 A B x 1 A x B x 1 A x 1 B x Ac x Bc x Ac Bc x 模糊集的运算性质基本上与经典集合一致 除了排中律以外模糊集的运算性质基本上与经典集合一致 除了排中律以外 即 即 A Ac U A Ac 模糊集不再具有 非此即彼 的特点 这正是模糊性带模糊集不再具有 非此即彼 的特点 这正是模糊性带 来的本质特征来的本质特征 n 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n模糊集的基本定理模糊集的基本定理 n 截截集 集 n A A x A x 模糊集的模糊集的 截集截集A 是一个经典集合 由隶属度不小于是一个经典集合 由隶属度不小于 的 的的 的 所有元素所有元素x构成构成 例 论域例 论域U u1 u2 u3 u4 u5 u6 学生集学生集 他们的成绩 他们的成绩 依次为依次为50 60 70 80 90 95 A 学习成绩好的学生 的隶属 学习成绩好的学生 的隶属 度分别为度分别为0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 95 则 则 A0 9 90分以上者分以上者 u5 u6 A0 6 60分以上者分以上者 u2 u3 u4 u5 u6 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 定理定理1 设设A B U A B是论域是论域U 的两个模糊子集的两个模糊子集 0 1 于是有 于是有 截集的性质 截集的性质 1 A B A B 2 A A 3 A B A B A B A B 定理定理2 分解定理分解定理 设设A U x A 则 则 A x 0 1 x A 定义定义 扩张原理扩张原理 设映射设映射 f X Y 定义 定义 f A y A x f x y n 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n三三模糊模糊矩阵矩阵 n定义定义1 设设R rij m n 若 若0 rij 1 则称 则称R为为模糊模糊矩阵矩阵 当当rij只取只取0或或1时 称时 称R为为布尔布尔 Boole 矩阵矩阵 当模糊方阵当模糊方阵R rij n n的对角线上的元素 的对角线上的元素rii都为都为1时 称时 称R为为模糊模糊自反自反 矩阵矩阵 定义定义2 设设A aij m n B bij m n都是模糊矩阵 都是模糊矩阵 相等 相等 A B aij bij 包含 包含 A B aij bij 并 并 A B aij bij m n 交 交 A B aij bij m n 余 余 Ac 1 aij m n 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n模糊模糊矩阵矩阵的并 交 余运算性质的并 交 余运算性质 幂等律 幂等律 A A A A A A 交换律 交换律 A B B A A B B A 结合律 结合律 A B C A B C A B C A B C 吸收律 吸收律 A A B A A A B A 分配律 分配律 A B C A C B C A B C A C B C 0 1律 律 A O A A O O A E E A E A 还原律 还原律 Ac c A 对偶律 对偶律 A B c Ac Bc A B c Ac Bc 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n模糊模糊矩阵矩阵的的合成合成运算与模糊方运算与模糊方阵阵的幂的幂 设设A aik m s B bkj s n 定义模糊矩阵 定义模糊矩阵A 与与B 的合成的合成 为 为 A B cij m n 其中其中cij aik bkj 1 k s 模糊方模糊方阵阵的幂的幂 定义 若定义 若A为为 n 阶方阵 定义阶方阵 定义A2 A A A3 A2 A Ak Ak 1 A 7 04 0 3 03 0 7 04 0 3 01 0 7 04 0 3 03 0 7 04 0 3 01 0 3 o 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n合成合成 运算的性质 运算的性质 性质性质1 A B C A B C 性质性质2 Ak Al Ak l Am n Amn 性质性质3 A B C A B A C B C A B A C A 性质性质4 O A A O O I A A I A 性质性质5 A B C D A C B D 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 注注 合成合成 运算运算关于关于 的分的分配配律不律不成立成立 即即 A B C A C B C n A C B C n A B C A C B C 2 03 0 1 05 0 2 03 0 1 02 0 1 02 0 3 01 0 CBA A B C 1 02 0 1 01 0 2 03 0 1 05 0 1 02 0 1 01 0 o 1 02 0 1 02 0 2 03 0 1 02 0 1 02 0 2 03 0 I 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n模糊模糊矩阵矩阵的的 