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概率 大题必练 20 理科

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高考理科数学知识归纳——概率 一． 离散型随机变量的期望(均值)和方差 若离散型随机变量的分布列或概率分布如下： … … 1. 其中，，则称为随机变量的均值或的数学期望，记为或．数学期望 = 性质 ．（为常数） 2. 方差 3．随机变量的方差也称为的概率分布的方差，的方差的算术平方根称为的标准差，即． 二．超几何分布 对一般情形，一批产品共件，其中有件不合格品，随机取出的件产品中，不合格品数的分布如下表所示： … … 其中网高考资源网 一般地，若一个随机变量的分布列为， 其中，，，，…，，，则称服从超几何分布，记为，并将记为． 三．二项分布 1．次独立重复试验 一般地，由次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中。我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验。 （1）独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。 （2）次独立重复试验中事件恰好发生次的概率。 2．二项分布 若随机变量的分布列为，其中则称服从参数为的二项分布，记作。 2015高考数学之概率论必押20题 【融会贯通举一反三】 【领跑精练—001】 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,……6），求： （I）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； （II）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望。 【领跑精练—002】 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。 （1） 求的分布列； （2） 求的数学期望。 【领跑精练—003】 某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ 0 1 2 3 (Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ)求，的值； (Ⅲ)求数学期望ξ。 【领跑精练—004】 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 （Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ. 【领跑精练—005】 某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。 （Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率 （Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率； （Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。 【领跑精练—006】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,，（495,，……（510,，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示． （1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量． （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列． （3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率． 【领跑精练—007】 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机 变量ξ的概率分布如下表： ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.3 2a a (1)求a的值和ξ的数学期望； (2)假设一月份与二月份被消费投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被 消费者投诉2次的概率． 【领跑精练—008】一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得分。 （1）求拿4次至少得2分的概率； （2）求拿4次所得分数的分布列和数学期望。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【领跑精练—009】质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4。将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上。 （1）求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积能被4整除的概率； （2）设为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求的分布列及期望E。 .w.w.k.s.5.u.c.o.m 【领跑精练—010】（本小题满分12分）在2006年多哈亚运会中，中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中国女排每一局赢的概率为.已知比赛中，第一局日本女排先胜一局，在这个条件下， （Ⅰ）求中国女排取胜的概率； （Ⅱ）设决赛中比赛总的局数为，求的分布列及.（两问均用分数作答） 【领跑精练—011】（本题满分12分）甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有2个黑球和1个红球。规则如下：若一方摸中红球，将此球放入袋中，此人继续摸球；若一方没有摸到红球，将摸到的球放入袋中，则由对方摸彩球。现甲进行第一次摸球。 (Ⅰ)在前三次摸球中，甲恰好摸中一次红球的所有情况； （Ⅱ）在前四次摸球中，甲恰好摸中两次红球的概率。； （Ⅲ）设是前三次摸球中，甲摸到的红球的次数， 求随机变量的概率分布与期望。 【领跑精练—012】 （本小题满分12分）有一批数量很大的产品，其次品率是10%。 （1）连续抽取两件产品，求两件产品均为正品的概率； （2）对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过4次，求抽查次数的分布列及期望。 W 【领跑精练—013】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响； 每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响. （１）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率； （２）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？ （３）若甲连续射击5次,用ξ表示甲击中目标的次数，求ξ的数学期望Eξ. 【领跑精练—014】某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品． （Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望； （Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率． 