2019-2020学年山东省临沂市高三上期中数学试卷版含答案.pdf

2019 2020 学年山东省临沂市高三 上 期中数学试卷学年山东省临沂市高三 上 期中数学试卷 一 单项选择题 本题共一 单项选择题 本题共 10 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 A 2 3a B a b A B 则 A B A 瓠 B 瓠 C D 2 函数 洠 瓠 的定义域为 A 瓠 tB 瓠 t C 瓠 瓠 D 瓠 瓠 t 3 设函数 f x 洠t 瓠 则 f 3 f log23 A 9B 11C 13D 15 4 已知 a b c 满足 a b c 且 ac 0 那么下列选项中不一定成立的是 A ab acB a b c 0C a2c b2cD ac a c 0 5 已知向量 满足 且 瓠 2 则向量 与 的夹角的余弦值为 A B C D 6 二十四节气是中国古代的一种指导农事的补充历法 是我国劳动人民长期经验的积累成 果和智慧的结晶 被誉为 中国的第五大发明 由于二十四节气对古时候农事的进行起 着非常重要的指导作用 所以劳动人民编写了很多记忆节气的歌谣 春雨惊春清谷天 夏满芒夏暑相连 秋处露秋寒霜降 冬雪雪冬小大寒 易经 里对二十四节气的晷影长 的记录中 冬至和夏至的晷影长是实测得到的 其他节气的晷影是按照等差数列的规律 计算出来的 在下表中 冬至的晷影最长为 130 0 寸 夏至的晷影最短为 14 8 寸 那么 易经 中所记录的清明的晷影长应为 节气冬至小寒 大 雪 大寒 小 雪 立春 立 冬 雨水 霜 降 惊蛰 寒 露 春分 秋 分 清明 白 露 谷雨 处 暑 立夏 立 秋 小满 大 暑 芒种 小 暑 夏至 晷影 长度 130 0 14 8 A 77 2 寸B 72 4 寸C 67 3 寸D 62 8 寸 7 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a1 a3 3 a2 a4 6 则 S8 A 45B 81C 117D 153 8 函数 f x Asin x 其中 的图象如图所示 为了得到 g x Asin x 的图象 只需将 f x 图象 A 向右平移 个单位长度 B 向左平移 个单位长度 C 向右平移 个单位长度 D 向左平移 个单位长度 9 函数 瓠 瓠 f x 是 f x 的导函数 则 f x 的图象大致是 A B C D 10 已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 6 f x y f x 3 为偶函数 若 f x 在 0 3 内单调递减 则下面结论正确的是 A 洠 B 洠 C 洠 D 洠 二 多项选择题 本大题共二 多项选择题 本大题共 3 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 12 分 在每小题给出的四个选项中分 在每小题给出的四个选项中 有多项符合题目要求的 全部选对的得有多项符合题目要求的 全部选对的得 4 分 选对但不全的得分 选对但不全的得 2 分 有选错的得分 有选错的得 0 分 分 11 下列命题中 是真命题的是 A 已知非零向量 若 瓠 则 B 若 p x 0 x 1 lnx 则 p x0 0 x0 1 lnx0 C 在 ABC 中 sinA cosA sinB cosB 是 A B 的充要条件 D 若定义在 R 上的函数 y f x 是奇函数 则 y f f x 也是奇函数 12 设 f x 是定义在 R 上的函数 若存在两个不相等的实数 x1 x2 使得 则称函数 f x 具有性质 P 那么下列函数中 具有性质 P 的函数为 f x log2x f x x3 x f x 2 x A B C D 13 设函数 瓠 已知 f x 在 0 有且仅有 3 个零点 对于下列 4 个说法正确的是 A 在 0 上存在 x1 x2 满足 f x1 f x2 2 B f x 在 0 有且仅有 1 个最大值点 C f x 在 单调递增 D 的取值范围是 三 填空题 本大题共三 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 16 分 分 14 若 tan 2 则 t 15 若函数 f x x3 ax2 3x 1 在区间 上单调递减 则实数 a 的取值范围为 16 ABC 中 D 为 AC 上的一点 满足 若 P 为 BD 上的一点 满足 t t 则 mn 的最大值为 的最小值为 17 设 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 a b c 依次成等比数列 且 cos A C cosB 则 sinC 四 