山东模拟参考答案山东.pdf

1 按秘密级事项管理 启用前 按秘密级事项管理 启用前 2020 年普通高等学校招生考试全国统一考试 模拟卷 2020 年普通高等学校招生考试全国统一考试 模拟卷 数 学 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2 回答选择题时 选出每个小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 2 回答选择题时 选出每个小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡 上 写在本试卷上无效 上 写在本试卷上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 单项选择题 本题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 设集合 2 Ax yxy 2 Bx yyx 则AB A 1 1 B 2 4 C 1 1 2 4 D 1 C 解析 首先注意到集合A与集合B均为点集 联立 2 2xy yx 解得 1 1 x y 或 2 4 x y 从而集合AB 1 1 2 4 选 C 2 已知i ab a b R是1 i 1i 的共轭复数 则ab A 1 B 1 2 C 1 2 D 1 2 D 解析 由1 i 1 i 1 i i 1i 1 i 1 i 从而知iiab 由复数相等 得0a 1b 从而1 ab 选 D 3 设向量 1 1 a 1 3 b 2 1 c 且 abc 则 A 3 B 2 C 2 D 3 3 A 解 析 由 题 得 1 1 3 ab 由 abc 从 而 2 1 1 1 3 0 解得3 选 A 2 4 10 1 x x 的展开式中 4 x的系数是 A 210 B 120 C 120 D 210 4 B 解析 由二项展开式 知其通项为 10210 11010 1 1 rrrrrr r TCxC x x 令 2104r 解得7r 所以 4 x的系数为 77 10 1 120 C 选 B 5 已知三棱锥SABC 中 4 2 13 2 6 2 SABABCSBSCABBC 则三棱锥SABC 的体积是 A 4 B 6 C 4 3 D 6 3 5 C 解析 由4SB 2AB 且 2 SAB 得2 3SC 又由2AB 6BC 且 2 ABC 得10AC 因为 222 SAACSC 从而知 2 SAC 即 SAAC 所 以SA 平 面ABC 又 由 于 1 2 66 2 ABC S 从 而 11 6 2 34 3 33 SABCABC VSSA 选 C 6 已知点A为曲线 4 0 yxx x 上的动点 B为圆 22 2 1xy 上的动点 则 AB的最小值是 A 3 B 4 C 3 2 D 4 2 6 A 解析 方法一 设 4 A x x x 并设点A到圆 22 2 1xy 的圆心C距离的平 方为 g x 则 222 2 416 2 2412g xxxxx xx 0 x 求导 得 43 33 88 4 1 4 xx g xx xx 令 0g x 得2 x 由02x 时 0g x g x单调递闰 当2x 时 0g x g x单调递增 从 而 g x在2x 时 取 得 最 小 值 为 2 16g 从 而 点A到 圆 心C的 最 小 值 为 2 164g 所以 AB的最小值为4 13 选 A 3 方法二 由对勾函数的性质 可知 4 4yx x 当且仅当2x 时取等号 结合图象 可知当A点运动到 2 4 时能使点A到圆心的距离最小 最小为 4 从而 AB的最小 值为 4 1 3 7 设命题P 所有正方形都是平行四边形 则p 为 A 所有正方形都不是平行四边形 B 有的平行四边形不是正方形 C 有的正方形不是平行四边形 D 不是正方形的四边形不是平行四边形 7 C 解析 所以 改为 存在 或 有的 都是 改不 不都是 或 不是 从而得 答案为 C 8 若1abc 且 2 acb 则 A logloglog abc bca B logloglog cba bac C logloglog bac cba D logloglog bca abc 8 B 解析 方法一 取5a 4b 3c 代入验证知选项 B 正确 方法二 对选项 A 由abc 从而loglog1 aa ba loglog1 bb cb loglog1 cc ac 从 而选项 A 错误 对选项 B 首先loglog1 cc bc loglog1 bb ab loglog1 aa ca 