相似三角形解题思路赏析导学案

1 / 12 相似三角形解题思路赏析导学案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 相似三角形解题思路赏析（） 姓名 _评价 内容解读：人们在对两个物体或图形的形状和大小进行认识时，全等和相似的感知是伴生的在数学上全等和相似是特殊与一般、共性与个性的关系，形状相同是二者的共性全等形是相似比等于 1 时的相似形；同时我们应学会应用两个三角形相似的判定方法去解决问题。 例题讲解： 1、如图，在 RtABc 内有边长分别为的三个正方形，则满足的关系式是（） A、 B、 c、 D、 2、已知矩形的边长某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，问：（ 1）经过多少时间，的面积等于矩形面积的？ （ 2）是否存在时刻，使以为顶点的三角形与 相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由 3、如图 1，在中，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点 2 / 12 （ 1）求证：； （ 2）当为边中点，时，如图 2，求的值； （ 3）当为边中点，时，请直接写出的值 4、已知为线段上的动点，点在射线上，且满足（如图1 所示） （ 1） 当，且点与点重合时（如图 2 所示），求线段的长； （ 2）在图 1 中，联结当，且点在线段上时，设点之间的距离为，其中表示的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域。 5、已知：将一副三角板 (RtABc 和 RtDEF) 如图 摆放，点 E、 A、 D、 B 在一条直线上，且 D 是 AB的中点将 RtDEF绕点 D 顺时针方向旋转角 (0 90) ，在旋转过程中，直线 DE、 Ac 相交于点 m，直线 DF、 Bc 相交于点 N，分别过点 m、 N 作直线 AB 的垂线，垂足为 G、 H（ 1）当 30 时 (如图 ) ，求证： AG=DH； （ 2）当 60 时 (如图 ) ， (1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； （ 3）当 0 90 时， (1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图 说明理由 相似三角形解题思路赏析 2（） 3 / 12 班级姓名 _学号 _评价 学习目标：理解相似三角形的的概念，掌握判断两个三角形相似的常见方法，能利用相似三角形的性质解决有关问题。 在利用相似三角形的性质解题时注意下面几点常见的转化方法与解题的思路： 1、比例式的转化，利用不同的相似三角形所得到的比例式相 互替代（或比例式中的相等的线段的替换），实现比例式的变更从而产生新的比例式 2、利用比例式来求出线段之间的函数关系，用方程来求解 3、应当根据求解的问题的形式，灵活把所得到比例式进行加减乘除运算，实现问题的转化 4、在图形中注意添加辅助线的方法构造相似三角形或相似三角形的对应量 例题讲解： 1、将一张边长分别为 a， b 的矩形纸片 ABcD 折叠，使点 c与点 A 重合，则折痕的长为 ( ) （ A）（ B） （ c） （ D） 2、如图，梯形 ABcD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为、，则 梯形的面积为（ ） A B c D 3、已知：如图，在梯形 ABcD中， ABcD ， AD Bc，延长 AB 到 E，使 BE cD，连结 cE，求证：（ 1） cE cA；（ 2）4 / 12 上述条件下，若 AFcE 于点 F，且 AF 平分 DAE ， cD AE 3 8，求的值； 4、如图 1，在平面直角坐标系中， o 为坐标原点，点 A 的坐标为，直线 Bc 经过点，将四边形 oABc 绕点 o 按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线 Bc 相交于点 P、 Q （ 1）四边形 oABc的形状是， 当时，的值是； （ 2） 如图 2，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值； 如图 3，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积 5、如图，在中，分别是的中点点从点出发沿折线以每秒 7 个单位长的速度匀速运动；点从点出发沿方向以每秒 4 个单位长的速度匀速运动，过点作射线，交折线于点点同时出发，当点绕行一周回到点时停止运动，点也随之停止设点运动的时间是秒（） （ 1）两点间的距离是； （ 2）射线能否把四边形分成面积相等的两部分？