解答题 本大题共四 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 82 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 a3 6 S4 20 1 求 an 2 若 a1 ak Sk 2成等比数列 求正整数 k 的值 19 设函数 t 的图象关于直线 x 对称 其中 为常数 且 1 求函数 f x 的解析式 2 若 f 1 0 求 的值 20 已知函数 洠 1 若曲线 f x 在点 1 f 1 处的切线与 y 轴垂直 求 a 的值 2 若在区间 0 e 上至少存在一点 x0 使得 f x0 0 成立 求 a 的取值范围 21 如图 在平面四边形 ABCD 中 ABC BAC DAC CD 2AB 4 1 若 AC 求 ABC 的面积 2 若 ADC 求 AC 22 某化工厂从今年一月起 若不改善生产环境 按生产现状 每月收入为 80 万元 同时 将受到环保部门的处罚 第一个月罚 4 万元 以后每月增加 2 万元 如果从今年一月起 投资 500 万元添加回收净化设备 改造设备时间不计 一方面可以改善环境 另一方面 可以大大降低原料成本 据测算 添加回收净化设备并投产后的前 4 个月中的累计生产 净收入 g n 是生产时间 n 个月的二次函数 g n n2 kn k 是常数 且前 3 个月的 累计生产净收入可达 309 万元 从第 5 个月开始 每个月的生产净收入都与第 4 个月相 同 同时 该厂不但不受处罚 而且还将得到环保部门的一次性奖励 120 万元 1 求前 6 个月的累计生产净收入 g 6 的值 2 问经过多少个月 投资开始见效 即投资改造后的纯收入多于不改造的纯收入 23 已知 瓠 洠 1 当 x 0 时 证明 f x g x 2 已知点 P x xf x 点 Q sinx cosx 若 O 为坐标原点 设函数 t 当 瓠 t时 试判断 h x 的零点个数 2019 2020 学年山东省临沂市高三 上 期中数学试卷学年山东省临沂市高三 上 期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 单项选择题 本题共一 单项选择题 本题共 10 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 A 2 3a B a b A B 则 A B A 瓠 B 瓠 C D 解答 解 t t 瓠 t 瓠 t 瓠 故选 A 2 函数 洠 瓠 的定义域为 A 瓠 tB 瓠 t C 瓠 瓠 D 瓠 瓠 t 解答 解 要使函数有意义 则 瓠 得 瓠 瓠 得瓠 x 2 即函数的定义域为 瓠 2 故选 B 3 设函数 f x 洠t 瓠 则 f 3 f log23 A 9B 11C 13D 15 解答 解 函数 f x 洠t 瓠 f 3 f log23 log24 洠t 2 9 11 故选 B 4 已知 a b c 满足 a b c 且 ac 0 那么下列选项中不一定成立的是 A ab acB a b c 0C a2c b2cD ac a c 0 解答 解 由 a b c 且 ac 0 知 a 0 c 0 取 a 1 b 2 c 3 则 a2c b2c 此时 C 不成立 故选 C 5 已知向量 满足 且 瓠 2 则向量 与 的夹角的余弦值为 A B C D 解答 解 瓠 瓠 瓠 瓠 t 故选 B 6 二十四节气是中国古代的一种指导农事的补充历法 是我国劳动人民长期经验的积累成 果和智慧的结晶 被誉为 中国的第五大发明 由于二十四节气对古时候农事的进行起着 非常重要的指导作用 所以劳动人民编写了很多记忆节气的歌谣 春雨惊春清谷天 夏满芒 夏暑相连 秋处露秋寒霜降 冬雪雪冬小大寒 易经 里对二十四节气的晷影长的记录中 冬至和夏至的晷影长是实测得到的 其他节气的晷影是按照等差数列的规律计算出来的 在 下表中 冬至的晷影最长为 130 0 寸 夏至的晷影最短为 14 8 寸 那么 易经 中所记录的 清明的晷影长应为 节气冬至小寒 大 雪 大寒 小 雪 立春 立 冬 雨水 霜 降 惊蛰 寒 露 春分 秋 分 清明 白 露 谷雨 处 暑 立夏 立 秋 小满 大 暑 芒种 小 暑 夏至 晷影 长度 130 0 14 8 A 77 2 寸B 72 4 寸C 67 3 寸D 62 8 寸 解答 解 设 a1 130 0 a13 14 8 公差 d 瓠 瓠9 6 a8 a1 7d 130 0 7 9 6 62 8 故清明的晷影长为 62 8 寸 故选 D 7 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a1 a3 3 a2 a4 6 则 S8 A 45B 