【领跑精练—015】甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是, , ．(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;(Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ 【领跑精练—016】（2009石景山区理）袋中装有个黑球和个白球共个球，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需的取球次数． （Ⅰ）求恰好取球3次的概率； （Ⅱ）求随机变量的概率分布； （Ⅲ）求恰好甲取到白球的概率． 【领跑精练—017】某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，有只能从中选一门。该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同。 （Ⅰ）求3个学生选择了3门不同的选修课的概率； （Ⅱ）求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率； （Ⅲ）设随机变量为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，求的分布列 与数学期望。 【领跑精练—018】 射击运动员在双项飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞靶得2分，击中一个飞靶得1分，不击中飞靶得0分，某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为，第二枪命中率为， 该运动员如进行2轮比赛． （Ⅰ）求该运动员得4分的概率为多少？ （Ⅱ）若该运动员所得分数为，求的分布列及数学期望 【领跑精练—019】为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望。 【领跑精练—020】为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率； （II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。 2015领跑学堂高考数学之概率论必押20题 【寒松原创三年精华荟萃】 【2011内蒙古领跑精练—001】 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,……6），求： （I）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； （II）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望。 【2011内蒙古领跑精练—002】 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。 （3） 求的分布列； （4） 求的数学期望。 【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。 （1） 必须要走到1号门才能走出，可能的取值为1，3，4，6 ，，， 1 3 4 6 分布列为： （2）小时 【2011内蒙古领跑精练—003】 【2010北京理数】(本小题共13分) 某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为 ξ 0 1 2 3 (Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率； (Ⅱ)求，的值； (Ⅲ)求数学期望ξ。 解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知 ，， （I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 ， （II）由题意知 整理得 ， 由，可得，. （III）由题意知 = = = 【2011内蒙古领跑精练—004】 【2010四川理数】（本小题满分12分） 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 （Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ. 解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么 P(A)=P(B)=P(C)= P()=P(A)P()P()= 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为……………………………………6分 （2）ξ的可能值为0,1,2,3 P(ξ=k)=(k=0,1,2,3) 所以中奖人数ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P Eξ=0+1+2+3=………………………………………………12分 【2011内蒙古领跑精练—005】 【2010天津理数】（本小题满分12分） 某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。 （Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率 （Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率； （Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。 【解析】本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。 （1）解：设为射手在5次射击中击中目标的次数，则~.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率 （Ⅱ）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则 = = （Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为 = 所以的分布列是 【2011内蒙古领跑精练—006】 【2010广东理数】(本小题满分12分) 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,，（495,，……（510,，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示． （1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量． （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列． （3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率． 【2011内蒙古领跑精练—007】 【2009陕西理】某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机 变量ξ的概率分布如下表： ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.3 2a a (1)求a的值和ξ的数学期望； (2)假设一月份与二月份被消费投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被 消费者投诉2次的概率． 