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7 2电子的自旋算符和自旋函数 一 自旋算符及其性质二 自旋算符的矩阵表示三 自旋波函数四 电子态函数的普遍形式 7 2电子的自旋算符和自旋函数 一 自旋算符及其性质 电子的轨道角动量和自旋角动量对比 自旋量子数 自旋磁量子数 为使运算更加简单方便 引入泡利算符 即 性质 1 2 满足对易关系 或 3 满足反对易关系 证明 4 证明 所以 二 自旋算符的矩阵表示 在表象中 有 设 因为它是厄米算符 所以 因此 因为 所以 又 所以 取 则 利用对易关系式 得 泡利矩阵 相应的自旋角动量矩阵表示 三 自旋波函数 本征值为 令本征值 通常称为自旋朝上 对应的本征矢为 则 利用归一化条件得 取 则 也可记为 或 同理 本征值 通常称为自旋朝下 对应的本征矢为 构成正交归一完备封闭系 正交性 或 归一性 或 封闭性 完备性 任何一个电子的自旋波函数都可表示为 如果已归一化 则 式中 在态中测得的概率 测得的概率 同理 的本征矢分别为 例1 若电子自旋指向与轴成角状态 且自旋在平面上 则泡利算符 求其本征值和本征函数 解 设它的本征方程为 所以 当时 有 所以 同理 归一化 解 即 或 或 例2 求 对的作用 四 电子态函数的普遍形式 写电子的态函数时 既要考虑其坐标 又要考虑其自旋 在表象中 电子总的态函数可以写为 若已归一化 则 式中 表示时刻自旋朝上的电子在处出现的概率密度 表示时刻自旋朝下的电子在处出现的概率密度 表示时刻自旋朝上的电子在全空间出现的概率 表示时刻自旋朝下的电子在全空间出现的概率 设是电子的另一个态函数 则 注意 在综合计算电子的态函数的归一化与内积时 分别对其自旋空间部分进行矩阵运算 对其坐标空间部分运用积分运算 便能得到完整结果 若为自旋算符的任意函数 写成矩阵形式为 1 若对自旋球平均 则它在态中的平均值
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