从而知 logac最小 下只需比较logcb与logba的大小即可 采用差值比较法 22 2 lglg lg lglg lg lglg 2 loglog lglglglglglg cb ac b babac ba cbcbcb 2 22 lg lg 2 0 lglg b b cb 从而loglogb cb a 选项 B 正确 对于选项C 由loglog1 aa ba loglog1 cc ac 知 C 错误 对于选项 D 由选项 B 可知loglogb cb a 从而选项 D 错误 二 多项选择题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 在每小题给出的四个选项中 4 有多项符合题目要求 全部选对的得 5 分 部分选对的得 3 分 有选错的得 0 分 9 下图为某地区 2006 年 2018 年地方财政预算内收入 城乡居民储蓄年末余额折线图 根据该折线图可知 该地区 2006 年 2018 年 A 财政预算内收入 城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势 B 财政预算内收入 城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同 C 财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量 D 城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大 9 AD 解析 由图可以看出两条曲线均在上升 从而选项 A 正确 图中两曲线间隔越 来越大 说明年增长速度不同 差额逐年增大 故选项 B 错误 选项 D 正确 又从图 中可以看出财政预算内收入年平均增长应该小于城乡储蓄年末余额年平均增长量 所以 选项 C 错误 从而选 AD 10 已知双曲线C过点 3 2 且渐近线为 3 3 yx 则下列结论正确的是 A C的方程为 2 2 1 3 x y B C的离心率为3 C 曲线 2 1 x ye 经过C的一个焦点 D 直线210 xy 与C有两个公共点 10 AC 解析 对于选项 A 方法一 设所求双曲线方程为 22 22 1 xy ab 由所给条件知 3 3 b a 又双曲线C过 点 3 2 从而 22 92 1 ab 解得3a 1b 2c 所以选项 A 正确 5 方 法二 由 已知 3 3 yx 可 得 22 1 3 yx 从而 设 所求双曲 线 方程为 22 1 3 xy 又由双曲线C过点 3 2 从而 22 1 3 2 3 即1 从而 选项 A 正确 对 于 选 项 B 由 双 曲 线 方 程 可 知3a 1b 2c 从 而 离 心 率 为 22 3 33 c e a 所以 B 选项错误 对于选项 C 双曲线的右焦点坐标为 2 0 满足 2 1 x ye 从而选项 C 正确 对 于 选 项D 联 立 2 2 210 1 3 xy x y 整 理 得 2 2 220yy 由 2 2 2 4 20 且直线斜率大于渐近线斜率 知直线与双曲线 C 只有一个交 点 选项 D 错误 11 正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 1 E F G分别为BC 1 CC 1 BB的中点 则 A 直线 1 D D与直线AF垂直 B 直线 1 AG与平面AEF平行 C 平面AEF截正方体所得的截面面积为 9 8 D 点C与点G到平面AEF的距离相等 11 BC 解析 对选项 A 方法一 以D点为坐标原点 DA DC 1 DD所在的直 线分别为x y z轴 建立空间直角坐标系 则 0 0 0 D 1 0 0 A 1 1 0 1 A 1 1 0 2 E 1 0 1 2 F 1 1 1 2 G从 而 1 0 0 1 DD 1 1 1 2 AF 从 而 1 1 0 2 DDAF 所以 1 D D与直线AF不垂直 选项 A 错误 方法二 取 1 DD的中点N 连接AN 则AN为直线AF在平面 11 ADD A内的射影 AN与 1 DD不垂直 从而AF与 1 DD也不垂直 选项 A 错误 6 取 11 BC的中点为M 连接 1 AM GM 则 1 AM AE GM EF 所以平面 1 AMG 平面AEF 从而 1 AG 平面 AEF 选项 B 正确 对于选项 C 连接 1 AD 1 D F 易知四边形 1 AEFD为平面AEF截正方体所得的截面 四 边 形 如 图 所 示 且 1 5D HAH 1 2AD 所以 1 