截矩阵截矩阵 定义定义7 设设A aij m n 对任意的 对任意的 0 1 称 称 A aij m n 为模糊矩阵为模糊矩阵A的的 截矩阵截矩阵 其中其中 当当aij 时 时 aij 1 当 当aij 时 时 aij 0 显然 显然 A的的 截矩阵为布尔矩阵截矩阵为布尔矩阵 1110 1100 1011 0011 18 03 00 8 011 02 0 3 01 015 0 02 05 01 3 0 AA 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n对任意的对任意的 0 1 有 有 性质性质1 A B A B 性质性质2 A B A B A B A B 性质性质3 A B A B 性质性质4 AT A T 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n模糊关系模糊关系 设设有有论域论域X Y X Y 的一个模糊子集的一个模糊子集 R 称称为为从从 X 到到 Y 的的 模糊模糊关系关系 模糊子集模糊子集 R 的隶属函数为映射的隶属函数为映射 R X Y 0 1 并称隶属度并称隶属度R x y 为为 x y 关于模糊关系关于模糊关系 R 的相关的相关 程度程度 特别地 当特别地 当 X Y 时 称之为时 称之为 X 上各元素之间的模糊关上各元素之间的模糊关 系系 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n模糊模糊关系关系的的矩阵矩阵表示表示 对于有限论域对于有限论域 X x1 x2 xm 和和Y y1 y2 yn 则 则X 到到Y 模糊关系模糊关系R可用可用m n 阶模糊矩阵表示 阶模糊矩阵表示 即即 R rij m n 其中其中rij R xi yj 0 1 表示表示 xi yj 关于模糊关关于模糊关 系系R 的相关程度的相关程度 又若又若R为布尔矩阵时为布尔矩阵时 则关系则关系R为普通关系为普通关系 即即xi 与与 yj之之 间要么有关系间要么有关系 rij 1 要么没有关系要么没有关系 rij 0 n 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n例 设身高论域例 设身高论域X 140 150 160 170 180 单位 单位 cm 体重论域体重论域Y 40 50 60 70 80 单位 单位 kg 下表下表 给出了身高与体重的模糊关系给出了身高与体重的模糊关系 n4050607080 14010 80 20 10 1500 810 80 20 1 1600 20 810 80 2 1700 10 20 810 8 18000 10 20 81 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n模糊模糊关系关系的的合成合成 设设 R1 是是 X 到到 Y 的关系的关系 R2 是是 Y 到到 Z 的关系的关系 则则R1与与 R2 的合成的合成 R1 R2是是 X 到到 Z 上的一个关系上的一个关系 R1 R2 x z R1 x y R2 y z y Y 当论域为有限时 模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成当论域为有限时 模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成 设设X x1 x2 xm Y y1 y2 ys Z z1 z2 zn 且 且X 到到Y 的模糊关系的模糊关系R1 aik m s Y 到到Z 的模糊关系的模糊关系R2 bkj s n 则 则X 到到Z 的模糊关系的模糊关系 可表示为模糊矩阵的合成 可表示为模糊矩阵的合成 R1 R2 cij m n 其中其中cij aik bkj 1 k s 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n模糊等价矩阵模糊等价矩阵 若模糊关系若模糊关系R是是X上各元素之间的模糊关系 且满足 上各元素之间的模糊关系 且满足 1 自反性 自反性 R x x 1 2 对称性 对称性 R x y R y x 3 传递性 传递性 R2 R 则称模糊关系则称模糊关系R是是X上的一个模糊等价关系上的一个模糊等价关系 n当论域当论域X x1 x2 xn 为有限时为有限时 X 上的一个模糊等上的一个模糊等 价关系价关系R就是模糊等价矩阵就是模糊等价矩阵 即即R满足满足 nR2 R rik rkj 1 k n rij 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n定理定理1 若若R具有自反性具有自反性 I R 和传递性和传递性 R2 R 则则 R2 R n定理定理2 若若R是模糊等价矩阵是模糊等价矩阵 则对任意则对任意 0 1 R 是等价是等价 的的Boole矩阵矩阵 n定理定理3 若若R是模糊等价矩阵是模糊等价矩阵 则对任意的则对任意的0 1 R 所所 决定的分类中的每一个类是决定的分类中的每一个类是R 决定的分类中的某个类的子决定的分类中的某个类的子 类类 n 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n模糊相模糊相似似关系关系 