点的运动学描述和刚体的简单运动.ppt

2020年3月25日 理论力学 运动学 运动学研究的内容 瞬时 时间间隔 运动学的一些基本概念 运动学学习目的 为后续课打基础及直接运用于工程实际 参考体 物 参考系 静系 动系 运动分类 1 点的运动2 刚体的运动 运动学 是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学 包括 轨迹 速度 加速度等 不考虑运动的原因 力学模型 1 点2 刚体 引言 第五章点的运动学描述和刚体的简单运动 5 1点的运动学描述 5 2刚体的平移 5 3刚体的定轴转动 5 4轮系的传动比 5 5以矢量表示角速度和角加速度 以矢积表示点的速度和加速度 5 1点的运动学描述 一 点的运动方程 在参考系上任取一点O为坐标原点 r 点M相对点O的位置矢量 简称矢径 当动点M运动时 矢径r随时间而变 即 上式称为以矢量表示的点的运动方程 动点M在运动过程中 矢径r的末端描绘出一条连续曲线 称为矢端曲线 显然 矢径r的矢端曲线就是动点M的运动轨迹 5 1点的运动学描述 二 点的速度 点的速度是矢量 动点的速度矢等于它的矢径r对时间的一阶导数 即 动点的速度矢沿着矢径r的矢端曲线的切线 即沿动点轨迹的切线 并与点的运动方向一致 在国际单位制中 速度的单位为m s 5 1点的运动学描述 三 点的加速度 点的加速度也是矢量 动点的加速度矢等于该点速度矢对时间的一阶导数 或等于矢径对时间的二阶导数 即 在国际单位制中 加速度的单位为m s2 5 1点的运动学描述 如在空间任意取一点O 把动点M在连续不同瞬时的速度矢v0 v1 v2 等都平行地移到点O 连接各矢量的端点M1 M2 M3 就构成了矢量v端点的连续曲线 称为速度矢端曲线 如图所示 动点的加速度矢a的方向与速度矢端曲线在相应点M的切线相平行 加速度的方向确定 5 1点的运动学描述 由于矢径的原点与直角坐标系的原点重合 因此有 一 点的运动方程 其中 这些方程称为以直角坐标表示的点的运动方程 也是点的轨迹的参数方程 如求点的轨迹方程 可将运动方程中的时间t消去 如点在某平面内运动 取该平面为坐标平面Oxy 则点的运动方程为 从上式中消去时间t 即得轨迹方程 5 1点的运动学描述 二 点的速度 由于 得 设动点M的速度矢v在直角坐标轴上的投影为vx vy vz 即 比较上两式 得 可见 速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数 5 1点的运动学描述 三 点的加速度 设动点的加速度矢a在直角坐标轴上的投影为ax ay az 即 则有 因此 加速度在直角坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的二阶导数 5 1点的运动学描述 例 椭圆规的曲柄OC可绕轴O转动 其端点C与规尺AB的中点以铰链相连接 而规尺A B两端分别在相互垂直的滑槽中运动 已知 OC AC BC l MC a t 求规尺上点M的运动方程 轨迹方程 速度和加速度 解 取坐标系Oxy 点M的运动方程为 消去时间t 得轨迹方程 5 1点的运动学描述 求点M的速度 故点M的速度大小为 其方向余弦为 5 1点的运动学描述 求点M的加速度 故点M的加速度大小为 其方向余弦为 5 1点的运动学描述 一 弧坐标 已知动点M的轨迹为图示曲线 在轨迹上任选一点O为参考点 并设点O的某一侧为正向 动点M在轨迹上的位置由弧长s确定 弧长s为代数量 称为动点M在轨迹上的弧坐标 点沿轨迹的运动方程 当动点M运动时 s随时间变化 它是时间的单值连续函数 即 或以弧坐标表示的点的运动方程 5 