苏教版高三数学复习课件8.4直线与圆的位置关系.ppt

能根据给定直线 圆的方程 判断直线与圆的位置关系 能根据给定两个圆的方程 判断两圆的位置关系 利用直线和圆的方程解决一些简单问题 初步了解用代数方法处理几何问题的思想 命题预测 这部分知识是历年高考的一个热点 主要考查直线与圆 圆与圆的位置关系 轨迹问题及与圆有关的最值问题 第4课时直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 应试对策 1 代数法和几何法是判断直线和圆的位置关系的两种方法 在使用这两种方法时要正确进行选择 如果是直线和圆相切的问题 通常可以利用圆心到直线的距离和半径的关系进行判断 但是直线和圆相交的问题通常使用代数法进行解决 在求出弦长之后再结合实际图形来解决 特别是利用相关的直角三角形可以降低运算量 研究直线与圆的位置关系时 要紧紧抓住圆心到直线的距离与圆半径的大小关系这一知识点 这个过程充分体现并运用了数形结合思想 分类讨论思想 这是解析几何中重要的数学思想方法 运用数形结合的思想解题时要注意作图的准确性 分类讨论时要做到不重 不漏 在对含有参数的直线和圆的方程进行判断时 还可以通过分析直线与圆是否过定点进行判断 从而达到简化运算的目的 2 判定两圆位置关系的难点在于求圆心距及两圆半径 一般把圆的方程化为标准方程 找出两圆圆心 代入两点之间的距离公式即可得出圆心距 然后比较与两圆半径的和与差的大小即可 有时候也可以根据两圆的实际图形及圆的弦所具有的性质进行判定 但是无论如何最好先把圆的方程化成标准形式 再进行下一步的分析 对于求两圆的切线问题通常是根据实际图形 利用代数与几何知识相结合的方法进行求解 判断两圆的位置关系时 应先求圆的半径和圆心坐标 再求两圆的圆心距 最后比较圆心距和两圆半径和 差的绝对值的大小关系 两圆相交弦所在直线的方程是由两个圆的方程联立组成的方程组确定的 消去二次项后所得的二元一次方程就是两圆公共弦所在的直线方程 3 过圆外一点的切线必有两条 无论用几何法还是代数法 当求得的值只有一个时 则另一条的切线斜率一定不存在 可由数形结合法求出 确定两圆的公切线的条数 首先应判断两圆的位置关系 从而防止漏解 一般地 当两圆内切时有一条公切线 外切时有三条公切线 相交时有两条公切线 外离时有四条公切线 内含时无公切线 切点与圆心的连线与切线垂直这一几何性质在解题中有着广泛的运用 掌握圆心距和两圆半径的关系以及圆的平面几何性质对于解决圆的问题起到很重要的作用 涉及与圆的弦有关的问题时 为简化运算 常利用半弦长 弦心距及半径构成的直角三角形进行解题 与圆有关的最值问题解直线与圆的最值问题主要有以下两种思路 1 代数法 利用平面几何中的有关公式 构造函数 把问题转化为函数的最值 然后根据函数最值的求法进行求解 在转化过程中常用到向量的数量积 二次方程根与系数的关系 换元等知识和方法 2 几何法 找到所求式的几何意义 在坐标系中与圆建立联系 分析其与圆的位置变化情况 找到最大 最小取值点 知识拓展 例如 已知实数x y满足方程x2 y2 2 求的最大值 此题条件方程 x2 y2 2 的几何意义是点P x y 为圆x2 y2 2上的点 则就表示过点P x y 和点M 2 2 的直线的斜率 显然当直线MP与圆x2 y2 2相切时 kMP取最值 如果要求x y的最值 令x y b 则y x b 那么b表示斜率为 1的直线与圆x2 y2 2相交或相切时直线的纵截距 只要作出图象即可求出最值 1 直线与圆的位置关系 0 2 2 圆与圆的位置关系 1 2010 栟茶高级中学学情分析 不论k为何实数 直线y kx 1与曲线x2 y2 2ax a2 2a 4 0恒有公共点 则实数a的取值范围是 答案 1 a 3 2 若直线5x 12y c 0与圆 x 1 2 y 1 2 9相切 则c的值为 解析 由题意可得 3 c 22或c 56 答案 22或 56 3 经过两圆x2 y2 2x 2y 7 0和x2 y2 4x 4y 8 0的两个交点的直线的方程是 解析 两圆的方程相减得 6x 6y 1 0 即6x 6y 1 0 此方程表示的曲线过两个圆的交点 因此 6x 6y 1 0为所求直线方程 答案 6x 6y 1 0 4 若两圆x2 y2 4与x2 y2 2ax a2 1 0相内切 则a 解析 圆x2 y2 2ax a2 1 0可写成 x a 2 y2 1 两圆的半径分别为2 1 两圆的圆心距为 a 两圆内切 a 2 1 a 1 答案 1 5 直线x y 2 0截圆x2 y2 4所得劣弧对应的圆心角度数为 解析 圆心到直线x y 2 0的距离为 