高考数学总复习：第3讲平面向量的数量积.ppt

第3讲平面向量的数量积 2014年高考会这样考 1 考查平面向量的数量积的运算 化简 向量平行与垂直的充要条件的应用 2 以平面向量的数量积为工具 考查其他综合应用题 常与三角函数等知识结合 考点梳理 1 平面向量的数量积 当 0 时 a与b 当 180 时 a与b 当 90 时 a与b 共线同向 共线反向 互相垂直 2 定义 已知两个向量a与b 它们的夹角为 则数量 叫作a与b的数量积 或内积 记作a b 即a b 由定义可知零向量与任一向量的数量积为0 即0 a 0 3 几何意义 数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的射影 的乘积 或b的长度 b 与a在b方向上的射影 的乘积 a b cos a b cos b cos a cos 设向量a x1 y1 b x2 y2 为向量a b的夹角 1 数量积 a b a b cos x1x2 y1y2 2 平面向量数量积的性质及其坐标表示 1 a b b a 交换律 2 a b a b a b 数乘结合律 3 a b c a c b c 分配律 3 平面向量数量积的运算律 两个结论 1 两个向量a与b的夹角为锐角 则有a b 0 反之不成立 因为夹角为0时不成立 2 两个向量a与b的夹角为钝角 则有a b 0 反之不成立 因为夹角为 时不成立 三点提醒 1 若a b c是实数 则ab ac b c a 0 但对于向量就没有这样的性质 即若向量a b c若满足a b a c a 0 则不一定有b c 即等式两边不能同时约去一个向量 但可以同时乘以一个向量 2 数量积运算不适合结合律 即 a b c a b c 这是由于 a b c表示一个与c共线的向量 a b c 表示一个与a共线的向量 而a与c不一定共线 因此 a b c与a b c 不一定相等 A a bB a bC a b D a b a b解析由 a b a b 两边平方并化简得a b 0 又a b都是非零向量 所以a b 答案B 考点自测 1 2012 辽宁 已知两个非零向量a b满足 a b a b 则下面结论正确的是 A 30 B 60 C 120 D 150 答案C 2 若非零向量a b满足 a b 2a b b 0 则a与b的夹角为 答案D 答案 16 例1 1 若向量a 1 1 b 2 5 c 3 x 满足条件 8a b c 30 则x 审题视点 1 直接利用数量积的坐标运算即可 2 由条件表示出a b 然后找到关于k的等式进行求解 考向一平面向量数量积的运算 解析 1 依题意可得8a b 6 3 8a b c 3 6 3 x 30 解得x 4 1 向量数量积有两种计算公式 一是夹角公式a b a b cos 二是坐标公式a b x1x2 y1y2 2 求较复杂的向量数量积的运算时 可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简 例2 1 已知向量a b满足a b 0 a 1 b 2 则 2a b 审题视点 1 利用 a 2 a a求解 2 找出平行四边形的面积与 a b 的关系式 考向二向量的夹角与向量的模 2 已知a与b是两个非零向量 且 a b a b 则a与a b的夹角为 解析 1 2a 3b 2a b 61 4 a 2 4a b 3 b 2 61 又 a 4 b 3 a b 6 训练2 1 已知 a 4 b 3 2a 3b 2a b 61 则 a b 1 求证 a b与a b互相垂直 2 若ka b与a kb的模相等 求 其中k为非零实数 审题视点 1 证明两向量互相垂直 转化为计算这两个向量的数量积问题 数量积为零即得证 2 由模相等 列等式 化简 1 证明 a b a b a2 b2 a 2 b 2 cos2 sin2 cos2 sin2 0 a b与a b互相垂直 考向三平面向量数量积的综合应用 例3 已知a cos sin b cos sin 0 1 当向量a与b是坐标形式给出时 若证明a b 则只需证明a b 0 x1x2 y1y2 0 2 当向量a b是非坐标形式时 要把a b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角 从而进行运算证明a b 0 3 数量积的运算中 a b 0 a b中 是对非零向量而言的 若a 0 虽然有a b 0 但不能说a b 1 证明 a b 2 若存在不同时为零的实数k和t 使c a t2 3 b d ka tb 且c d 试求函数关系式k f t 命题研究 通过近三年高考试题分析 平面向量数量积的应用是必考内容 主要考查利用数量积解决垂直 长度 夹角等问题 题型为选择题 填空题 难度中等偏下 热点突破12 平面向量的数量积在平面几何中的应用 教你审题 1 抓住题眼 平行四边形