1.3.2圆内接四边形的性质与判定.ppt

圆内接四边形的性质与判定定理 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4 1第二讲 二 李媛 如果多边形的所有顶点都在一个圆上 这个多边形就叫做圆内接多边形 这个圆就是多边形的外接圆 定理1定理2 探究 思考 判定定理推论 例题 小结 练习 这组图中的四边形都内接于圆 你能从中发现这些四边形的共同特征吗 一般地 我们可以从四边形的边的关系 角的关系等来考察 显然 圆内接四边形的角都是圆周角 为了考察这些圆周角的关系 我们可以借助圆周角定理 探究 A D C B O 定理1圆的内接四边形的对角互补 推论 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 E 延长线段AB到点E 观察 定理1 圆的内接四边形的对角互补 思考 经过上面的讨论 我们得到了圆内接四边形的两条性质 一个自然的想法是 它们的逆命题成立吗 假设 四边形ABCD中 B D 180O求证 A B C D在同一圆周上 简称四点共圆 分析 不在同一直线上的三点确定一个圆 经过A B C三点作圆O 如果能够由条件得到圆O过点D 那么就证明了命题 E 圆O与点D的位置关系 1 点D在圆外 2 点D在圆内 3 点D在圆上 证明 假设 1 点D在圆外设E是AD与圆周的交点 连接EC 则有 AEC B 1800又 B D 1800可得 D AEC 这与 三角形的外角大于任一不相邻的内角 矛盾 故点D不可能在圆外 定理1 圆的内接四边形的对角互补 定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 2 若点D在圆内显然 AD的延长线必与圆相交 设交点为E 连接CE 则 B E 1800 B ADC 1800 E ADC 同样产生矛盾 点D不可能在圆内综上所述 点D只能在圆周上 即A B C D四点共圆 A B C D E 定理1 圆的内接四边形的对角互补 定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 o 推论 如果四边形的一个外角等于它的内对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 注意角的位置 定理1 圆的内接四边形的对角互补 定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆推论 如果四边形的一个外角等于它的内对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 例1 如图 O1与 O2都经过A B两点 经过点A的直线CD与 O1交于点C与 O2交于点D 经过点B的直线EF与 O1交于点E与 O2交于点F 求证 CE DF 证明 连接AB 四边形ABEC是 O1的内接四边形 BAD E 又 四边形ADFB是 O2的内接四边形 BAD F 1800 E F 1800 CE DF 变式一 求证 圆内接平行四边形是矩形 法一 圆内接四边形的判定定理 法二 圆内接四边形的判定定理的推论 法三 圆周角的推论1 直径 或半圆 所对的圆周角都是直角 变式二 直线l1 2x 5y 20 0和l2 mx 2y 10 0与两坐标围成的四边形有外接圆 则求实数m值 因为圆内接四边形的对角互补 又两坐标轴互相垂直 故l1 l2 于是 解得m 5 解析 定理1 圆的内接四边形的对角互补 定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆推论 如果四边形的一个外角等于它的内对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 例2 如图 在梯形ABCD中 CD AB 过A B两点的圆分别交AD CB于E F两点 求证 D E F C四点共圆 证明 连接EF CD AB A BFE 1800 A D 1800 BFE D D EFC 1800 D E F C四点共圆 E F BFE EFC 1800 变式三 如图 BE和CF是三角形ABC的高 求证 F B C E四点共圆 反思判定四点共圆的方法 如果一个四边形的一组对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 如果四个点与一定点距离相等 那么这四个点共圆 如本题 小结 圆的内接四边形的对角互补 圆内接四边形判定定理 推论 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 定理1 推论 如果一个四边形的