解：(1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a＋a＝1， 解得a＝0.2. ∴ξ的概率分布为 ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.4 0.2 ∴Eξ＝00.1＋10.3＋20.4＋30.2＝1.7. (2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次；事件A1表示“两个月内有一个月被投 诉2次，另一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月均被投诉1次”． 则由事件的独立性得 P(A1)＝CP(ξ＝2)P(ξ＝0)＝20.40.1＝0.08， P(A2)＝[P(ξ＝1)]2＝0.32＝0.09. ∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17. 故该企业在这两个同月共被消费者投诉2次的概率为0.17. 【2011内蒙古领跑精练—008】四个纪念币、、、,投掷时正面向上的概率如下表所示. 这四个纪念币同时投掷一次,设表示出现正面向上的个数. (Ⅰ)求的分布列及数学期望； (Ⅱ)在概率中,若的值最大,求的取值范围； 答案： (Ⅰ)是个正面向上,个背面向上的概率.其中的可能取值为. , , , .………4分 ∴的分布列为 的数学期望为 .………6分 (Ⅱ)∵,∴,.………8分 则, , 由,得,即的取值范围是.…12分 【2011内蒙古领跑精练—008】一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。若拿出球的标号是3的倍数，则得1分，否则得分。 （1）求拿4次至少得2分的概率； （2）求拿4次所得分数的分布列和数学期望。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：（1）设拿出球的号码是3的倍数的为事件A，则，，拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况。 ，， （6分） （2）的可能取值为，则 ；； ；；； 分布列为 P -4 -2 0 2 4 …(10分) …(12分) 【2011内蒙古领跑精练—009】质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4。将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上。 （1）求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积能被4整除的概率； （2）设为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求的分布列及期望E。 答案：（1）不能被4整除的有两种情影： ①4个数均为奇数，概率为……………………2分 （2）4个数中有3个奇数，另一个为2，概率为…………4分 故所求的概率为P……………………6分 （2）的分布列为 0 1 2 3 4 P ……………………10分 服从二项分布………………12分 .w.w.k.s.5.u.c.o.m 【2011内蒙古领跑精练—010】（本小题满分12分）在2006年多哈亚运会中，中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中国女排每一局赢的概率为.已知比赛中，第一局日本女排先胜一局，在这个条件下， （Ⅰ）求中国女排取胜的概率； （Ⅱ）设决赛中比赛总的局数为，求的分布列及.（两问均用分数作答） 【解】（Ⅰ）解：中国女排取胜的情况有两种： ①中国女排连胜三局; ②中国女排在第2局到第4局中赢两局，且第5局赢.……………………2分 故中国女排取胜的概率为 …………………………………………………4分 故所求概率为………………………………………………………………5分 （Ⅱ）比赛局数 则 ………………8分 的分布列为: 3 4 5 P ……………………10分 .……………………………………………12分 【2011内蒙古领跑精练—011】（本题满分12分）甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有2个黑球和1个红球。规则如下：若一方摸中红球，将此球放入袋中，此人继续摸球；若一方没有摸到红球，将摸到的球放入袋中，则由对方摸彩球。现甲进行第一次摸球。 (Ⅰ)在前三次摸球中，甲恰好摸中一次红球的所有情况； （Ⅱ）在前四次摸球中，甲恰好摸中两次红球的概率。； （Ⅲ）设是前三次摸球中，甲摸到的红球的次数， 求随机变量的概率分布与期望。 解: (Ⅰ) 甲红甲黑乙红黑均可；甲黑乙黑甲红。。。。。。。。。。2分 （Ⅱ）。。。。。。。。。。。。。。。6分 (Ⅲ) 设的分布是 。。。。。。。。。每求对一个1分共4分，表1分， E1分共6分 0 1 2 3 P E= 。。。。。。。。。。。。。。。12分 【2011内蒙古领跑精练—012】 （本小题满分12分）有一批数量很大的产品，其次品率是10%。 （1）连续抽取两件产品，求两件产品均为正品的概率； （2）对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过4次，求抽查次数的分布列及期望。 解：（1）两件产品均为正品的概率为 （3分） （2）可能取值为1，2，3，4 ；； （9分） 所以次数的分布列如下 （10分） ∴ （12分） w【2011内蒙古领跑精练—013】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响； 每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响. （１）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率； （２）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？ （３）若甲连续射击5次,用ξ表示甲击中目标的次数，求ξ的数学期望Eξ. 【错误分析】：概率题常常有如下几种类型：①等可能性事件的概率；②互斥事件的概率；③独立事件同时发生的概率；④独立重复试验事件的概率.弄清每种类型事件的特点，区分使用概率求法，如本题的第一问是一个独立事件同时发生的问题，满足几何显著条件：每次射中目标都是相互独立的、可以重复射击即事件重复发生、每次都只有发生或不发生两种情形且发生的概率是相同的.第二问解答时要认清限制条件的意义. 【答案】（1）(2) （3） 【解析】（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P（A1）= 答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为 ； (2) 记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中” 为事件Di，（i=1，2，3，4，5），则 ，由于各事件相互独立， 故 答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是 （3）根据题意ξ服从二项分布；Eξ=5 【易错点点睛】本小题主要考查概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力，读题、想题、审题的能力，求随机变量的概率在某种程度上就是正确求出相应事件的概率，因此必须弄清每个取值的含义，本概率题跟排列组合知识联系紧密，其实高中概率题【2011内蒙古领跑精练—014】某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品． （Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望； （Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率． 【错误分析】：概率问题常常与排列组合问题相结合 【答案】 【易错点点睛】本题以古典概率为背景，其关键是利用排列组合的方法求出m，n，主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率。 