OH 由 OA 2 得cos AOH AOH 30 AOB 60 答案 60 直线l Ax By C 0 A B不同时为零 与圆 x a 2 y b 2 r2 r 0 的位置关系的判断方法有 1 几何方法 圆心 a b 到直线Ax By C 0的距离d dr 直线与圆相离 2 代数方法 由消元 得到的一元二次方程的判别式为 则 0 直线与圆相交 0 直线与圆相切 0 直线与圆相离 例1 已知圆C x 1 2 y 2 2 25及直线l 2m 1 x m 1 y 7m 4 m R 1 证明 不论m取什么实数 直线l与圆C恒相交 2 求直线l被圆C截得的弦长最短长度及此时的直线方程 思路点拨 问题 1 若按常规思路只需圆心C 1 2 到直线l的距离恒小于半径即可 但注意到直线l的方程写成x y 4 m 2x y 7 0后 发现直线l过直线x y 4 0与直线2x y 7 0的交点 3 1 若该定点在圆内部 则问题 1 得证 1 证明 由 2m 1 x m 1 y 7m 4 m R 得 m 2x y 7 x y 4 0 解 直线l恒过定点 3 1 3 1 2 1 2 2 5 25 点 3 1 在圆内部 不论m为何实数 直线l与圆恒相交 2 解 从 1 的结论知直线l过定点M 3 1 且与此点的圆C的半径垂直时 l被圆所截的弦长 AB 最短 由垂径定理知 AB 2 2 4 此时 从 得m 代入得直线l的方程为2x y 5 0 变式1 m为何值时 直线2x y m 0与圆x2 y2 5满足以下条件 1 无公共点 2 截得的弦长为2 3 交点处两条半径互相垂直 解 1 由已知 圆心为O 0 0 半径r 圆心到直线2x y m 0的距离d 直线与圆无公共点 d r 即 m 5或m 5 故当m 5或m 5时 直线与圆无公共点 2 如右图所示 由平面几何垂径定理知r2 d2 12 即5 1 得m 2 当m 2时 直线被圆截得的弦长为2 3 如右图所示 由于交点处两条半径互相垂直 弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形 故当m 时 直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直 1 判断两圆的位置关系常用几何法 即用两圆圆心距与两圆半径的和与差之间的关系 一般不采用代数法 2 若两圆相交 则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2 y2项即可得到 例2 已知圆M x2 y2 2mx 2ny m2 1 0与圆N x2 y2 2x 2y 2 0交于A B两点 且这两点平分圆N的圆周 求圆M的圆心的轨迹方程 并求其中半径最小时圆M的方程 思路点拨 先由两圆方程求出直线AB的方程 则由题意知AB过N的圆心 半径最小可转化为圆心到AB的距离最小 解 由圆M的方程知圆心M m n 又由方程组得直线AB的方程为2 m 1 x 2 n 1 y m2 1 0 又AB平分圆N的圆周 所以圆N的圆心N 1 1 在直线AB上 2 m 1 1 2 n 1 1 m2 1 0 m2 2m 2n 5 0 即 m 1 2 2 n 2 x 1 2 2 y 2 即为点M的轨迹方程 又由题意可知当圆M的半径最小时 点M到AB的距离最小 此时 MN 也最小 d 由 可知n 2 d 1 即最小值为1 此时m 1 n 2 故此时圆M的方程为 x 1 2 y 2 2 5 变式2 2010 江苏省海门中学调研 当且仅当m r n时 两圆x2 y2 49与x2 y2 6x 8y 25 r2 0 r 0 有公共点 则n m的值为 答案 10 1 求圆的切线一般有两种方法 第一种方法是利用圆心到直线的距离等于半径来求切线 这种方法较常用 第二种方法是利用判别式法 2 处理圆的弦长的问题常用弦心距 半弦长 半径之间的关系来求 也可以利用公式 弦长 x1 x2 其中k为弦所在直线的斜率 x1 x2为弦的端点的横坐标 来求 例3 求与圆C x2 y2 2x 0外切 与直线x y 0相切于点 3 的圆的方程 思路点拨 采用待定系数法求圆的标准方程 解 圆C可化为 x 1 2 y2 1 设所求圆的圆心为A a b 半径为r r 0 则点A满足在过点 3 且与x y 0垂直的直线上 即y x 3 化简 得r 2 a 3 当a 3时 r 2 a 3 代入 解得a 4 则b 0 r 2 所求圆的方程为 x 4 2 y2 4 当a 3时 r 2 3 a 代入 解得a 0 则b 4 r 6 所求圆的方程为x2 y 4 2 36 所以 所求圆的方程为 x 