VAR模型与协整.doc

VAR模型与协整1. VAR（向量自回归）模型定义2. VAR模型的特点3. VAR模型稳定的条件4. VAR模型滞后期的选择5. 脉冲响应函数和方差分解6. 格兰杰（Granger）非因果性检验7. VAR模型与协整 8. VAR模型中协整向量的估计与检验9. 案例分析1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础。在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。1. VAR（向量自回归）模型定义以两个变量y1t，y2t滞后1期的VAR模型为例， y1, t = c1 + p11.1 y1, t-1 + p12.1 y2, t-1 + u1t y2, t = c2 + p21.1 y1, t-1 + p22.1 y2, t-1 + u2t 其中u1 t, u2 t IID (0, s 2), Cov(u1 t, u2 t) = 0。写成矩阵形式是， =+ 设Yt =, c =, P1 =, ut =,则， Yt = c + P1 Yt-1 + ut (1.3)含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下：Yt = c + P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + + Pk Yt-k + ut, ut IID (0, W)其中，Yt = (y1, t y2, t yN, t)， c = (c1 c2 cN) Pj =, j = 1, 2, , k ut = (u1 t u2,t uN t),不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。因VAR模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与ut是渐近不相关的，所以可以用OLS法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。2. VAR模型的特点（1）不以严格的经济理论为依据。（2）VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量。（3）VAR模型对参数不施加零约束。（4）VAR模型有相当多的参数需要估计。（5）VAR模型预测方便、准确（附图）。（6）可做格兰杰检验、脉冲响应分析、方差分析。（7）西姆斯（Sims）认为VAR模型中的全部变量都是内生变量。近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入VAR模型。 附：图1 油价与静态拟合值 3. VAR模型稳定的条件对于VAR(1)，Yt = c + P1 Yt-1 + ut模型稳定的条件是特征方程 |P1-l I |=0的根都在单位圆以内，或相反的自回归系数多项式特征方程|IP1L|= 0的根都要在单位圆以外。对于k1的VAR(k)模型可以通过矩阵变换改写成分块矩阵的VAR(1)模型形式。Yt = C + A Yt -1 + Ut模型稳定的条件是特征方程 |A-lI| =0的根都在单位圆以内，或其相反的特征方程 |I-AL|=0的全部根都在单位圆以外。附：矩阵变换。给出k阶VAR模型，Yt = c + P1 Yt-1 + P2 Yt-2 + + Pk Yt-k + ut 再配上如下等式， Yt -1 = Yt -1 Yt -2 = Yt -2 Yt-k+1 = Yt-k+1把以上k个等式写成分块矩阵形式，=+ 其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。上式可写为Yt = C + A Yt -1 + Ut 附：VAR模型的特征根4. VAR模型滞后期的选择1 用F统计量选择k值。2 用LR统计量选择k值。LR（似然比）统计量定义为， LR = - 2 (log L(k) - log L(k+1) ) 3 用赤池（Akaike）信息准则 (AIC) 选择k值。AIC = -2+ 4用施瓦茨（Schwartz）准则 (SC) 选择k值。SC =-2+5用Hannan-Quinn信息准则选择k值。附：选择k值评价结果是建立VAR(2)模型。5. VAR模型的脉冲响应函数和方差分解(1)脉冲响应函数:对于任何一个VAR模型都可以表示成为一个无限阶的VMA()过程。