22 123 2 5 222 AD H S 而 1 1 39 48 AD HAEFD SS 四边形 从而选项 C 正确 对于选项 D 方法一 由于 1111111 1 2222224 GEFEBGBEFG SSS 梯形 而 1111 2228 ECF S 而 1 3 A GEFEFG VSAB 1 3 A ECFECF VSAB 所以2 A GEFA ECF VV 即2 G AEFC AEF VV 点G到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离的二倍 从而 D 错误 方法二 假设点C与点G到平面AEF的距离相等 即平面AEF将CG平分 则平 面AEF必过CG的中点 连接CG交EF于点O 易知O不是CG的中点 故假设不 成立 从而选项 D 错误 12 函数 f x的定义域为R 且 1 f x 与 2 f x 都为奇函数 则 A f x为奇函数 B f x为周期函数 C 3 f x 为奇函数 D 4 f x 为偶函数 12 ABC 解析 由 1 f x 与 2 f x 都为奇函数知函数 f x的图象关于点 1 0 2 0 对称 所以 2 0f xfx 4 0f xfx 所以 2 4 fxfx 所以 f x是以2为周期的函数 M H 7 所以 f x 3 f x 均为奇函数 从而选 ABC 三 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 某元宵灯谜竞猜节目 有 6 名守擂选手和 6 名复活选手 从复活选手中挑选 1 名选手 作为攻擂者 从守擂选手中挑选 1 名选手作为守擂者 则攻擂者 守擂者的不同构成方式共 有 种 13 36 解析 从 6 名守擂选手中选 1 名 选法有 1 6 6C 种 复活选手中挑选 1 名选手 选 法有 1 6 C种 由分步乘法计数原理 不同的构成方式共有6 636 种 14 已知 4 3 cos sin 65 则 11 sin 6 14 4 5 解析 由 33114 3 cos sincossin3sin 62265 从而 114 sin 65 15 直线l过抛物线 2 2 0 C ypx p 的焦点 1 0 F 且与C交于A B两点 则 p 11 AFBF 本题第一空 2 分 第二空 3 分 15 2 1 解析 由题意知1 2 p 从而2p 所以抛物线方程为 2 4 yx 方法一 方法一 将1x 代 入 解得 2AFBF 从而 11 AFBF 1 方法二 方法二 设AB的方程为 1 yk x 联立 2 1 4 yk x yx 整理 得 2222 24 0k xkxk 设 11 A x y 22 B xy 则 2 12 2 12 24 1 k xx k x x 从而 1212 12121212 221111 1 1112 xxxx AFBFxxxxx xxx 方法三 方法三 利用书中结论 112 AFBFp 即可结果 8 16 半径为 2 的球面上有A B C D四点 且AB AC AD两两垂直 则ABC ACD 与ADB 面积之和的最大值为 16 8 解析 如图所示 将四面体ABCD 置于一 个长方体模型中 则该长方体外接球的半径为 2 不 妨 设ACx ADy ABz 则 有 222 2 2 xyz 即 222 16 xyz 记 111 222 ABCACDADB SSSSyzxyzx 从而有 222222 2 4 0 xyzSxyyzzx 即432S 从而8 S 当且仅当xyz 即该长方体为正方体时等号成立 从而最大值为 8 四 解答题 本题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 10 分 17 10 分 在 132 bba 44 ab 5 25S 这三个条件中任选一个 补充在下面问题中 若问题中的k存在 求k的值 若k不存在 请说明理由 设等差数列 n a的前n项和为 n S n b是等比数列 152 3ba b 5 81b 是否存在k 使得 1kk SS 且 12kk SS 注 如果选择多个条件分别解答 按第一个解答计分 注 如果选择多个条件分别解答 按第一个解答计分 17 解析 因为在等比数列 n b中 2 3b 5 81b 所以其公比3q 从而 22 2 3 3 3 nn n bb 从而 51 1 ab 若存在k 使得 1kk SS 即 1kkk SSa 从而 1 0 k a 同理 若使 12kk SS 即 112kkk SSa 从而 2 0 k a 方法一 方法一 若选 由 132 bba 得 2 1 