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二次曲面的方程与图形 1 椭球面 2 抛物面 3 双曲面 4 椭圆锥面 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 研究二次曲面特性的基本方法 截痕法 其基本类型有 椭球面 抛物面 双曲面 锥面 的图形通常为二次曲面 二次项系数不全为0 1 椭球面 1 范围 2 与坐标面的交线 椭圆 与 的交线为椭圆 4 当a b时为旋转椭球面 同样 的截痕 及 也为椭圆 当a b c时为球面 3 截痕 为正数 2 抛物面 1 椭圆抛物面 p q同号 2 双曲抛物面 鞍形曲面 特别 当p q时为绕z轴的旋转抛物面 p q同号 椭圆抛物面 双曲抛物面 所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面 3 双曲面 1 单叶双曲面 椭圆 时 截痕为 实轴平行于x轴 虚轴平行于z轴 平面 上的截痕情况 双曲线 虚轴平行于x轴 时 截痕为 时 截痕为 实轴平行于z轴 相交直线 双曲线 2 双叶双曲面 双曲线 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别 双曲线 单叶双曲面 双叶双曲面 4 椭圆锥面 椭圆 在平面x 0或y 0上的截痕为过原点的两直线 可以证明 椭圆 上任一点与原点的连线均在曲面上 椭圆锥面也可由圆锥面经x或y方向的伸缩变换 得到 内容小结 三元二次方程 椭球面 抛物面 椭圆抛物面 双曲
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