若模糊关系若模糊关系 R 是是 X 上各元素之间的模糊关系 且满足 上各元素之间的模糊关系 且满足 1 自反性 自反性 R x x 1 2 对称性 对称性 R x y R y x 则称模糊关系则称模糊关系 R 是是 X 上的一个模糊相似关系上的一个模糊相似关系 当论域当论域X x1 x2 xn 为有限时 为有限时 X 上的一个上的一个 模糊相似关系模糊相似关系 R 就是模糊相似矩阵 即就是模糊相似矩阵 即R满足 满足 1 自反性 自反性 I R rii 1 2 对称性 对称性 RT R rij rji 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 定理定理1 若若R 是模糊相似矩阵 则对任意的自然数是模糊相似矩阵 则对任意的自然数 k Rk也是也是 模糊相似矩阵模糊相似矩阵 定理定理2 若若R 是是n阶模糊相似矩阵 则存在一个最小自然数阶模糊相似矩阵 则存在一个最小自然数 k k n 对于一切大于 对于一切大于k 的自然数的自然数 l 恒有 恒有Rl Rk 即 即Rk 是模糊等价矩阵是模糊等价矩阵 R2k Rk 此时称此时称Rk为为R的传递闭包 记的传递闭包 记 作作 t R Rk 上述定理表明 任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊上述定理表明 任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊 等价矩阵等价矩阵 平平方法方法求传递闭求传递闭包包 t R R R2 R4 R8 R16 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n模糊聚类分析模糊聚类分析 n数数据标准化据标准化 设论域设论域X x1 x2 xn 为被分类对象为被分类对象 每个对象又由每个对象又由m个个 指标表示其形状指标表示其形状 xi xi1 xi2 xim i 1 2 n 于是于是 得到原始数据矩阵为得到原始数据矩阵为 nmnn m m xxx xxx xxx 21 22221 11211 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n平移 平移 标准差变标准差变换换 n平移平移 极差变极差变换换 2 1 2 1 mjni s xx x j jij ij n i jijj n i ijj xx n sx n x 1 2 1 1 1 1 min 1 max 1 min nixnix nixx x ijij ijij ij 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n模糊相模糊相似似矩阵矩阵建建立立方法方法 n相相似似系系数法数法 夹夹角角余余弦弦法法 m k jk m k ik m k jkik ij xx xx r 1 2 1 2 1 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n相相似似系系数法数法 相相关系关系数法数法 m k jjk m k iik m k jjkiik ij xxxx xxxx r 1 2 1 2 1 1 1 11 m k jkj m k iki x m xx m x 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n距离距离法法 n海海明明距离距离 n欧氏距离欧氏距离 n切比雪夫距离切比雪夫距离 rij 1 c d xi xj m k jkikji xxxxd 1 m k jkikji xxxxd 1 2 d xi xj xik xjk 1 k m 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n模糊聚类分析的基本过程 n 1 计算样本或变量间的相似系数 建立模糊相似矩阵 n 2 利用模糊运算对相似矩阵进行一系列的合成改造 生 成模糊等价矩阵 n 3 最后根据不同的截取水平 对模糊等价矩阵进行截取 分类 n 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n模糊聚类分析的步骤 模糊聚类分析的步骤 n 标准化数据压缩到 0 1 闭区间内 n 建立模糊相似矩阵R sij n n 其中sij为相似系 数 其定义可以有多种形式 夹角余弦 相关系数或距离 n 创建模糊等价矩阵R 平平方法方法求传递闭求传递闭包包 n 选取截取水平 0 1 对样本进行模糊聚类 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 是模糊等价关系吗 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n模糊识别 分类 模糊识别 分类 n已知某类事物的若干标准模型 现有这类事物中的一个具已知某类事物的若干标准模型 现有这类事物中的一个具 体对象 问把它归到哪一模型 这就是模型识别体对象 问把它归到哪一模型 这就是模型识别 n模型识别在实际问题中是普遍存在的模型识别在实际问题中是普遍存在的 例如 学生到野外例如 