910a 所以316 n an 当4k 时 满足 5 0a 且 6 0a 成立 若选 由 44 27ab 且 5 1a 所以数列 n a为递减数列 故不存在 1 0 k a 且 2 0 k a A B C D 9 若选 由 15 53 5 255 2 aa Sa 解得 3 5a 从而211 n an 所以当4n 时 能使 5 0a 6 0a 成立 方法二 方法二 若选 由 132 bba 得 2 1 910a 所以公差 52 3 3 aa d 12 13aad 从而 2 1 1 1 13 329 22 n n n Sadnn 1 12 329 3 1 29 1 22 3 1 29 1 3 2 29 2 22 kk kk kkkk kk S kk S SS 解得10 13 33 k 又 k N 从而4k 满足题意 若选 与若选 仿上可解决 略 18 12 分 分 在ABC 中 90A 点D在BC边上 在平面ABC内 过D作DFBC 且 DFAC 1 若D为BC的中点 且CDF 的面积等于ABC 的面积 求ABC 2 若45ABC 且3BDCD 求cosCFB 18 解析 1 如图所示 D为BC的中点 所以 BDCD 又因 ABCCDF SS 即 1 2 ABAC 1 2 CDDF 1 4 BCAC 从而2BCAB 又90A 从 而30ACB 所以 903060 ABC 2 由45ABC 从 而ABAC 设 ABAC k 则2BCk 由3BDCD 所以 33 2 44 BDBCk 2 4 CDk 因为DFACk 从而 22 34 4 BFDFBDk 22 3 2 4 CFDFCDk A B D C F 10 方法一 从而由余弦定理 得 222 222 917 2 5 17 88 cos 251334 22 44 kkk CFBFBC FCB CFBF kk 方法二 所以 2 cos34 17 DF DFB BF 从而 3 17 cos 17 BD DFB BF 2 cos2 3 DF DFC CF 从而 1 sin 3 CD DFC CF 所以 5 17 coscos 51 CFBCFDDFB 19 12 分 19 12 分 如图 四棱锥SABCD 中 底面ABCD为矩形 SA 平 面ABCD E F分别为AD SC的中点 EF与平面ABCD 所成的角为45 1 证明 EF为异面直线AD与SC的公垂线 2 若 1 2 EFBC 求二面角BSCD 的余弦值 19 解析 1 连接AC BD交于点G 连接EG FG 因为四边形ABCD为矩形 且E F分别是AD SC的中点 所以EG CD 且 FG SA 又SA 平 面ABCD 所 以GF 平 面ABCD 所 以 GFAD 又ADGE GEGFG 所以AD 平面 GEF 所以 ADEF 因为EF与平面ABCD所成的角为45 所以45FEG 从而 GEGF 所以 SAAB 取SB的中点H 连接AH FH 则由F H分别为SC SB的中点 从而 FH 1 2 BC AE 从而四边形AEFH为平行四边形 又由SAAB 知AHSB 又BC 平面SAB 所以AHBC 又SBBCB 从而AH 平面 SBC 从而EF 平面SBC SC 平面SBC 从而 EFSC 综上知EF为异面直线AD与SC的公垂线 H G H 11 2 因为 1 2 EFBC 设1BC 则1EF 从而 2 2 GEGF 所以2SAAB 以A为坐标原点 AB AD AS所在直线分别为x y z轴 建立空间直角坐标系 则 2 0 0 B 0 2 0 D 0 2 0 S 2 2 0 C 从而 2 2 2 SC 0 2 0 BC 设平面BCS的一个法向量为 1111 x y z n 则 1 1 0 0 SC BC n n 令 1 1z 从而得 1 1 0 1 n 同理 可求得平面SCD的一个法向量为 2 0 1 2 n 设二面角BSCD 的平面角为 从而 12 12 23 cos 323 n n nn 20 12 分 20 12 分 下面给出了根据我国 2012 年 2018 年水果人均占有量y 单位 kg 和年份代码x绘 制的散点图和线性回归方程的残差图 2012 年 2018 年的年份代码x分别为17 1 根据散点图分析y与x之间的相关关系 2 根据散点图相应数据计算得 7 1 1074 i i y 7 1 4517 ii i x y 求y关于x的线性回归 方程 3 根据线性回归方程的残差图 分析线性回归方程的拟合效果 精确到0 01 12 附 回归方程 yabx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx