陕西省西安市五校联考2012届高三数学第一次模拟考试试题理.doc

长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2012届第一次模拟考试数学（理）试题注意事项： （1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间150分钟（2）答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上（3）选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上（4）非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效（5）考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回第I卷（选择题 共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1复数，则复数的虚部为（ ）A2 B C D2已知集合和，则集合M是集合N的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3函数在定义域内的零点的个数为（ ）A0 B1 C2 D3 4过点P（1,2）的直线l平分圆C：的周长，则直线l的斜率为（ ）A B1 C D5如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（ ）A B4 C D62011年西安世园会组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作，要求每项工作至少有一人从事，则不同的派给方案共有（ ）A25种 B600种 C240种 D360种7展开式中，中间项的系数为70若实数满足则的最小值是（ ）A1 BC5 D18已知两个等差数列和的前n项和分别是和，且，则等于（ ）A2BCD9设函数的最小正周期为，则（ ）A在单调递减 B在单调递增 C在单调递增 D在单调递减10椭圆上存在一点P，使得它对两个焦点，张角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D第II卷（非选择题 共100分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11如图，有一个算法流程图在集合中随机地取一个数值做为x输入，则输出的y值落在区间内的概率值为 12某校为了解高一学生寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）则这100名同学中学习时间在6至8小时之间的人数为 13设a，b，c为单位向量，a，b的夹角为600，则（a + b + c）c的最大值为 14给定集合An =1,2,3,n()，映射满足：当时，；任取，若，则有则称映射是一个“优映射”例如：用表1表示的映射是一个“优映射”表1 表2i123 f(i)231i1234f(i)3 （1）已知表2表示的映射是一个“优映射”，请把表2补充完整 （2）若映射是“优映射”，且方程的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是 15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A（几何证明选讲选做题）如图，已知的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则BD的长为= ；B（不等式选讲选做题）关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是 ； C（坐标系与参数方程选做题）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的极坐标方程为点P在曲线C上，则点P到直线l的距离的最小值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16（本小题满分12分）三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为、，设向量，若/（I）求角B的大小；（II）求的取值范围ABCDEF17（本小题满分12分）如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE/DF，（）求证：BE/平面ADF；（）若矩形ABCD的一个边AB =，EF =，则另一边BC的长为何值时，二面角B-EF-D的大小为450？18（本小题满分12分）设点P的坐标为，直线l的方程为请写出点P到直线l的距离，并加以证明19（本小题满分12分）有甲、乙两种相互独立的预防措施可以降低某地区某灾情的发生单独采用甲、乙预防措施后，灾情发生的概率分别为0.08和0.10，且各需要费用60万元和50万元在不采取任何预防措施的情况下发生灾情的概率为0.3如果灾情发生，将会造成800万元的损失（设总费用=采取预防措施的费用+可能发生灾情损失费用）（I）若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，他们各自总费用是多少？（II）若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少的那个方案20（本小题满分13分）已知圆C1的方程为，定直线l的方程为动圆C与圆C1外切，且与直线l相切（）求动圆圆心C的轨迹M的方程；（II）斜率为k的直线l与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线l的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M于异于点P的点Q，记为轨迹M与直线PQ围成的封闭图形的面积，求的值21（本小题满分14分）已知函数f(x)=xax + (a1)，（I）讨论函数的单调性；（II）若，数列满足若首项，证明数列为递增数列；若首项为正整数，数列递增，求首项的最小值长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2012届第一次模拟考试数学（理）答案第I卷（选择题 共50分）一、选择题： CDCA DBAB DB第II卷（非选择题 共100分）二、填空题：11 0.8 ；12 30 ；13；14（1） 2，4，1 ，（2） 84 ； 15.A；B；C 三、解答题：16（本小题满分12分）解（I）由/知，即得，据余弦定理知 ，得 6分（II） 9分因为，所以，得 10分所以，得，即得的取值范围为 12分17（本小题满分12分）解（）法1：过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM因为CE/DF，所以四边形CEMD是平行四边形可得EM = CD且EM /CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE/AM，而直线BE在平面ADF外，所以BE/平面ADF 6分 ABCDEMFxyz法2：以直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DF为z轴，建立空间直角坐标系则平面ADF的一个法向量为设AB = a，BC = b，CE = c，则点B、E的坐标分别为（b，a，0）和（0，a，c），那么向量可知，得，而直线BE在平面ADF的外面，所以BE/平面ADF（）由EF =，EM = AB =，得FM = 3且由可得FD = 4，从而得CE =1 8分设BC = a，则点B的坐标为（a，0）又点E、F的坐标分别为（0，1）和（0，0，4），所以，设平面BEF的一个法向量为，则，解得一组解为，所以 10分易知平面DEF的一个法向量为，可得 由于此时就是二面角B-EF-D的大小，所以，可得所以另一边BC的长为时，二面角B-EF-D的大小为45012分18（本小题满分12分）解：点P到直线l的距离公式为 3分证法1：过点P作直线l的垂线，垂足为H若A = 0，则直线l的方程为，此时点P到直线l的距离为，而，可知结论是成立的 5分若，则直线PH的斜率为，方程为，与直线l的方程联立可得 解得， 9分据两点间距离公式得 12分证法2：若B = 0，则直线l的方程为，此时点P到直线l的距离为 ；若，则直线l的方程为，此时点P到直线l的距离为；若，过点P作y轴的垂线，交直线l于点Q，过点P作直线l于y轴的垂线，交直线l于点Q，设直线l的倾斜角为，则因为 ， ，所以，综上，证法：过点P作直线l的垂线，垂足为H则直线PH的一个方向向量对应于直线l的一个法向量，而直线l的一个法向量为，又线段PH的长为d，所以 或设点H的坐标为，则，可得 把点H的坐标代入直线l的方程得 整理得 ，解得证法：过点P作直线l的垂线，垂足为H在直线l上任取一点Q，直线PH的一个方向向量为，据向量知识，向量在向量上的投影的绝对值恰好是线段PH的长，因此 因为，而点满足，所以因此19（本小题满分12分）解（I）若单独采用甲预防措施，可能发生灾情的损失费用的期望值为 （万元）； 2分若单独采用乙预防措施，可能发生灾情的损失费用的期望值为 （万元） 4分所以，单独采用甲预防措施的总费用为124万元，单独采用乙预防措施的总费用为130万元 6分（II）若实施联合采用方案，设可能发生灾情的损失费用为X，则X = 0和800，且 ，所以，可能发生灾情的损失费用的期望值为6.4万元，因此总费用为116.4万元 9分若不采取措施，则可能发生灾情的损失费用的期望值为 万元 可知此时的总费用为240万元 11分综上，选择联合预防措施的方案总费用最少 12分20（本小题满分13分） 解（）设动圆圆心C的坐标为，动圆半径为R，则 ，且 2分 可得 由于圆C1在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方，所以有，从而得，整理得，即为动圆圆心C的轨迹M的方程 5分A（II）如图示，设点P的坐标为，则切线的斜率为，可得直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为由于该直线经过点A（0,6），所以有，得因为点P在第一象限，所以，点P坐标为（4,2），直线PQ的方程为 9分把直线PQ的方程与轨迹M的方程联立得，解得或4，可得点Q的坐标为所以 13分21（本小题满分14分）解（I）可知的定义域为，且当即,则,得在单调增加1分当,而,即时,若，则;若或，则此时在单调减少，在单调增加； 3分当,即,可得在单调减少，在单调增加.综上，当时，函数在区间上单调递减，在区间和上单调递增；当时，