1点的运动学描述 二 自然轴系 以点M为原点 以切线 主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标轴称为曲线在点M的自然坐标系 这三个轴称为自然轴 5 1点的运动学描述 O j 两个相关的计算结果 M M t t t s t 曲率 曲线切线的转角对弧长一阶导数的绝对值 曲率半径 曲率的倒数 如曲率半径以 表示 则有 5 1点的运动学描述 三 点的速度 点沿轨迹由M到M 经过 t时间 其矢径有增量 r 当 t 0时 故有 可见 速度的大小等于动点的弧坐标对时间的一阶导数的绝对值 弧坐标对时间的导数是一个代数量 以v表示 绝对值表示速度的大小 正负表示点沿轨迹运动的方向 由于 是切线轴的单位矢量 因此点的速度矢可写为 5 1点的运动学描述 四 点的加速度 1 反映速度大小变化的加速度at 显然at是一个沿轨迹切线的矢量 因此称为切向加速度 tangentialacceleration 如 at指向轨迹的正向 at指向轨迹的负向 令 at是一个代数量 是加速度a沿轨迹切向的投影 由此可得结论 切向加速度反映点的速度值对时间的变化率 它的代数值等于速度的代数值对时间的一阶导数 或弧坐标对时间的二阶导数 它的方向沿轨迹切线 如 5 1点的运动学描述 2 反映速度方向变化的加速度an 它反映速度方向 的变化 上式可改写为 得 于是可得结论 法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度 它的大小等于点的速度平方除以曲率半径 它的方向沿着主法线 指向曲率中心 有此可见 an的方向与主法线的正向一致 称为法向加速度 normalacceleration 5 1点的运动学描述 当速度v与切向加速度at指向相同时 速度的绝对值不断增加 点作加速运动 当速度v与切向加速度at指向相反时 速度的绝对值不断减小 点作减速运动 5 1点的运动学描述 式中 由于at an均在密切面内 因此全加速度a也必在密切面内 这表明加速度沿副法线上的分量为零 即 全加速度的大小可由下式求出 它与法线间的夹角的正切为 5 1点的运动学描述 匀变速曲线运动 几种特殊情况 匀速曲线运动 直线运动 曲率半径 任何瞬时点的法向加速度始终为零 v 常量 at 常量 5 1点的运动学描述 例 曲柄摇杆机构 曲柄长OA 10cm 绕O轴转动 角 O1O 10cm 求B点的运动方程 速度及加速度 rad 时间t的单位为s 摇杆O1B 24cm 距离 5 1点的运动学描述 解 B点的运动轨迹是以O1B为半径的圆弧 t 0时 B点在B0处 取B0为弧坐标原点 则B点的弧坐标 由于 OAO1是等腰的 则 2 故 这就是B点的运动方程 其方向如图 可见 B点作匀速圆周运动 于是B点的速度及加速度为 5 1点的运动学描述 例6杆AB绕A点转动时 带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动 已知 t 为常数 求小环M的运动方程 速度和加速度 解 建立如图所示的直角坐标系 则 即为小环M的运动方程 故M点的速度大小为 5 1点的运动学描述 其方向余弦为 故M点的加速度大小为 5 1点的运动学描述 例7半径为R的轮子沿直线轨道纯滚动 无滑动地滚动 设轮子保持在同一竖直平面内运动 试分析轮子边缘一点M的运动 5 1点的运动学描述 解 取坐标系Axy如图所示 并设M点所在的一个最低位置为原点A 则当轮子转过一个角度后 M点坐标为 这是旋轮线的参数方程 5 1点的运动学描述 M点的速度为 当M点与地面接触 即时 M点速度等于零 5 1点的运动学描述 解 取M点的直线轨迹为x轴 