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高等数学 上 第四章不定积分 第一节原函数与不定积分的概念 一 原函数与不定积分的概念 定义1如果在区间I内 可导函数的导函数为 即对 都有 或 则就称为在区间I上的原函数 例如 故 问题1 原函数的存在性问题 定理1 原函数存在定理 定义在区间I上的连续函数在I上一定有原函数 即 连续函数必有原函数 问题2 原函数的惟一性问题 定理2如果函数在区间I上的原函数存在 则它的任意两个不同的原函数只相差一个常数 若为的原函数 则的所有原函数的集合为 证若和都是的原函数 为任意常数 定义2若为在区间I上的原函数 则称 为任意常数 为在I上的不定积分 记为 称为积分变量 例1求 解 例2求 解 例3设曲线通过点 1 2 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线方程 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点 1 2 故有 因而 所求曲线方程为 所以 注 的几何意义 考虑曲线 使得 则 这是一簇由一条积分曲线 沿纵轴上下平移 得到的 在横坐标相同的点处的切线是平行的 2 由不定积分的定义 可知 结论微分运算与求不定积分的运算是互逆的 例如 1 2 3 二 基本积分表 5 12 13 例4求积分 解 三 不定积分的性质 证 等式成立 此性质可推广到有限多个函数之和的情况 注 1 求积分是利用积分表和积分性质来试 要变形 技巧大 设法变形为积分表中函数的线性组合形式 以求出积分的方法称为直接积分法 2 不是所有函数都肯定能积分出来
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