高考数学冲刺讲义选修2-2复数.ppt

复数 选修2 2 一 复数的概念 思考 从小学到现在 大家都依次学过哪些数集呢 在实数集中求方程x2 1 0的解 现在我们就引入这样一个数i 把i叫做虚数单位 并且规定 1 i2 1 2 实数可以与i进行四则运算 在进行四则运算时 原有的加法与乘法的运算率 包括交换率 结合率和分配率 仍然成立 这样就解决了前面所提出的问题 即 1可以开平方 且 1的平方根为 i 而且得到了新数集C a bi a b R 选修2 2 二 复数集 形如a bi a b R 的数叫做复数 C叫做复数集 常用z a bi a b R 来表示 叫复数的代数形式 复数a bi a b R 由两部分组成 实数a与b分别称为复数a bi的实部与虚部 1与i分别是实数单位和虚数单位 当b 0时 a bi就是实数a 当b 0时 a bi是虚数 其中a 0且b 0时称为纯虚数bi 选修2 2 三 复数相等的定义 如果两个复数的实部和虚部分别相等 我们就说这两个复数相等 根据两个复数相等的定义 设a b c d R 两个复数a bi和c di相等规定为 a bi c di如果复数a bi 0 选修2 2 两个复数不能比较大小 只能由定义判断它们相等或不等 例1 实数m取什么数值时 复数z m 1 m 1 i是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 解 复数z m 1 m 1 i中 因为m R 所以m 1 m 1都是实数 它们分别是z的实部和虚部 1 m 1时 z是实数 2 m 1时 z是虚数 3 当时 即m 1时 z是纯虚数 选修2 2 例2 已知 2x 1 i y 3 y i 其中x y R 求x y 解 根据复数相等的意义 两个复数相等则实部等于实部 虚部等于虚部 得方程组 解得x y 4 四 共轭复数 复数a bi与a bi互为共轭复数 选修2 2 你能否找到用来表示复数的几何模型吗 实数可以用数轴上的点来表示 一一对应 实数 数轴上的点 形 数 复数z a bi 有序实数对 a b 直角坐标系中的点Z a b 数 形 一一对应 选修2 2 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面 复平面其中 x轴 实轴y轴 虚轴 由于向量由点Z唯一确定 所以复数的第二个几何意义是 选修2 2 实数绝对值的几何意义 能否把实数绝对值概念推广到复数范围呢 实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离 复数绝对值的几何意义 复数z a bi在复平面上对应的点Z a b 到原点的距离 选修2 2 已知复数z m2 m 6 m2 m 2 i在复平面内所对应的点位于第二象限 求实数m允许的取值范围 表示复数的点所在象限的问题 复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题 转化 几何问题 代数问题 一种重要的数学思想 数形结合思想 选修2 2 1 复数的加法与减法 五 复数的四则运算 复数的加法 减法 乘法运算与实数的运算基本上没有区别 最主要的是在运算中将i2 1结合到实际运算过程中去 即 两个复数相加 减 就是实部与实部 虚部与虚部分别相加 减 选修2 2 复数的加法满足交换律 结合律 即对任何z1 z2 z3 C 有z1 z2 z2 z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 计算 解 选修2 2 2 复数的乘法法则 设 是任意两个复数 那么它们的积 任何 交换律 结合律 分配律 选修2 2 复数的乘法与多项式的乘法是类似的 但必须在所得的结果中把i2换成 1 并且把实部合并 两个复数的积仍然是一个复数 计算 解 复数与其共轭复数的积是一个实数 它等于其中一个复数的模的平方 即 选修2 2 3 复数的乘方 对任何及 有 特殊的有 一般地 如果 有 选修2 2 4 复数的除法法则 选修2 2 设 是任意两个复数 那么它们的商 先把除式写成分式的形式 再把分子与分母都乘以分母的共轭复数 化简后写成代数形式 分母实数化 选修2 2 计算 解 选修2 2