【2011内蒙古领跑精练—015】甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是, , ．(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;(Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ 【错误分析】：判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 【解析】(Ⅰ)记"甲投篮1次投进"为事件A1 ， "乙投篮1次投进"为事件A2 ， "丙投篮1次投进"为事件A3，"3人都没有投进"为事件A ．则P(A1)= ，P(A2)= ，P(A3)= ， ∴ P(A) = P(．．)=P()P()P() = [1－P(A1)] [1－P (A2)] [1－P (A3)]=(1－)(1－)(1－)= ∴3人都没有投进的概率为 ． (Ⅱ)解法一: 随机变量ξ的可能值有0，1，2，3， ξ~ B(3， )， P(ξ=k)=C3k()k()3－k (k=0，1，2，3) ， Eξ=np = 3 = ． 解法二: ξ的概率分布为: ξ 0 1 2 3 P Eξ=0+1+2+3= ． 【易错点点睛】已知概率求概率，主要运用加法公式（互斥）和乘法公式（独立）以及n次独立重复试验（二项分布），注意条件和适用的范围，另外利用二项分布期望和方差结论使问题简洁明了。 【2011内蒙古领跑精练—016】（2009石景山区理）袋中装有个黑球和个白球共个球，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需的取球次数． （Ⅰ）求恰好取球3次的概率； （Ⅱ）求随机变量的概率分布； （Ⅲ）求恰好甲取到白球的概率． 解：（Ⅰ）恰好取球3次的概率； ……………………3分 （Ⅱ）由题意知，的可能取值为、、、、， ， ， ， ， ． 所以，取球次数的分布列为： 1 2 3 4 5 …………………10分 （Ⅲ） 因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球． 记“甲取到白球”的事件为A． 则． 因为事件“”、“”、“”两两互斥， 所以 　　 ． 所以恰好甲取到白球的概率为． ……………14分 【2011内蒙古领跑精练—017】某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课，每个学生必须选修，有只能从中选一门。该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同。 （Ⅰ）求3个学生选择了3门不同的选修课的概率； （Ⅱ）求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率； （Ⅲ）设随机变量为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数，求的分布列 与数学期望。 解：（Ⅰ）3个学生选择了3门不同的选修课的概率：P1 =…… 3分 （Ⅱ）恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率：P2=… 6分 （Ⅲ）设某一选择修课这3个学生选择的人数为，则=0，1，2，3 P (= 0 ) = P (= 1) = P (= 2 ) = P (= 3 ) = ……………… 10分 0 1 2 3 P ∴的分布列为： ∴期望E= 0+1+2+3= …………………… 13分 【2011内蒙古领跑精练—018】 射击运动员在双项飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞靶得2分，击中一个飞靶得1分，不击中飞靶得0分，某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为，第二枪命中率为， 该运动员如进行2轮比赛． （Ⅰ）求该运动员得4分的概率为多少？ （Ⅱ）若该运动员所得分数为，求的分布列及数学期望 解：（I）设运动员得4分的事件为A， 则P(A)= ． --------------------5分 （Ⅱ）设运动员得i分的事件为， ξ的可能取值为0, 1, 2, 3，4 ．-------------------------------------------------------6分 P(ξ=0)= P(ξ=4)=, ------------------------------------8分 P(ξ= 1) = P(ξ=3) =，--10分 P(ξ= 2) =， -------------------11分 ξ 0 1 2 3 4 P ξ的分布列为： -------------------12分 数学期望 Eξ=0＋ 1＋ 2＋ 3＋ 4=2. ------13分 【2011内蒙古领跑精练—019】为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 （I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； （II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望。 解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,,，i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，,,（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（）=，P（）=，P（）= （1） 他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3！P（）=6P（）P（）P（）=6= (2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由己已知，-B（3，），且=3。 所以P（=0）=P（=3）==，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m P（=1）=P（=2）= = P（=2）=P（=1）== P（=3）=P（=0）= = 故的分布是 0 1 2 3 P 的数学期望E=0+1+2+3=2 解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件， i=1,2,3 ，由此已知，D，相互独立，且 P（）-（，）= P（）+P（）=+= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以--,既， 故的分布列是 1 2 3 【2011内蒙古领跑精练—020】为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率； （II）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。 解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”， 事件为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。 …………………………………………………………6分 （Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3 , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以的分布列为 0 1 2 3 所以， ……………………12分

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