微积分到底是个什么东西？.doc

NA个自动控：微积分到底是什么东西微积分到底是个什么东西？日日夜夜困扰我们的高数其实小名就叫微积分，不知你是否也有过如此感觉，我们口中的极限、微分、积分、导数到底是什么东西？你是不是也只是在机械地用着那些看似顺手的公式？他们的符号是那么熟悉又是那么陌生，这些神奇的符号由谁发明，代表了什么意义？这些概念从哪里发展过来，这些公式又如何被推导出来的呢？想起在学专业课时满课本的微分方程，设想如果没有微积分学，没有探索动态未知系统的方法，没有这种数学分析，科学的世界肯定会是一片黑暗越想越复杂，越想越崩溃上了一上午的数学课，实在记不下那些公式和技巧了，加上最近几天脑袋胡思乱想，心情难说好，就随手翻了翻什么是数学，大家果然是大家有时人们过于简单得将微积分的发明归功于牛顿和莱布尼茨两个人，这种看法是十分不妥当的，微积分是长期演变的结果，既不是由二人开始也不是由二人结束，但不可否分二人在其发展的过程中起到了决定性的作用。十七世纪的欧洲分散居住着很多有志的科学家，他们在学校之外顽强的继续着伽利略和开普勒的数学工作，他们通过信件和旅行来往，这些人保持着紧密的联系，后来，他们在实际的应用中发现了两个中心的问题，即确定已知曲线的切线和确定曲线所包围的面积。其实就是这两个问题分别导致了微分学和积分学的诞生，也分别是这两个分支所研究的基本问题。于是乎这两个学科踏上了他们数百年的发展道路，遇到了牛顿和莱布尼茨之后它们才有了交集，成为一个让我们抓耳挠腮的微积分学。1、最初的积分学。2、最初的微分学。3、极限思想的重要性。4、积分和微分是如何二合一的？1、 最初的积分学。在求曲边所包围的面积这一基本问题出现之后，人们很惊异的发现，老祖宗们不服不行啊，这个问题其实在公元前就已经被解决了，只是在微积分基本原理被提出来之前它的计算很受制约。比较著名的就是公元前三世纪阿基米德求取圆形和抛物线弓形的面积。我们都知道矩形面积的计算方法，之后三角形看成它的一半进行计算，折线多边形的面积可以分成几个三角形来计算，可是曲边图形呢？阿基米德的方法是在这些图形中内接多边形，当边数增加的时候，多边形的面积就逐渐逼近了曲边图形的面积，并且还得到了圆周率的值，这就是“穷竭”的思想，是极限思想的萌芽。当边数无限增加的时候，多边形的面积就无限趋近于面积值。十七世纪的时候，更多的问题得以解决，但是在遇到“极限”的时候，它们都依赖于特殊的技巧，如：等差、等比数列的求和公式，相当的复杂，而且这种特殊就决定了局限性。到了近代，极限的思想稍成熟之后，莱布尼茨用分割、近似、求和、取极限的方法叙述了解决曲边图形求面积的一般方法（定积分）。2、 微分的起源。积分的概念早在古代就打下了基础但是微分的另一个基础导数，则是17世纪才由费马和其他人逐步建立起来，费马对函数的极大和极小值问题非常感兴趣，为了刻划极大值和极小值点的特点，很自然要用到曲线切线的概念，来给出曲线上每一点的方向，极值点的切线必然平行于x轴，否则这些曲线在这些点必然上升或者下降，我们刻划直线的方向用的是斜率，我们的问题是如何找到计算斜率的方法？某一点的斜率如何定义呢？总的来说确定已知曲线的切线问题的解决方法是：自变量取值无穷小，用切线值微小增量dy来代替函数值增量y（y=dy+o（x）,这就催生出了一点的斜率，他的名字就叫做导数！可见一元函数的可导和可微是等价的。用割线取极限的过程近似，可以得出导数的定义式。取极限的过程就叫做对函数进行微分，dy就是微分值，它其实就是切线的微小增量而已，莱布尼茨由微分定义，用dy/dx即微商来表示导数。这就是微分、导数的来源。每一点的斜率与自变量值又组成了一个映射，这就是导函数。这样，求微分的过程又再次变成了求极限的问题，表面上是那么的难求，但是一旦脱离普遍领域，只考虑个别函数，我们就能在特殊情况下用导数的定义式得到确切的结果。如常函数。仅仅用消去的方法，就得到了X平方、三次方的导数，用同样的方法还可以得到其他幂函数的导数。三角函数的导函数求法用到了重要极限。导数的加减乘除运算由定义式能很容易推出来。由导数定义式很容易知道反函数的导数是其原函数导数的倒数我们只需要将定义式稍加分解，就得到了复合函数的求导法则。基本初等函数导数公式、四则运算、符合函数求导是导数运算的基础，隐函数、参数方程等的求导都是建立在其上。3、 极限思想的重要性。由积分和微分基本问题的解决我们可以看出，极限的思想是相当重要的，事实上，它是近代数学的基础。初学的时候，这种“无限趋近，永不相等”的动态思想的非常不好接受的，当然几个世纪之前，那时的人们甚至是数学家都把接受极限思想上升到了哲学的层面，重重障碍，连最懂它的牛顿和莱布尼茨都不愿承认这种已经被运用他们理论中的方法是一种全新的叫极限的方法，仍然停留在“无穷小量”、“微分”等词语的层面。对极限思想的数学描述也是一个难题，后来的西格玛-N，西格玛-西塔定义是一百多年探索和挫折的总结，用类似于A和B竞赛的方式精炼地描述了极限的过程，有了极限的数学描述，我们将连续也用极限描述，这就是相当重要的“若连续，极限值等于函数值”（其实连不连续从图形上一眼便知）。极限的计算出来连续函数在某一点的极限值可以直接带入之外，其他的并不是那么好计算。我们用夹逼准则证明了重要极限，重要极限的出现及（等价）无穷小概念的出现对各种包括未定式（0/0等极限值不定的式子）的求解、极限的运算规则提供了重要的方法。（运算规则、通分有理化变量替换、洛必达法则、重要极限、无穷下替换构成了计算极限的方法）。4、 积分和微分是如何二合一的？在牛顿和莱布尼茨工作之前，微分和积分的概念都已经成型了，要使这种以极限为基础的数学分析获得极大的发展，仅仅需要再有一个比较简单的发现。积分和微分涉及两个极限过程，表面上看起来无联系，而实际上却是密切相关的，事实上它们互逆，就如加法和减法，乘法和除法。牛顿和莱布尼茨的巨大功绩就在于提出了微积分基本定理，揭示了这种互逆的关系。从此没有了截然分开的积分学和微分学，只有微分学。这个简单的发现，一切由变上限函数引起。我们对变上限函数按定义求导，得到了导函数f(x)，也就是说变上限函数叫做函数f(x)的一个原函数，（一个函数的原函数是不定积分和任意常数的和）。这样由定积分的几何意义，任意区间的定积分都可以由原