a ybx 20 解析 1 由散点图可以看出 当x由小变大量 y也由小变大 从而y与x之间是 正相关关系 2 由题中数据可得 1 1234567 4 7 x 1 1074153 43 7 y 从而 7 1 722222222 22 1 1 7 451771074 4 221 7 7 89 12345677428 7 ii i i i x yx y b xx 153 437 89 4121 87ayb x 从而所求y关于x的线性回归方程为 7 89121 87 yx 3 由残差图可以看出 残差对应的点均匀地落在水平带状区域内 且宽度较窄 说明拟 合效果较好 21 12 分 21 12 分 设中心在原点 焦点在x轴上的椭圆E过点 3 1 2 且离心率为 3 2 F为E的右焦点 P为E上一点 PFx 轴 F 的半径为PF 1 求E和F 的方程 2 若直线 3 0 l yk xk 与F 交于A B两点 与E交于C D两点 其 中A C在第一象限 是否存在k使 ACBD 若存在 求l的方程 若不存在 请说 明理由 21 解 析 1 设 椭 圆E的 方 程 为 22 22 1 xy ab 由 3 2 e 从 而 得 222 2 22 3 1 4 abb e aa 从而 2 2 1 4 b a 即 22 4ab 13 又椭圆过点 3 1 2 从而得 22 13 1 4ab 解得 2 4a 2 1b 从而所求椭圆E的方程为 2 2 1 4 x y 所以 3 0 F 令3x 得 1 2 PFr 所以F 的方程为 22 1 3 4 xy 2 不存在 理由如下 若 ACBD 则1 ABACCBDBCBDC 联立 2 2 3 1 4 yk x x y 整理 得 2222 41 8 31240 kxk xk 设 11 C x y 22 D xy 则 2 12 2 2 12 2 8 3 41 124 41 k xx k k x x k 14 从而 222 121212 1 1 4CDkxxkxxx x 2 222 2 222 8 312444 14 414141 kkk k kkk 由 1DC 从而 22 4441kk 从而41 矛盾 从而满足题设条件的直线l不存在 21 12 分 21 12 分 函数 0 1 ax f xx x 曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线在y轴上的截距为11 2 1 求a 2 讨论 2 g xx f x 的单调性 3 设 11 1 nn aaf a 证明 2 22lnln71 x n a 22 解析 1 由题意知切点坐标为 1 1 2 a 对 f x求导 得 2 1 1 a fx x 从而 1 1 4 a f 所以切线方程为 11 1 24 aa yx 令0 x 得11 11 224 aa 解得7a 2 由 1 知 7 1 x f x x 从而 2 7 1 x g xx x 对 g x求导 得 2 2 7 47 0 1 xxx g x x 从而可知 g x在 0 上单调递增 3 方法一 欲证 2 22lnln71 x n a 即证 1 2 lnln7 1 n n a 只需证 1 1 ln 27 n n a 不妨设 7 n n a b 由此可得 1 7 71 n n n b b b 因此 欲证 1 1 ln 27 n n a 只需证 1 1 ln 2 nn bb 由于不动点为 1 下面研究 n b与不动点的大小关系 15 1 7 17 1 11 7171 nn n nn bb b bb 即 1 1 n b 与1 n b 是异号的 由于 1 1 1 7 b 由此 得 21 1 n b 2 1 n b 当n为奇数时 1 1 ln ln 2 nn bb 此时1 n b 1 1 n b 故只需证 1 1 n n b b 即证 1 1 n n b b 即证 1 71 71 n n nn b b bb 当n为偶数时 欲证 1 1 ln ln 2 nn bb 此时1 n b 1 1 n b 故只需证 1 1 n n b b 即证 1 71 71 n n nn b b bb 那么等价于证明不等式 71 71 x xx 1x 与 71 71 x xx 01x 成立 构造函数 771g xx xxx 则 1 0g 37 3 777770 227 g xx x 则 g x单调递增 由此可得 1 1 ln ln 2 nn bb 因此 2 1 1111 1111 ln ln ln7lne 2222 n nnnn bb 故不等式得证 方法二 方法二 令 7 1 x f