第6章 重点强化课3 不等式及其应用

重点强化课(三)不等式及其应用复习导读本章的主要内容是不等式的性质，一元二次不等式及其解法，简单的线性规划问题，基本不等式及其应用，针对不等式具有很强的工具性，应用广泛，解法灵活的特点，应加强不等式基础知识的复习，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式是解决问题的重要工具，如利用导数研究函数的单调性，往往归结为解一元二次不等式问题；函数、方程、不等式三者密不可分，相互转化，因此应加强函数与方程思想在不等式中应用的训练重点1一元二次不等式的综合应用(1)(2016山东青岛一模)函数y的定义域为()A(，1B1,1C1,2)(2，)D.(2)已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范围是_(1)D(2)(1，1)(1)由题意得解得即1x1且x，所以函数的定义域为，故选D.(2)由题意得或解得1x0或0x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_. 【导学号：31222215】(5,0)(5，)由于f(x)为R上的奇函数，所以当x0时，f(0)0；当x0，所以f(x)x24xf(x)，即f(x)x24x，所以f(x)由f(x)x，可得或解得x5或5x0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a()A.B.C1D2B作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)易知直线z2xy过交点A时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.重点3基本不等式的综合应用(2016江苏高考节选)已知函数f(x)axbx(a0，b0，a1，b1)设a2，b.(1)求方程f(x)2的根；(2)若对于任意xR，不等式f(2x)mf(x)6恒成立，求实数m的最大值解因为a2，b，所以f(x)2x2x.2分(1)方程f(x)2，即2x2x2，亦即(2x)222x10，所以(2x1)20，即2x1，解得x0.5分(2)由条件知f(2x)22x22x(2x2x)22(f(x)22.因为f(2x)mf(x)6对于xR恒成立，且f(x)0，所以m对于xR恒成立.8分而f(x)24，且4，所以m4，故实数m的最大值为4.12分规律方法基本不等式综合应用中的常见类型及求解方法(1)应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解(2)条件不等式问题通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解(3)求参数的值或范围观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围对点训练3(1)设a，b，c(0，)，则“abc1”是“abc”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(2)已知正数x，y满足x2y2，则的最小值为_(1)A(2)9(1)当abc2时，有abc，但abc1，所以必要性不成立当abc1时，abc，所以充分性成立故“abc1”是“abc”的充分不必要条件(2)由已知得1.则(102 )9，当且仅当x，y时取等号重点强化训练(三)不等式及其应用A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1下列不等式一定成立的是()Alglg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)C取x，则lglg x，故排除A；取x，则sin x1，故排除B；取x0，则1，排除D.2(2016天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x5y的最小值为()A4B6C10D17B由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为yxz，在图中画出直线yx，平移该直线，易知经过点A时z最小又知点A的坐标为(3,0)，zmin23506.故选B.3(2016浙江高考)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影由区域中的点在直线xy20上的投影构成的线段记为AB，则|AB|()A2B4C3D6C由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示因为直线xy20与直线xy0平行，所以可行域内的点在直线xy20上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得C(2，2)，D(1,1)，所以|AB|CD|3.故选C.4不等式x2的解集是()A，0)(2,4B0,2)4，)C2,4)D(，2(4，)B当x20，即x2时，不等式可化为(x2)24，解得x4；当x20，即x2时，不等式可化为(x2)24，解得0x3成立的x的取值范围为()A(，1)B(1,0)C(0,1)D(1，)C因为函数yf(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，即.化简可得a1，则3，即30，即0，故不等式可化为0，即12x2，解得0x1，故选C.二、填空题6(2016全国卷)设x，y满足约束条件则z2x3y5的最小值为_10画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示由题意可知，当直线yx过点A(1，1)时，z取得最小值，即zmin2(1)3(1)510.7设a，b0，ab5，则的最大值为_. 【导学号：31222217】3令t，则t2a1b32929a1b313ab13518，当且仅当a1b3时取等号，此时a，b.tmax3.8设0，不等式8x2(8sin )xcos 20对xR恒成立，则的取值范围为_ 【导学号：31222218】由题意，要使8x2(8sin )xcos 20对xR恒成立，需64sin2 32cos 20，化简得cos 2.又0，02或22，解得0或.三、解答题9已知不等式0(aR)(1)解这个关于x的不等式；(2)若xa时不等式成立，求a的取值范围解(1)原不等式等价于(ax1)(x1)0.1分当a0时，由(x1)0，得x0时，不等式化为(x1)0.解得x；3分当a0时，不等式化为(x1)0；若1，即1a0，则x1，即a1，则 1x.5分综上所述，当a1时，解集为；当a1时，原不等式无解；当1a0时，解集为；当a0时，解集为x|x0时，解集为.6分(2)xa时不等式成立，0，即a11，即a的取值范围为(1，).12分10(2016全国卷改编)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，试求在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为多少元解设生产产品A x件，产品B y件，则5分目标函数z2 100x900y.作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)当直线z2 100x900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax2 10060900100216 000(元).12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1已知a，b为正实数，且ab1，若不等式(xy)m对任意正实数x，y恒成立，则实数m的取值范围是() 【导学号：31222219】A4，)B(，1C(，4D(，4)D因为a，b，x，y为正实数，所以(xy)abab2224，当且仅当ab，即ab，xy时等号成立，故只要m0，则由已知可得ax在x上恒成立，而当x时，max，a，故a的最小值为.法二：设f(x)x2ax1，则其对称轴为x.若，即a1时，f(x)在上单调递减，此时应有f0，从而a1.若0时，f(x)在上单调递增，此时应有f(0)10恒成立，故a0.若0，即1a0时，则应有f110恒成立，故10.(1)用定义证明f(x)在1,1上是增函数；(2)解不等式ff；(3)若f(x)t22at1对所有x1,1，a1,1恒成立，求实数t的取值范围解(1)证明：任取x1x2，且x1，x21,1，则f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)(x1x2).2分1x1x21，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1,1上为增函数，4分(2)f(x)在1,1上为增函数，解得.8分(3)由(1)可知f(x)