基本不等式及其应用 (2).ppt

2 4基本不等式 这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标 会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去象一个风车 代表中国人民热情好客 弦图证明勾股定理 a 勾 b 股 c 弦 案弦图 又可以勾股相乘为朱实二 倍之朱实四 以勾股之差自相乘 为中实黄 加差实亦成弦实 问题1 图案里除了相等关系即勾股定理 是否还能找出不等关系 提示 观察正方形的面积和4个直角三角形的面积 探究1 a b 1 正方形ABCD的面积S 四个直角三角形的面积和S S与S 有什么样的不等关系 探究 S S 问 那么它们有相等的情况吗 结论 当且仅当a b时等号成立 问题2 探讨不等式成立的条件 即a b的取值范围 结论 一般地 对于任意实数a b 总有当且仅当a b时 等号成立 思考 你能给出不等式的证明吗 基本不等式1 一般地 对于任意实数a b 总有当且仅当a b时 等号成立 文字叙述为 两数的平方和不小于它们积的2倍 适用范围 a b R 注意基本不等式1深化认识 替换后得到 即 即 探究2 问题1 思考 为什么可以这样替换 a b需要满足什么条件 取到等号的条件是什么 特别地 若a 0 b 0 则 当且仅当a b时取等号 这个不等式就叫做基本不等式2 基本不等式2 在数学中 我们把叫做正数a b的算术平均数 叫做正数a b的几何平均数 文字叙述为 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 适用范围 a 0 b 0 通常我们把上式写作 问题2 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 Rt ACD Rt DCB A B C D E a b O 如图 AB是圆的直径 O为圆心 点C是AB上一点 AC a BC b 过点C作垂直于AB的弦DE 连接AD BD OD 如何用a b表示CD CD 如何用a b表示OD OD 如何用a b表示CD CD 如何用a b表示OD OD OD与CD的大小关系怎样 OD CD 如图 AB是圆的直径 O为圆心 点C是AB上一点 AC a BC b 过点C作垂直于AB的弦DE 连接AD BD OD 几何意义 半径长不小于半弦长 A D B E O C a b 问题2 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 a b a b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a b R a 0 b 0 填表比较 注意从不同角度认识基本不等式1 例2 1 如图 用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 A B D C 若x y皆为正数 则当xy的值是常数P时 当且仅当x y时 x y有最小值 例2 2 如图 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 A B D C 若x y皆为正数 则当x y的值是常数S时 当且仅当x y时 xy有最大值 各项皆为正数 和或积为定值 注意等号成立的条件 一 正 二 定 三 相等 利用基本不等式求最值时 要注意 小结 求最值时注意把握 一正 二定 三相等 2 利用基