山西财大统计学第6章假设检.ppt

第六章假设检验 Hypothesistesting 本章主要内容 假设检验的基本原理 总体参数的假设检验 假设检验的两类错误与功效 一 基本概念对总体未知的分布函数形式或分布中的未知参数做出某种假设 然后抽取样本 根据样本提供的信息去验证这一假设是否成立的过程 称为假设检验 第一节假设检验的基本原理 二 假设检验的基本原理 小概率原理 如果对总体的某种假设是真实的 那么不利于或不能支持这一假设的事件A 小概率事件 在一次试验中是几乎不可能发生的 要是在一次试验中A竟然发生了 就有理由怀疑该假设的真实性 拒绝这一假设 抽样 检验 接受 拒绝 小概率事件未发生 小概率事件发生 某种假设 样本 观察结果 显著水平 临界值 三 假设检验的基本思想 例 某企业生产一种零件 过去的大量资料表明 零件的平均长度为4厘米 标准差为0 1厘米 改革工艺后 抽查了100个零件 测得样本平均长度为3 95厘米 现问 工艺改革前后零件的长度是否发生了显著的变化 改革工艺后总体平均长度确实发生了变化 改革工艺前后总体平均长度没变 误差是由抽样随机性所致 分析 原来 0 4 抽查100个零件得样本平均数 这是工艺改革前后零件的平均长度 总体平均数 是否等于4的假设检验问题 实际误差如果不大 没有超出允许误差范围 可认为总体平均数没有发生变化 哪种原因 如果超出了允许误差范围 则认为总体平均数发生了显著变化 本例中 所以否定原假设 4 即根据样本信息 应推断工艺改革前后零件的平均长度发生了显著变化 假设 4 给定 0 01 查表得临界值 2 58 计算可得 结论 假设检验是带有概率性质的反证法 反证法 先给出一个假设 根据样本信息推断假设是否合理 合理就接受 不合理就拒绝 合理与否的依据 小概率事件在一次抽样中不可能发生 小概率事件没有发生 认为合理 发生了 认为不合理 合理与否 不是绝对的 它是概率意义下的合理与否 依给定的显著性水平 而变化 四 假设检验步骤 建立总体假设H0 H1 抽样得到样本观察值 选择统计量确定H0为真时的抽样分布 根据具体决策要求确定 计算检验统计量的数值 确定分布上的临界点 比较并作出检验判断 一 建立假设对于每一个要检验的问题 要同时提出两个相互对立的假设 原假设和备择假设原假设是被检验的主体 一般是指检验者有可能推翻 但没有充分的根据就不能轻易推翻的假设 用H0表示 备择假设是原假设的对立面 在原假设被推翻时所接受的假设 用H1表示 1 双侧检验 样本统计量的值明显大于 0 或明显小于 0 二者之一成立 就可以拒绝原假设 1 左侧检验 2 单侧检验 样本统计量明显小于假设的总体参数时 拒绝原假设 显著性水平 分布在左侧 2 右侧检验 样本统计量明显大于假设的总体参数时 拒绝原假设 显著性水平 分布在右侧 二 确定检验统计量 同时计算出它的值 在此我们只讨论简单随机组织方式下重复抽样的假设检验问题 根据样本统计量的抽样分布确定检验统计量正态分布 z统计量t分布 t统计量分布 统计量 三 规定显著性水平 查表得到临界值 显著性水平是假设检验中判断样本统计量与总体参数是否有显著差异的标准 用 表示 常用的有 0 10 0 05 0 01等 0 05的含义 假设总体参数是正确的 则样本统计量与总体参数差异过大者 每100个样本中不超过5个 即样本统计量与总体参数差异过大这一事件的概率小于5 四 做出统计决策 将检验统计量的值与在显著性水平 下分布的临界值进行比较 作出接受或拒绝原假设的统计决策 1 双侧检验2 左侧检验3 右侧检验 第二节总体参数的检验 1 单一总体均值的检验假设H0 0H1 0 或 0或 0 1 正态总体 方差 2已知 或大样本 方差 2已知 未知时可用s代替 2 正态总体 方差 2未知 大样本时可近似作为Z检验统计量 一 总体均值的检验 例6 1 上次普查资料显示某市人均居住面积为7 6平方米 现从该市中随机抽取500人 调查并计算得平均居住面积为7 8平方米 标准差为1 5平方米 问在0 01的显著性水平下 能否认为该市人均居住面积有所增大 解 根据题意可建立原假设和备择假设如下 H0 7 6 H1 7 6由计算得检验统计量Z的值为 对显著性水平 0 01 查标准正态分布表得Z Z0 01 2 33 由于Z 2 98 2 33 Z 所以拒绝原假设 接受备择假设 认为该市人均居住面积有所增大 例6 2 某贸易公司用自动装袋机将一批名茶装袋 在正常情况下 平均每袋的重量为500克 从某天所包装的茶叶中随机抽取了8袋 测得每袋的重量 克 为 495 501 502 495 500 497 502 499 问在0 05的显著性水平下 从所装茶叶的平均重量来看装袋机运行是否正常 解 根据题意可建立原假设和备择假设如下 H0 500 H1 500 由于总体方差 2未知 所以应该用t检验 计算得 对 0 05 查表可得t 2 n 1 t0 025 7 2 36 由于 t 1 08 2 36 t0 025 7 所以接受原假设 即从装袋机所装茶叶的平均重量来看 应该认为装袋机的运行是正常的 2 两个总体均值比较的检验 1 两个正态总体方差均已知时假设H0 1 2H1 1 2 或 1 2或 1 2 选择检验统计量 注 大样本 