学生到野外 采集到一个植物标本 要识别它属于哪一纲哪一目 投递采集到一个植物标本 要识别它属于哪一纲哪一目 投递 员员 或分拣机或分拣机 在分拣信件时要识别邮政编码等等 这些都在分拣信件时要识别邮政编码等等 这些都 是模型识别是模型识别 n所谓模糊模型识别所谓模糊模型识别 是指在模型识别中是指在模型识别中 模型是模糊的模型是模糊的 也也 就是说就是说 标准模型库中提供的模型是模糊的标准模型库中提供的模型是模糊的 n 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n为了能识别待判断的对象为了能识别待判断的对象x x1 x2 xn T是属于已是属于已 知类知类A1 A2 Am中的哪一类 中的哪一类 n事先必须要有一个一般规则事先必须要有一个一般规则 一旦知道了一旦知道了x的值的值 便便 能根据这个规则立即作出判断能根据这个规则立即作出判断 称这样的一个规则为称这样的一个规则为判判别别 规规则则 n判别规则往往通过的某个函数来表达判别规则往往通过的某个函数来表达 我们把它称为我们把它称为 判判别别函数函数 记作记作W i x n一旦知道了判别函数并确定了判别规则 最好将已知一旦知道了判别函数并确定了判别规则 最好将已知 类别的对象代入检验 这一过程称为类别的对象代入检验 这一过程称为回代检验回代检验 以便检验 以便检验 你的判别函数和判别规则是否正确你的判别函数和判别规则是否正确 n 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n模糊模糊向向量的量的内积内积与与外外积积 n定义 称向量a a1 a2 an 是模糊向量 其中 0 ai 1 若ai只取0或1 则称a a1 a2 an 是 Boole向量 设设 a a1 a2 an b b1 b2 bn 都是模糊向都是模糊向 量 则定义量 则定义 内积内积 a b ak bk 1 k n 外外积积 a b ak bk 1 k n n 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n最最大隶属大隶属原原则则 最大隶属原则 最大隶属原则 设论域设论域X x1 x2 xn 上有上有m个模糊个模糊 子集子集A1 A2 Am 即即m个模型个模型 构成了一个标准模型库构成了一个标准模型库 若对任一若对任一x0 X 有有k 1 2 m 使得使得 Ak x0 A1 x0 A2 x0 Am x0 则认为则认为x0相对隶属于相对隶属于Ak 最大隶属原则 最大隶属原则 设论域设论域X上有一个标准模型上有一个标准模型A 待识别的对待识别的对 象有象有n个 个 x1 x2 xn X 如果有某个如果有某个xk满足满足 A xk A x1 A x2 A xn 则应优先录取则应优先录取xk 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n例例1 在论域在论域X 0 100 分数上建立三个表示学习成绩的分数上建立三个表示学习成绩的 模糊集模糊集A 优 优 B 良 良 C 差 差 当一位同学的当一位同学的 成绩为成绩为88分时分时 这个成绩是属于哪一类 这个成绩是属于哪一类 nA 88 0 8 100901 9080 10 80 800 0 x x x x xA 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 nB 88 0 7 n 10095 0 9585 10 95 8580 1 8070 10 70 700 0 x x x x x x x xB 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 nA 88 0 8 B 88 0 7 C 88 0 n根据最大隶属原则 根据最大隶属原则 88分这个成绩应隶属于分这个成绩应隶属于A 即为 优 即为 优 n例例2 论域论域 X x1 71 x2 74 x3 78 表示三个学表示三个学 生的成绩生的成绩 那一位学生的成绩最差 那一位学生的成绩最差 nC 71 0 9 C 74 0 6 C 78 0 2 n根据最大隶属原则 根据最大隶属原则 x1 71 最差最差 n 100800 8070 10 80 700 1 x x x x xC 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊识别细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊识别 而几而几 何图形常常化为若干个三角图形何图形常常化为若干个三角图形 故设论域为三角形全体故设论域为三角形全体 即即 X A B C A B C 180 A B C 标准模型库标准模型库 E 正三角形正三角形 R 直角三角形直角三角形 I 等腰三等腰三 角形角形 I R 等腰直角三角形等腰直角三角形 T 任意三角形任意三角形 n例 细胞染色体形状的模糊识别例 细胞染色体形状的模糊识别 信息智能分析与处理信息智能分析与处理 n某人在实验中观察到一染色体的几何形状 测得其三个内某人在实验中观察到一染色体的几何形状 测得其三个内 角分别为角分别为94 50 36 即待识别对象为即待识别对象为x0 94 5