Yt+s = Ut+s + Y1Ut+s -1 + Y2 Ut+s -2 + + Ys Ut + Y s = Y s中第i行第j列元素表示的是，令其它误差项在任何时期都不变的条件下，当第j个变量yj t对应的误差项uj t在t期受到一个单位的冲击后，对第i个内生变量yit在t + s期造成的影响。 把Y s中第i行第j列元素看作是滞后期s的函数, s = 1, 2, 3, 称作脉冲响应函数（impulse-response function），脉冲响应函数描述了其它变量在t期以及以前各期保持不变的前提下，yi, t+s对 uj, t时一次冲击的响应过程。由于当其他变量不变时，因此脉冲响应函数描述了其它变量在t期以及以前各期保持不变的前提下，yi, t+s 对yj, t的一个暂时变化的反应。正交化的脉冲响应函数(2)方差分解MSE() = E(Yt+s -) (Yt+s -)= W + Y1WY1 + Y2WY2 + +Y s-1WY s-1 （5）其中W = E(ut ut )。 下面考察每一个正交化误差项对MSE()的贡献。把ut变换为正交化误差项vt。ut = M vt = m1v1t + m2v2t + mN vN tW = E(ut ut ) = (m1v1t + m2v2t + mN vN t) ( m1v1t + m2v2t + mN vN t) = m1 m1Var(v1t)+ m2 m2Var(v2t) + mN mNVar(vNt) 把用上式表达的W代入(5) 式，并合并同期项，MSE() =则表示正交化的第j个新息对前s期预测量方差的贡献百分比。附：脉冲响应函数 图1 油价对3个误差项的响应 图2 油产量对3个误差项的响应 图3 油储量对3个误差项的响应附：方差分解图4 油价的方差分解 图5 油产量的方差分解 图6 油储量的方差分解6. 格兰杰（Granger）非因果性检验格兰杰非因果性：如果由yt和xt滞后值所决定的yt的条件分布与仅由yt滞后值所决定的条件分布相同，即 ( yt | yt -1, , xt -1, ) = ( yt | yt -1, )则称xt -1对yt存在格兰杰非因果性。 格兰杰非因果性的另一种表述是其它条件不变，若加上xt的滞后变量后对yt的预测精度不存在显着性改善，则称xt -1对yt存在格兰杰非因果性关系。为简便，通常总是把xt-1 对yt存在非因果关系表述为xt（去掉下标-1）对yt存在非因果关系（严格讲，这种表述是不正确的）。检验式（VAR模型方程之一）是 H0: b1 = b2 = = bk = 0。检验可用F统计量完成。 F( k, T - k N )注意：滞后期k的选取是任意的。（1）以xt和yt为例，如果xt-1对yt存在显著性影响，则不必再做滞后期更长的检验。（2）如果xt-1对yt不存在显著性影响，则应该再做滞后期更长的检验。且结论相同时，才可以最终下结论。附：格兰杰非因果性检验结果7. VAR模型与协整如果VAR模型 Yt = P1 Yt-1 + P2 Yt-1 + + Pk Yt-k + ut, ut IID (0, W) 的内生变量都含有单位根，那么可以用这些变量的一阶差分序列建立一个平稳的VAR模型。DYt = P1* DYt-1 + P2* DYt-2 + + Pk* DYt-k + ut* （新）然而，当这些变量存在协整关系时，采用差分的方法构造VAR模型虽然是平稳的，但不是最好的选择。向量误差修正模型（VEC）的表达式是DYt = (P1 +P2 +Pk - I ) Yt -1- (P2 +P3 +Pk) DYt-1- (P3 +Pk) DYt-2 - Pk DYt - (k-1) +ut令 Gj = -, j = 1, 2, , k-1，P = - G0 - I =- I = P1 + P2 + + Pk I 则上式写为DYt = P Yt-1 + G1DYt-1 + G2DYt-2 + + Gk-1DYt-(k-1) + ut根据Granger定理，向量误差修正模型（VEC）的表达式是 A(L) DYt = a b Yt-1 + d (L) ut 其中A(L) 是多项式矩阵A(L)分离出因子(1- L)后降低一阶的多项式矩阵，d (L)是由滞后算子表示的多项式矩阵。 Yt有如下三种可能。1当Yt 的分量不存在协整关系，P的特征根为零，P = 0。2若rank (P) = N（满秩），保证 P Yt-k平稳的唯一一种可能是Yt I(0)。3当Yt I(1)，若保证 P Yt-k平稳，只有一种可能，即Yt 的分量存在协整关系。