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第十一章无穷级数 简介 无穷级数 常数项级数 函数项级数 正项级数 交错级数 任意项级数 幂级数 傅立叶 属于三角 级数 任意项 函数 级数 本章主要围绕三个问题展开讨论 级数的收敛性判定问题 把已知函数表示成级数问题 级数求和问题 第一节常数项级数的概念和性质 一 引例 二 级数的概念 三 基本性质 四 收敛的必要条件 五 小结 一 引例 1 用圆内接正多边形面积逼近圆面积 依次作圆内接正 边形 这个和逼近于圆的面积A 设a0表示 即 内接正三角形面积 ak表示边数 增加时增加的面积 则圆内接正 2 无限循环小数的和 二 级数的概念 1 级数的定义 思考 怎样理解无穷级数中无限多个量相加呢 解析 级数是 无限和 的形式 是 有限和 的自然延续 可以理解为是 有限和 的极限 才构成了级数的 无限和 加法是有限个数之间的运算 无限个数相加 是用加法是无法完成的 定义 给定一个数列 即 称作 常数项 无穷级数 其中第n项 叫做级数的一般项 成的表达式 由该数列构 部分和数列 2 级数的部分和 级数的前n项的和 有限和 当n依次取1 2 3 时 它们构成一个新的数列 Sn 3 级数的收敛与发散 余项 无穷级数收敛性举例 Koch雪花 做法 先给定一个正三角形 然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1 3的小正三角形 如此类推在每条凸边上都做类似的操作 我们就得到了面积有限而周长无限的图形 Koch雪花 观察雪花分形过程 第一次分叉 依次类推 播放 周长为 面积为 第次分叉 于是有 结论 雪花的周长是无界的 而面积有界 雪花的面积存在极限 收敛 解 收敛 发散 级数发散 级数发散 综上 要求熟记该结论 解 已知级数为等比级数 例3 判别下列级数的敛散性 解 1 所以级数 1 发散 技巧 利用 拆项相消 求和 2 所以级数 2 收敛 其和为1 技巧 利用 拆项相消 求和 小结 在用定义判别级数的敛散性时 必须设法求出Sn的具体有限表达式 即须将Sn中的省略号 消去 才能求极限 否则不能直接求出 三 级数的基本性质 推广 级数的每一项同乘一个不为零的常数 敛散性不变 性质1 若级数 收敛于S 则级数 也收敛 证 令 则 这说明 收敛 其和为kS 即 其和为kS 收敛 证 令 则 性质2 这说明级数 也收敛 其和为 说明 2 若两级数中一个收敛一个发散 则 必发散 但若二级数都发散 不一定发散 例如 1 性质2表明收敛级数可逐项相加或减 用反证法可证 解 故由性质2 注意 敛散性不变 但其和一般要变 性质3 在级数前面加上 去掉或改变有限项 不会影响 级数的敛散性 证 将级数 的前k项去掉 的部分和为 数敛散性相同 当级数收敛时 其和的关系为 类似可证前面加上或改变有限项的情况 极限状况相同 故新旧两级 所得新级数 证明 性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和 设收敛级数 若按某一规律加括弧 则新级数的部分和数列 为原级数部分和 数列 的一个子数列 因此必有 例如 注意 逆命题不真 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛 收敛 发散 推论 逆否命题为真 如果加括弧后所成的级数发散 则原来级数必发散 常用此性质来判断一个级数发散 例如 用反证法可证 例5 判断级数的敛散性 解 考虑加括号后的级数 发散 从而原级数发散 已知调和级数发散 四 级数收敛的必要条件 证明 性质5 级数收敛的必要条件 注意 逆否命题为真 1 如果级数的一般项不趋于零 则级数发散 发散 2 必要条件不充分 讨论 法 利用不等式 例2 1 已证 法 反证法 8项 4项 2项 2项 项 由性质4推论 调和级数发散 法 用性质4推论证 讨论加括号后的级数 每个括号中各项分母均换为最后一项的分母 法 用定积分的几何意义证明 考察曲线 所围曲边梯形面积S与阴影表示的阶梯形面积An之间的关系 设的部分和为 它显然大于曲边梯形的面积 即有 而 所以Sn的极限不存在 故调和级数发散 例7 判断下列级数的敛散性 若收敛求其和 解 1 令 则 故 从而 这说明级数 1 发散 因 进行拆项相消 这说明原级数收敛 其和为 2 这说明原级数收敛 其和为3 3 五 小结 常数项级数的基本概念 基本审敛法 观察雪花分形过程 第一次分叉 依次类推 观察雪花分形