4 2 y2 4或x2 y 4 2 36 变式3 已知两圆x2 y2 2x 6y 1 0和x2 y2 10 x 12y m 0 1 m取何值时两圆外切 2 m取何值时两圆内切 3 求m 45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长 解 两圆的标准方程分别为 x 1 2 y 3 2 11 x 5 2 y 6 2 61 m 圆心分别为M 1 3 N 5 6 半径分别为和 2 当两圆内切时 因定圆的半径小于两圆圆心间距离5 故只有 5 解得m 25 10 3 两圆的公共弦所在直线方程为 x2 y2 2x 6y 1 x2 y2 10 x 12y 45 0 即4x 3y 23 0 公共弦长为 2 1 根据直线与圆的位置关系求弦长 一般不用判别式 而是用圆心到直线的距离与半径大小关系求解 2 要注意数形结合 充分利用圆的性质 如 垂直于弦的直径必平分弦 圆的切线垂直于经过切点的半径 两圆相切时 切点与两圆圆心三点共线 等等 寻找解题途径 减少运算量 规律方法总结 3 圆与直线l相切的情形 圆心到l的距离等于半径 圆心与切点的连线垂直于l 4 圆与直线l相交的情形 圆心到l的距离小于半径 过圆心而垂直于l的直线平分l被圆截得的弦 连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦 过圆内一点的所有弦中 最短的是垂直于过此点的直径的那条弦 最长的是过这点的直径 在解有关圆的解析几何题时 主动地 充分地利用这些性质可以得到新奇的思路 避免冗长的计算 高考真题 例4 2009 天津卷 若圆x2 y2 4与圆x2 y2 2ay 6 0 a 0 的公共弦的长为2 则a 分析 求出两圆的公共弦所在的直线方程 根据直线被圆所截得的弦长公式列方程求解 规范解答 两个圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为y 则圆心 0 0 到直线的距离d 根据圆的半径 弦心距 弦长之间的关系 可得22 又a 0 解得a 1 故填1 答案 1 本题给出两个圆的公共弦长 说明第二个圆也是定圆 通过这样的设计考查圆与圆的位置关系 直线与圆的位置关系的基本知识 考查考生分析问题 解决问题的能力 是一道知识考查与能力考查并重的试题 这类题目也是对教材题目的适当改造 本题设置了参数 问题实质没有变化 解决这类问题的一个基本方法就是求出两个圆的公共弦所在的直线方程 根据直线被圆所截得的弦长公式解决 课本探源 全解密 两个圆的位置关系 两圆的圆心分别为O1 O2 半径分别为r1 r2 圆心距 O1O2 d 则两圆外离 d r1 r2 两圆外切 d r1 r2 两圆相交 r1 r2 d r1 r2 两圆内切 d r1 r2 两圆内含 0 d r1 r2 两圆是同心圆 d 0 知识链接 当两个圆相交时 这两个圆的方程消掉二次项后所得到的二元一次方程就是这两个圆的公共弦所在的直线方程 这在解决两个圆的相交问题时是一个非常重要的方法 这个方法还可以用来解决圆的切点弦所在的直线方程 即从圆C外一点A向圆引两条切线 切点分别是M N 求M N所在直线的方程问题 方法是 根据圆的切线的性质与圆的性质 点A M C N四点在以AC为直径的圆上 直线MN就是这个圆与已知圆C的公共弦所在的直线 写出这个圆的方程 和已知圆C的方程联立 消掉二次项即得所求的直线方程 这条直线方程就叫做两圆的切点弦所在的直线方程 简称切点弦方程 方法探究 本题可以通过直接求解两圆交点的坐标解决 也可以根据几何关系解决 用几何关系的解法如下 根据圆的半径 弦心距 弦长之间的关系 首先得到圆x2 y2 4的圆心到公共弦的距离d1 1 设圆x2 y2 2ay 6 0 a 0 的圆心到公共弦的距离为d2 则d2 两个圆的圆心距等于a 而两圆的圆心距要么等于d1 d2 要么等于 d1 d2 显然本题中两个圆的圆心距等于d2 d1 即 1 a 解得a 1 本题容易忽视限制条件得到a 1 或是出现计算上的错误等 发散思维 1 判断圆C1 x2 y2 2x 6y 26 0与圆C2 x2 y2 4x 2y 4 0的公切线条数 分析 两圆的公切线条数是由两圆的位置关系决定的 所以 解决此类题目的关键是判断两圆的位置关系 解 将圆C1化为标准方程 x 1 2 y 3 2 36 得圆心坐标C1 1 3 半径r1 6 将圆C2化为标准方程 x 2 2 y 1 2 1 得圆心坐标C2 2 1 半径r2 1 C1C2 5 又 C1C2 r1 r2 5 即两圆内切 圆C1与圆C2有一条公切线 2 某河