81C 117D 153 解答 解 设等比数列 an 的公比为 q a1 a3 3 a2 a4 6 q 2 a1 1 q2 3 解得 a1 则 S8 瓠 瓠 153 故选 D 8 函数 f x Asin x 其中 的图象如图所示 为了得到 g x Asin x 的图象 只需将 f x 图象 A 向右平移 个单位长度 B 向左平移 个单位长度 C 向右平移 个单位长度 D 向左平移 个单位长度 解答 解 根据函数 f x Asin x 其中 的图象 可得 A 1 瓠 3 再根据五点法作图可得 3 求得 函数 f x sin 3x 为了得到 g x sin3x 的图象 只需将 f x 图象向右平移 个单位 故选 C 9 函数 瓠 瓠 f x 是 f x 的导函数 则 f x 的图象大致是 A B C D 解答 解 f x cosx f x x sinx f x 为奇函数 图象关于原点对称 排除 B D 令 f x 瓠cosx 0 可得 x 2k 当 x 时 f x 取得极小值 f 瓠 0 排除 C 故选 A 10 已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 6 f x y f x 3 为偶函数 若 f x 在 0 3 内单调递减 则下面结论正确的是 A 洠 B 洠 C 洠 D 洠 解答 解 f x 6 f x f x 的周期为 6 又 y f x 3 为偶函数 f x 3 f x 3 f 10 f 4 6 f 4 f 1 3 f 1 3 f 2 又 1 2 0 ln2 1 0 ln2 1 2 且 f x 在 0 3 内单调递减 f 2 f f ln2 即 f 10 f f ln2 故选 A 二 多项选择题 本大题共二 多项选择题 本大题共 3 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 12 分 在每小题给出的四个选项中分 在每小题给出的四个选项中 有多项符合题目要求的 全部选对的得有多项符合题目要求的 全部选对的得 4 分 选对但不全的得分 选对但不全的得 2 分 有选错的得分 有选错的得 0 分 分 11 下列命题中 是真命题的是 A 已知非零向量 若 瓠 则 B 若 p x 0 x 1 lnx 则 p x0 0 x0 1 lnx0 C 在 ABC 中 sinA cosA sinB cosB 是 A B 的充要条件 D 若定义在 R 上的函数 y f x 是奇函数 则 y f f x 也是奇函数 解答 解 A 中 瓠 两边平方得 2 2 2 2 2 2 0 所以 A 正确 B 是写全称命题的否定 条件中将 符合改成 符合 结论否定即可 所以 B 正确 C 中 ABC 中 sinA cosA sinB cosB sin A sin B A B 或 A B A B 或 A B 所以 C 不正确 D 中 因为 y f x 在 R 上是奇函数 即 f x f x f f x f f x f f x 所以 y f f x 也是奇函数 所以 D 正确 故选 ABD 12 设 f x 是定义在 R 上的函数 若存在两个不相等的实数 x1 x2 使得 则称函数 f x 具有性质 P 那么下列函数中 具有性质 P 的函数为 f x log2x f x x3 x f x 2 x A B C D 解答 解 中如果 x1 x2 取 x1 x2 0 且都不为 0 时 f f 0 0 而 0 成立 由图可知 成立 f x 为奇函数 显然成立 由图可知 不成立 故选 ABC 13 设函数 瓠 已知 f x 在 0 有且仅有 3 个零点 对于下列 4 个说法正确的是 A 在 0 上存在 x1 x2 满足 f x1 f x2 2 B f x 在 0 有且仅有 1 个最大值点 C f x 在 单调递增 D 的取值范围是 解答 解 画出大致图象如下图 当 x 0 时 y sin 瓠 瓠 而 0 所以 x 0 时小区间递增 函数在 0 仅有 3 个零点时 则 的位置在 C D 之间 包括 C 不包括 D 令 f x sin x瓠 0 则 x瓠 k 得 x k k z y 轴右侧第一个点横坐标为 周期 T 所以 T T 所以 D 正确 在 0 区间上 函数达到最大值和最小值 所以存在 x1 x2 满足 f x1 f x2 2 所以 A 正确 由大致图象得 可能有两个最大值 B 不一定正确 因为 最小值为 所以 0 时 瓠 x瓠 瓠 所以 x 0 函数 f x 不单调递增 所以 C 不正确 故选 AD 三 填空题 本大题共三 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 16 分 分 14 若 tan 2 则 t 瓠 解答 解 tan 2 t 瓠sin2 