非正态总体时 检验统计量同上 大样本 两个总体的方差均未知时 可分别用两个样本方差代替 2 当两个正态总体方差未知时 则 当时 记假设H0 1 2H1 1 2 或 1 2或 1 2 选择检验统计量 则 例6 3 有两个分别位于市区和郊区的居民区 从中分别随机抽取20户家庭 调查并计算得 位于市区的家庭平均每月生活费支出为780元 标准差为60元 位于郊区的家庭平均每月生活费支出为740元 标准差为54元 已知市区和郊区的家庭平均每月生活费支出均服从正态分布 且方差相等 给定显著性水平0 05 能否认为市区 郊区两居民区的家庭平均每月生活消费支出有显著差异 假设H0 1 2H1 1 2已知计算得 检验统计量 对于给定的显著性水平 0 05 查t分布表得t0 025 38 2 02 由于 t 2 22 2 02 t0 025 38 所以拒绝原假设 即认为市区 郊区两居民区的家庭平均每月生活消费支出有差异 1 单一总体比例的检验假设H0 P P0H1 P P0 或P P0或P P0 检验统计量 二 总体比例的检验 例6 3 某保健品公司生产一种适合成人服用的保健品 以往的调查表明 该保健品的服用者70 为老年人 为了解这一比例是否发生了变化 这家公司从众多的该保健品的服用者中随机抽取了400名进行调查 结果有264人为老年人 问在0 05的显著性水平之下 能否认为服用该保健品的老年人比重没有变化 解 根据题意可建立原假设和备择假设如下 H0 P 70 H1 P 70 n 400为大样本 计算得p 264 400 66 检验统计量Z的值为 对显著性水平 0 05 查标准正态分布表得Z 2 Z0 025 1 96 由于 Z 1 75 1 96 Z 2 所以接受原假设 认为服用该保健品的老年人比重仍为70 2 两总体比例比较的检验假设H0 P1 P2H1 P1 P2 或P1 P2或P1 P2 检验统计量 由于在此假设检验中 两总体比例均未知 因此 要计算检验统计量的值 需要先对总体比例作出估计 在原假设成立的条件下 两总体比例相同 所以可将两个样本联合起来估计其总体比例P 记此联合估计量为P 则有 将P 代入上述检验统计量的表达式 可得 例6 5 某大学有4000名四年级大学生 其中男生2500名 女生1500名 某教师认为男生已通过计算机二级水平考试的比例高于女生 分别随机抽选80名男生和70名女生 发现已通过这种考试的人数分别为32人和21人 问在0 01的显著性水平之下 能否认为这位教师的看法是正确的 记男女生已通过计算机二级水平考试的比例分别为P1 P2 其样本比例分别为p1 p2 假设H0 P1 P2H1 P1 P2n1 80 n2 70为大样本 计算可得p1 32 80 40 p2 21 70 30 总体比例的联合估计量为 检验统计量 对于给定的显著性水平 0 01 查标准正态分布表可得Z0 01 2 33 由于Z 1 28 2 33 Z 所以接受原假设 即认为这位教师的看法是错误的 三 总体方差的检验假设H0 H1 或或 检验统计量给定显著性水平 查分布表得临界值和 当时接受原假设 否则拒绝原假设 例6 4 某县今年试种了某蔬菜新品种 农科院专家承诺 该蔬菜新品种亩产量的标准差不超过25斤 从今年所有种该品种的地块中随机抽取了20亩 得s 27斤 假定每亩蔬菜重量服从正态分布 问在0 05的显著性水平下 能否认为农科院专家的承诺标准已经达到 解 假设H0 2 252H1 2 252检验统计量的值为此例为右侧检验 对于显著性水平 查分布表得临界值由于所以接受假设 即认为农科院专家的承诺标准已经达到 第三节假设检验的两类错误与检验功效 一 假设检验的两类错误 假设检验的第一类错误又称弃真错误 它是指原假设H0正确但却被拒绝了的错误 犯第一类错误的概率为P 拒绝H0 H0为真 假设检验的第二类错误又称纳伪错误 它是指原假设不正确但却接受原假设的错误 犯第二类错误的概率P 接受H0 H0不真 H0 0H1 0 与的大小关系 降低其中一个 必使另一个变大 H0 0H1 1 0 P 接受H0 H0不真 二 假设检验的功效 假设检验的功效是指备择假设H1为真时 接受备择假设H1的概率 P 接受H1 H1为真 1 P 拒绝H1 H1为真 1 P 接受H0 H0不真 假设检验的功效可以判别该假设检验的优劣 功效函数 功效曲线 注 1 无论是单侧检验还是双侧检验 备择假设值与原假设值的偏离程度越大 犯第二类错误的概率 越小 从而检验的功效1 越大 反之 备择假设值与原假设值的偏离程度越小 犯第二类错误的概率 越大 从而检验的功效1 越小 2 对于Z检验统计量和t检验统计量而言 双侧检验的功效曲线是对称的 即备择假设值从正负两个方向与原假设值的偏离程度相同时 检验的功效也相同 三 区间估计与假设检验的关系 区别 1 推断的目的不同2 关注的概率不同3 结果的形式不同4 推断的思想不同 联系 1 依据的都是样本信息及同样的抽样分布定理2 都是概率意义下的统计推断 都有不确定性3 两者可相互转换 四 假设检验的P值1 影响假设检验推断结果的因素 检验统计量的值C 显著性水平 临界值例如 在例6 1中 检验统计量的值Z 2 98 0 01时 结论如何 0 00135时 结论又如何 0 00