曲柄的转动中心O为坐标圆点 M点的坐标为 例1下图为偏心驱动油泵中的曲柄导杆机构 设曲柄OA长为r 自水平位置开始以匀角速度w转动 即 t 滑槽K K与导杆B B制成一体 曲柄端点A通过滑块在滑槽K K中滑动 因而曲柄带动导杆B B作上下直线运动 试求导杆的运动方程 速度和加速度 将上式对时间求一阶导数和二阶导数得 运动学 例2曲柄连杆机构是由曲柄 连杆及滑块组成的机构 当曲柄OA绕O轴转动时 由于连杆AB带动 滑块沿直线作往复运动 设曲柄OA长为r 以角速度w绕O轴转动 即 t 连杆AB长为l 试求滑块B的运动方程 速度和加速度 解 取滑块B的直线轨迹为x轴 曲柄的转动中心O为坐标原点 在经过t秒后 此时B点的坐标为 整理可得B的运动方程 运动学 由此可得滑块B的速度和加速度 将右边最后一项展开 运动学 例3一人高h2 在路灯下以匀速v1行走 灯距地面的高为h1 求人影的顶端M沿地面移动的速度 解 取坐标系x如图所示 由几何关系得 上式对t求一阶导数 得M点的速度为 运动学 例4下图为料斗提升机示意图 料斗通过钢丝绳由绕水平轴O转动的卷筒提升 已知 卷筒的半径为R 16cm 料斗沿铅垂提升的运动方程为y 2t2 y以cm记 t以s计 求卷筒边缘一点M在t 4s时的速度和加速度 O M R M A0 A M0 y 解 此时M点的切向加速度为 v 4 4 16cm s 当t 4s时速度为 运动学 M点的法向加速度为 M点的全加速度为 运动学 36 运动学 指出在下列情况下 点M作何种运动 匀变速直线运动 匀速圆周运动 匀速直线运动或静止 直线运动 匀速运动 圆周运动 匀速运动 直线运动 匀速曲线运动 匀变速曲线运动 运动学 37 判断下列运动是否可能出现 若能出现判断是什么运动 运动学 不可能或改作直线减速运动 加速运动 不可能 匀速曲线运动 不可能或改作直线加速运动 不可能 减速曲线运动 38 点作直线运动时 若其速度为零 其加速度也为零点作曲线运动时 若其速度大小不变 加速度是否一定为零 运动学 答 不一定 速度为零时加速度不一定为零 自由落体上抛到顶点时 加速度不一定为零 只要点作曲线运动 就有向心加速度 切向加速度和法向加速度的物理意义 答 表示速度大小的变化表示速度方向的变化 5 2刚体的平移 一 平行移动 如果在物体内任取一直线 在运动过程中这条直线始终与它的最初位置平行 这种运动称为平行移动 简称平移 例如 二 平移的特点 设刚体作平移 在刚体内任选两点A B 令点A的矢径为rA 点B的矢径为rB 则两条矢端曲线就是两点的轨迹 由图可知 当刚体平移时 线段AB的长度和方向都不改变 刚体平移时 其上各点的轨迹不一定是直线 也可能是曲线 但是它们的形状是完全相同的 因此只要把点B的轨迹沿BA方向平行移动一段距离BA 就能与点A的轨迹完全重合 5 2刚体的平移 上式对时间t求导数 得 而 因此 得 将上式再求一次导数 得 结论 当刚体平行移动时 其上各点的轨迹形状相同 在每一瞬时 各点的速度相同 加速度也相同 因此 研究刚体的平移 可以归结为研究刚体内任一点 如质心 的运动 速度 加速度 5 2刚体的平移 例 图示曲柄滑道机构 当曲柄OA在平面上绕定轴O转动时 通过滑槽连杆中的滑块A的带动 可使连杆在水平槽中沿直线往复动 若曲柄OA的半径为r 曲柄与x轴的夹角为 t 其中 是常数 求此连杆在任一瞬时的速度及加速度 解 连杆作平移 因此在连杆上任取一点M可代表连杆的运动 点M的位置坐标为 这就是点M的运动方程 因此 点M的速度及加速度为 5 2刚体的平移 刚体在运动时 其上或其扩展部分有两点保持不动 则这种运动称为刚体绕定轴的转动 简称刚体的转动 通过这两个固定点的一条不动的直线 