2sin cos 瓠 t t 瓠 t t 瓠 瓠 故答案为 瓠 15 若函数 f x x3 ax2 3x 1 在区间 上单调递减 则实数 a 的取值范围为 解答 解 函数 f x x3 ax2 3x 1 在区间 上单调递减 f x 3x2 2ax 3 在区间 上恒小于等于 0 f 0 且 f 1 0 a 且 a 3 a 故答案为 a 16 ABC 中 D 为 AC 上的一点 满足 若 P 为 BD 上的一点 满足 t t 则 mn 的最大值为 的最小值为 16 解答 解 因为 所以 所以 t t m t 4n 因为 B P D 三点共线 所以 m 4n 1 则 4mn 则 mn 即 mn 最大值为 当且仅当 m 4n 时取等 m 4n 2 8 16 当且仅当 m 4n 时取等 故答案为 16 17 设 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 a b c 依次成等比数列 且 cos A C cosB 则 sinC 解答 解 cos A C cosB cos A C cos A C 得 cosAcosC a b c 成等比数列 b2 ac sin2B sinAsinC 则 cosAcosC sinAsinC 瓠sin2B cosB 瓠 t 即 t t t t瓠 解得 cosB B 则 sinB t 又 cosAcosC cosAcosC sinAsinC 1 即 cos A C 1 瓠 A C A C 0 则 A C sinC 故答案为 四 解答题 本大题共四 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 82 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 a3 6 S4 20 1 求 an 2 若 a1 ak Sk 2成等比数列 求正整数 k 的值 解答 解 1 设公差为 d 则 a3 a1 2d 6 解得 a1 2 d 2 所以 an 2 n 1 2 2n 2 因为 又 a1 ak Sk 2成等比数列 所以 2 k 2 k 3 2k 2 化简得 k2 5k 6 0 解得 k 6 或 k 1 又 k N k 6 19 设函数 t 的图象关于直线 x 对称 其中 为常数 且 1 求函数 f x 的解析式 2 若 f 1 0 求 的值 解答 解 1 t 瓠 t 瓠 图象关于直线 x 对称 瓠 又 令 k 1 得 符合要求 函数 f x 2sin 瓠 1 2 瓠 瓠 瓠 即 k Z 0 当 k 0 时 当 k 1 时 或 20 已知函数 洠 1 若曲线 f x 在点 1 f 1 处的切线与 y 轴垂直 求 a 的值 2 若在区间 0 e 上至少存在一点 x0 使得 f x0 0 成立 求 a 的取值范围 解答 解 1 洠 瓠 瓠 曲线 f x 在点 1 f 1 处的切线与 y 轴垂直 f 1 0 f 1 a 1 0 a 1 2 瓠 且 令 得 若在区间 0 e 上存在 x0 使得 f x0 0 即 f x 在区间 0 e 上的最小值小于 0 当 即 a 0 时 f x 0 在 0 上恒成立 f x 在区间 0 e 上的最小值为 由 得 瓠 当 时 即 此时 当 时 当 时 f x 在区间 t上的最小值为 洠 由 洠 瓠 洠 得 a e 当 即 此时当 x 0 e 上时 f x 0 恒成立 f x 在 0 e 上的最小值为 显然 不成立 综上可知 所求 a 的取值范围为 瓠 或 21 如图 在平面四边形 ABCD 中 ABC BAC DAC CD 2AB 4 1 若 AC 求 ABC 的面积 2 若 ADC 求 AC 解答 解 1 t AB 2 由余弦定理可得 AC2 AB2 BC2 2AB BCcos ABC t t t 瓠 t 或 t 瓠 舍 t t t t 2 设 BAC CAD 则 t 瓠 在 ABC 中 t t t 即 瓠 瓠 在 ACD 中 即 由 瓠 解得 2sin cos 又 22 某化工厂从今年一月起 若不改善生产环境 按生产现状 每月收入为 80 万元 同时 将受到环保部门的处罚 第一个月罚 4 万元 以后每月增加 2 万元 如果从今年一月起 投资 500 万元添加回收净化设备 改造设备时间不计 一方面可以改善环境 另一方面 可以大大降低原料成本 据测算 添加回收净化设备并投产后的前 4 个月中的累计生产 净收入 g n 是生产时间 n 个月的二次函数 g n n2 kn k 是常数 且前 3 个月的 累计生产净收入可达 309 万元 从第 5 个月开始 每个月的生产净收入都与第 4 个月相 同 同时 该厂不但不受处罚 而且还将得到环保部门的一次性奖励 120 万元 1 求前 6 个月的累计生产净收入