例：设三个变量的VAR(1)的误差修正模型如下（含两个协整关系）， = + 代数形式是 D y1, t = - (1/2) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 + (1/4) y2, t-1 - (1/4) y3 t-1 + u1 t D y2, t = (1/8) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 (5/8) y2, t-1 - (1/4) y3 t-1 + u2 t D y3, t = (1/4) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 + (3/8) y2, t-1 - (1/4) y3 t-1 + u3 t8. VAR模型中协整向量的估计与检验检验协整关系的零假设是 H0: rk(P) r 或 P = a b 统计量是： LR = - T (1- li ) , r = 0, 1, , N - 1 LR统计量在零假设 0 r 34.91r = rk(P ) 120.5073.30 19.96r = rk(P ) 210.044.082 9.24 注：LR = - T (1- li ) 。结论是该VAR模型中存在2个协整向量。因为r 1已经被拒绝，但r 2未能被拒绝，所以结论是该VAR模型中存在2个协整向量。例：输出结果说明3个变量之间存在一个协整关系。附：说明(1) 首先从检验r = 0开始。意即在VAR模型中不存在协整向量（含有N个单位根）。如果r = 0不能被拒绝（LR 临界值），则应继续进行下面的检验。(2) r 1。意即在VAR模型中存在1个协整向量（含有N-1个单位根）。如果r 1不能被拒绝（LR 临界值），检验到此终止。如果r 1被拒绝，则应进一步作如下检验。(3) r N 1。意即在VAR模型中存在N 1个协整向量（含有1个单位根）。如果r N 1不能被拒绝（LR 临界值），检验到此终止。如果r N 1被拒绝，说明r =N。在检验过程中，比如r r*-1已经被拒绝，但r r*不能被拒绝，则结论是VAR模型中存在r*个协整向量。9.案例分析：英国购买力平价和利率平价的协整性分析，Johansen-Juselius (1992) 。祥见Journal of Econometrics（计量经济学杂志）第53卷，211-244页。1购买力平价和利率平价同种商品在不同国家应该保持相同价格。否则就会存在套利问题。但是当汇率可以自由浮动时，套利问题就会消除。用Pt表示国内商品价格，Pt*表示国外同类商品价格，Et表示购买力平价，则有Et = Pt / Pt*即一个单位的外国货币相当于多少本国货币。对数形式是LnEt = Ln Pt - LnPt*3个变量的长期均衡关系是Ln Pt - LnPt* - LnEt = u1t其中ut表示非均衡误差，是一个均值为零，平稳的随机过程。在均衡点处有ut = 0。下面考虑与商品有关的资本市场条件。生产商品必然与金融资产相联系。而金融资产可以用金融债券度量。国内外对这些债券的利息率是不一样的。分别用Rt，Rt*表示。资本市场的套利行为对汇率形成压力。制定汇率必须使国内外利率差与t+1期、t期之间汇率差相等，即保证Rt - Rt* = E(t) (Et+1) - Et = u2t其中Et 表示实际汇率（货币的购买力平价）。E(t) (Et+1)表示t期对t+1期汇率的期望。u2t是非均衡误差，是一个平稳的随机过程。保持Rt，Rt*相等称为利率平价。2协整关系的预分析如果用 Yt = (LnPt LnPt* LnEt Rt Rt*)表示变量列向量，希望能存在两个协整关系。b1 = (1 -1 -1 0 0)b2 = (0 0 0 1 -1)b1表示购买力平价协整向量，b2表示利率平价协整向量。3估计协整向量个数r。 用Pt表示英国商品综合批发价格指数。Pt*表示进口商品综合批发价格指数。Et表示英国实际汇率。Rt表示三个月的金融债券利率。Rt*表示三个月的欧元利率。样本数据范围是1972:1-1987:2。通过对数据走势的分析，认为批发价格指数序列中存在线性趋势。所以在VAR模型中应该有一个非约束常数项（既进入协整空间，也进入数据空间）。2阶VAR模型估计结果显示残差序列的峰度值很高（高峰厚尾特征），为非正态分布。残差序列的方差很大主要是由于世界石油价格的变化造成的。用石油价格调整批发价格指数，再次估计2阶VAR模型。VAR模型残差序列的诊断检验结果见表1。表1 VAR模型残差的诊断检验方程内生变量标准差偏度峰度-3JB统计量序列相关检验，LM(20)1LnPt0.0070.291.274.84 (5.99)6.09 (5.99)9.59 (31.41)3LnEt0.0300.300.170.95 (5.99)13.54 (31.41)4Rt0.0110.580.253.55 (5.99)9.11 (5.99)16.41 (68.52r 1r 20.28549.42 47.21r 2r 30.