称为刚体的转轴或轴线 简称轴 5 3刚体的定轴转动 一 转动方程 取转轴为z轴 通过轴线作一固定平面 此外 通过轴线作一与刚体固连的动平面 这两个平面间的夹角用 表示 称为刚体的转角 转角 是一个代数量 它确定了刚体的位置 它的符号规定为 从z轴正向往下看 逆时针为正 反之为负 并用弧度 rad 表示 当刚体转动时 转角 是时间t的单值连续函数 即 这个方程称为刚体绕定轴转动的转动方程 5 3刚体的定轴转动 二 角速度 转角 对时间的一阶导数 称为刚体的瞬时角速度 用 表示 即 角速度表示刚体转动的快慢和方向 单位一般用rad s 弧度 秒 角速度是代数量 从轴的正端向负端看 刚体逆时针转动时 角速度取正值 反之取负值 5 3刚体的定轴转动 三 角加速度 角速度 对时间的一阶导数 称为刚体的瞬时角加速度 用 表示 即 角加速度表示角速度变化的快慢 单位一般用rad s2 弧度 秒2 角加速度也是代数量 如果 与 同号 则转动是加速的 如果 与 异号 则转动是减速的 5 3刚体的定轴转动 四 两种特殊情况 1 匀速转动 刚体角速度不变的转动 称为匀速转动 在工程实际中 匀速转动时 转动的快慢常用每分钟转数n来表示 其单位为r min 转 分 称为转速 角速度 与转速n的关系为 式中转速n的单位为r min 角速度 的单位为rad s 5 3刚体的定轴转动 2 匀变速转动 刚体角加速度不变的转动 称为匀变速转动 其中 0和 0分别是t 0时的角速度和转角 5 3刚体的定轴转动 一 转动刚体内各点的速度 以固定点O 为弧坐标s的原点 按 角的正向规定弧坐标s的正向 于是 将上式对t求一阶导数 得 上式可写成 即 转动刚体内任一点的速度的大小 等于刚体的角速度与该点到轴线的距离的乘积 它的方向沿圆周的切线指向转动一方 5 3刚体的定轴转动 转动刚体内各点速度分布规律 5 3刚体的定轴转动 二 转动刚体内各点的加速度 转动刚体内任一点的切向加速度的大小 等于刚体的角加速度与该点到轴线距离的乘积 它的方向由角加速度的符号决定 法向加速度为 即 转动刚体内任一点的法向加速度的大小 等于刚体角速度的平方与该点到轴线距离的乘积 它的方向与速度垂直并指向轴线 at an 5 3刚体的定轴转动 如果 与 同号 刚体作加速转动 反之作减速转动 点M加速度a的大小和方向 5 3刚体的定轴转动 由于在每一瞬时 刚体的 和 都只有一个确定的数值 所以得知 1 在每一瞬时 转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小 分别于这些点到轴线的距离成正比 2 在每一瞬时 刚体内所有各点的加速度a与半径间的夹角 都有相同的值 5 3刚体的定轴转动 例 叶轮由静止开始作匀加速转动 轮上M点 r 0 4m 在某瞬时的全加速度a 40m s2 与转动半径的夹角 30 若t 0时 位置角 0 0 求叶轮的转动方程及t 2s时M点速度和法向加速度 5 3刚体的定轴转动 解 将M点在某瞬时的全加速度a沿轨迹的切向及法向分解 则切向加速度及角加速度为 由于匀加速转动 故 为常量 转动方程为 当t 2s时 叶轮的角速度为 因此M点的速度及法向加速度为 at an 5 3刚体的定轴转动 5 4轮系的传动比 一 齿轮转动 外啮合 内啮合 因两轮之间没有相对滑动 故 但 因此 或 处于啮合中的两个定轴齿轮角速度与两齿轮的啮合圆半径成反比 又 故 设轮 是主动轮 轮 是从动轮 传动比 不仅适用于圆柱齿轮传动 也适用于轴成任意角度的圆锥齿轮传动 摩擦传动等 有时为了区分轮系中各轮的转向 对各轮都规定统一的转动正向 这时各轮的角速度可取代数值 从而转动比也取代数值 正号表示两轮转向相