若能， 求出的值若不能，说明理由； （ 3）当点运动到折线上，且点又恰好落在 射线上时，求的5 / 12 值； （ 4）连结，当时，请直接写出的值 相似三角形解题思路赏析 3（） 班级姓名 _学号 _评价 学习目标：理解相似三角形的的概念，掌握判断两个三角形相似的常见方法，能利用相似三角形的性质解决有关问题。 在探索三角形是否相似时，我可以参照学习全等的方法（全等是相似的一种特殊情况）： 1、寻找：缺什么找什么，例如已经知道有两边对应成比例，证明其夹角相等，则必定是证第三边也成比例；已知一组角相等，要证明夹这个角的两边成比例，则必定是再找一组角相等；等等 2、构造：对于在题目中不能直截找到相似三角形的问题，我们还可以通过作辅助线的方法构造相似三角形，实现线段或角的转化将问题解决当然这种情况要有一定的想象力与比较扎实的基础 3、学会灵活转化：角的替换、比例式的替换、相等线段的替换，可以让我们更快捷地寻找证明相似的条件 相似三角形的基本性质有： 1、相似三角形的对应角相等， 2、相似三角形的对应边成比例， 3、相似三角形的对应线段（对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线以及周长）的比等于相似比， 4、相似三角形的面积比等于相似比的平方其实在第二、三条性中的对应角与对应 线段还可以推广6 / 12 对应量相等或成比例，例如：两个相似三角形的对应边上的高与中线的夹角是相等的，对应边上的高分对边所成的对应线段成比例等等说开了也就是相似三角形对应线段分原三角所成的对应小三角形相似 例 1、小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面 3 个有联系的问题，请你帮助解决： （ 1）如图 1，正方形中，作交于，交于，求证：； （ 2）如图 2，正方形中，点分别在上，点分别在上，且，求的值； （ 3）如图 3，矩形中，点分别在上，且，求的值 例 2、如图， ABc 和 A1B1c1 均为正三角 形， Bc 和B1c1的中点均为 D求证： AA1cc1 例 3、如图，在 ABc 中， AB=4， D 在 AB边上移动（不与 A、B 重合）， DEBc 交 Ac 于 E 点，连接 cD，设 SABc=S ，SDEc=S1 (1)当 D 为 AB中点时 ,求 S1:S的值； (2)设 AD=x,S1： S=y，求 y 关于 x 的函数关系式及自变量 x的取值范围； (3)是否存在点 D,使得 S1 1/4S 成立 ?若存在 ,求出 D 点的7 / 12 位置；若不存在，说明理由 例 4、如图，四边形 ABcD中， E、 F 分别是 AB、 cD的中点 P是对角线 Ac 延长线上的任意一点， PF 交 AD 于点 m， PE 交Bc于点 N， FE交 mN于点 k，求证： k 是线段 mN的中点 例 5、如图，正方形 EFGH内接于 ABc 中， ADBc ，设Bc=a， AD=h， 说明：正方形的边长 =，请利用上述的有关结论，解决下面问题： 在一块锐角三角形余料上，加工成正方形零件，使正方形的四个顶点都在三角形的边上，若三角形的三边长为 a， b， c，且 a b c，问：正方形的两个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件的面积最大？ 相似三角形解题思路赏析（） 班级姓名 _学号 _评价 1、如图， ，直线 AB 分别与，交于点 A、 B、 c，直线DE 分别与，交于点 D、 E、 F， AB=3， Bc=4， DE=2，试探索求 EF长的方法 . 2、善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比8 / 12 例的两个梯形，叫做相似梯形 .他想到 “ 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 ” ，提出如下两个 问题，你能帮助解决吗？ 问题一平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？ （ 1）从特殊情形入手探究 .假设梯形 ABcD中， ADBc ， AB=6，Bc=8， cD=4， AD=2， mN是中位线（如图 ） .根据相似梯形的定义，请你说明梯形 AmND与梯形 ABcD是否相似 ? （ 2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形 _(填 “ 相似 ” 或 “ 不相似 ” 或“ 相似性无法确定 ”. 不要求证明 ). 问题二平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似 ? （ 1）从特殊平行线入手探究 .梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形 _(填 “ 相似 ” 或 “ 不相似 ” 或 “ 相似性无法确定 ”. 不要求证明 ). （ 2）从特殊梯形入手探究 .同上假设，梯形 ABcD中， ADBc ，AB=6， Bc=8， cD=4， AD=2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点 P,Q在梯形的两腰上，如图 ） ,使得梯形 APQD与梯9 / 12 形 PBcQ相似吗 ?请根据相似梯形的定义说明理由 . (3)一般结论：对于任意梯形（如图 ），一定 (填 “ 存在 ” 或 “ 不存在 ”) 平行于梯形底边的直线 PQ，使截得的两个小梯形相似 . 若存在，则确定这条平行线位置的条件是 = (不妨设 AD=a， Bc=b， AB=c， cD=d.不要求证明 ). 3、解决下面 问题： （ 1）、阅读理解： 如图 1，以原点 o 为位似中心按比例尺 oA ： oA=3： 1 在位似中心的同侧将 oAB 放大为 oA B ，若 A（ 1， 2）， B（ 3，1），则 A 、 B 两点的坐标分别为（ 3， 6）和（ 9， 3）； （ 2）、活动探索：（在下图中分别作出对应的图形，不要求用尺轨作图） 活动一：如图 2，以点 T（ 1， 1）为位似中心按比例尺 TE ：TE=3： 1 在位似中心的同侧将 TEF 放大为 TE F ，若 E（ 2， 3）， F（ 4， 2），则 E 、 F 的坐标分别为 _、_； 活动二：如图 3，以点 W（ 2， 3）为位似中心按比例尺 WG ：WG=4： 1 在位似中心的同侧将 WGH 放大为 WG H ，若 G（ 3， 5）， H（ 5， 4），则 G 、 H 的坐标分别为 _、10 / 12 _； （ 3）、归纳猜想： 以第一象限内的点 m（ a， b）为位似中心，按比例尺 mP ：mP=n： 1 在位似中心的同侧将图形放大，则点 P（ x， y）的对应点 P 的横坐标为 _，纵坐标为 _（用 a、 b、 n、 x、 y 表示） 4、在平面内，先将一 个多边形以点 o 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为 k，并且原多边形上的任一点 P，它的对应点 P 在线段 oP或其延长线上；接着将所得多边形以点 o 为旋转中心，逆时针旋转一个角度 ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为 o（ k， ），其中点 o 叫做旋转相似中心， k 叫做相似比， 叫做旋转角 （ 1）填空： 如图 1，将 ABc 以点 A 为旋转相似中心，放大为原来的 2 倍，再逆时针旋转 600，得到 ADE ，这个旋转相似变换记为 A（，）； 如图 2， ABc 是边长为 1cm 的等边三角形，将它作旋转相 似变换 A（， 900），得到 ADE ，则线段 BD的长为 cm； （ 2）如图 3，分别以锐角 ABc 的三边 AB、 Bc、 cA 为边向外作正方形 ADEB， BFGc， cHIA，点 o1、 o2、 o3 分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用 Ao1o3 与 ABI ， cIB11 / 12 与 cAo2 之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段o1o3与 Ao2之间的关系 相似三角形与图形的证明（） 班级姓名 _学号 _评价 1、如图 ，为等边三角形，面积为分别是三边上的点，且，连结，可得 （ 1）用 S 表 示的面积 =，的面积 =； （ 2）当分别是等边三边上的点，且时，如图 ，求的面积和的面积； （ 3）按照上述思路探索下去，当分别是等边三边上的点，且时（为正整数），的面积 =， 的面积 = 2、如图，已知 A（ 8， 0）， B（ 0， 6），两个动点 P、 Q同时在 oAB 的边上按逆时针方向（ oABo ）运动，开始时点 P 在点 B 位置，点 Q 在点 o 位置，点 P 的运动速度为每秒 2 个单位，点 Q 的运动速度为每秒 1 个单位 （ 1）在前 3 秒内，求 oPQ 的面积与 t 的函数关系式； （ 2）在前 10 秒内，求 P、 Q 两点之间的最 小距离，并求此时点 P、 Q 的坐标； （ 3）在前 15 秒内，探究 PQ 平行于 oAB 一边的情况，并求平行时点 P、 Q 的坐标 12 / 12 3、如图，四边形 ABcD为一梯形纸片， ABcD ， AD Bc翻折纸片 ABcD，使点 A 与点 c 重合，折痕为 EF已知 cEAB ， （ 1）求证： EFBD ；（ 2）若 AB 7， cD 3，求线段 EF 的长； 4、请