华中科技大学复变函数.ppt

通知一 以班为单位买练习册 每册五元 时间地点 本周周一 周六 上午 下午 晚上 科技大楼南楼609 二 每周一次答疑时间地点 周二晚上7 00 9 30 科技大楼南楼813 三 结业成绩分配平时成绩 作业 20 期末考试 闭卷 成绩80 复变函数的理论和方法在数学 自然科学和工程技术中有着广泛的应用 是解决诸如流体力学 电磁学 热学弹性理论中平面问题的有力工具 复变函数中的许多概念 理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展 第一章复数与复变函数 1 1复数及其表示法 一对有序实数 构成一个复数 记为 自变量为复数的函数就是复变函数 它是本课程的研究对象 由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算 本章将在原有的基础上作简要的复习和补充 然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念 为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础 x y分别称为Z的实部和虚部 记作x Re Z y Im Z 称为Z的共轭复数 与实数不同 两个复数相等 他们的实部和虚部都相等 特别地 1 代数形式 复数的表示法 1 点表示 一般说来 任意两个复数不能比较大小 2 向量表示 复数z的辐角 argument 记作Argz q 任何一个复数z 0有无穷多个幅角 将满足 p q0 p的q0称为Argz的主值 记作q0 argz 则 Argz q0 2kp argz 2kp k为任意整数 0 x y x y q z x iy 复数z的模 当z 0时 z 0 而幅角不确定 说明 当z在第二象限时 argz与x和y的关系 2 指数形式与三角形式 利用直角坐标与极坐标的关系 x rcosq y rsinq 可以将z表示成三角表示式 利用欧拉公式eiq cosq isinq得指数表示式 例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式 解 1 z在第三象限 因此 因此 2 显然 r z 1 又 因此 练习 写出的辐角和它的指数形式 解 1 2复数的运算 设 z1 z2 z2 z1 z1z2 z2z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2z3 z1z2 z3 z1 z2 z3 z1z2 z1z3 复数运算满足交换律 结合律和分配律 1 四则运算 加减法与平行四边形法则的几何意义 乘 除法的几何意义 定理1两个复数乘积的模等于它们的模的乘积 两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和 等式Arg z1z2 Argz1 Argz2 的意思是等式的两边都是无限集合 两边的集合相等 即每给定等式左边的一个数 就有等式右边的一个数与之对应 反之亦然 几何上z1z2相当于将z2的模扩大 z1 倍并旋转一个角度Argz1 0 1 例2 设 求 解 若取 则 若取 则 按照乘积的定义 当z1 0时 有 定理2两个复数的商的模等于它们的模的商 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差 2 乘方与开方运算 1 乘方 DeMoivre公式 2 开方 若满足 则称w为z的n次方根 记为 于是 推得 从而 几何解释 z1 n的n个值就是以原点为中心 r1 n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点 例2求 解 因为 所以 即 四个根是内接于中心在原点半径为21 8的圆的正方形的四个顶点 练习求复数的模与辐角 1 3复数形式的代数方程与平面几何图形 很多平面图形能用复数形式的方程 或不等式 来表示 也可以由给定的复数形式的方程 或不等式 来确定它所表示的平面图形 例3将通过两点z1 x1 iy1与z2 x2 iy2的直线用复数形式的方程来表示 解 通过点 x1 y1 与 x2 y2 的直线可用参数方程表示为 因此 它的复数形式的参数方程为 z z1 t z2 z1 t 由此得知由z1到z2的直线段的参数方程可以写成z z1 t z2 z1 0 t 1 取 得知线段 的中点为 例4求下列方程所表示的直角坐标系下的曲线 解 设z x iy 方程变为 几何上 该方程表示到点2i和 2的距离相等的点的轨迹 所以方程表示的曲线就是连接点2i和 2的线段的垂直平分线 方程为y x 也可用代数的方法求出 O x y 2 2i y x 设z x iy 那末 可得所求曲线的方程为y 3 O y x y 3 1 4复数域的几何模型 复球面 0 N 球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系 x1 x2 x3 o z x y x y P x1 x2 x3 x1 x2 x3 N 0 0 2r 除了复数的平面表示方法外 还可以用球面上的点来表示复数 对复平面内任一点z 用直线将z与N相连 与球面相交于P点 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系 而N点本身可代表无穷远点 记作 这样的球面称作复球面 扩充复数域 引进一个 新 的数 扩充复平面 引进一个 理想点 无穷远点 约定 1 4区域 1 区域的概念 平面上以z0为中心 d 任意的正数 为半径的圆 z z0 d内部的点的集合称为z0的邻域 而称由不等式0 z z0 d所确定的点集为z0的去心邻域 z M M 0 无穷远点的邻域 M z 无穷远点的去心邻域 无穷远点的邻域 设G为一平面点集 z0为G中任意一点 如果存在z0的一个邻域 该邻域内的所有点都属于G 则称z0为G的内点 平面点集D称为一个区域 如果它满足下列两个条件 设D为复平面内的一个区域 如果点P不属于D 但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点 这样的点P称为D的边界点 D的所有边界点组成D的边界 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的 如果G内的每个点都是它的内点 则称G为开集 1 D是一个开集 2 D是连通的 就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来 区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域 记作 D 如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面 即存在正数M 使区域D的每个点z都满足 z M 则称D为有界的 否则称为无界的 2 单连通域与多连通域 没有重点的连续曲线C 称为简单曲线 如果简单曲线C的起点与终点闭合 则曲线C称为简单闭曲线 任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集 其中除去C外 一个是有界区域 称为C的内部 另一个是无界区域 称为C的外部 C为它们的公共边界 简单闭曲线的这一性质 其几何直观意义是很清楚的 定义复平面上的一个区域D 如果在其中任作一条简单闭曲线 而曲线的内部总属于D 就称为单连通域 一个区域如果不是单连通域 就称为多连通域 复连通区域 单连通区域 1 5复变函数 1 复变函数的定义 定义设D是复平面中的一个点集 称为复变函数 其确定了自变量为x和y的两个二元实变函数u v 因而函数w z2对应于两个二元函数 u x2 y2 v 2xy 例如 考察函数w z2 令z x iy w u iv 则u iv x iy 2 x2 y2 i2xy 在以后的讨论中 D常常是一个平面区域 称之为定义域 如无特别声明 所讨论的函数均为单值函数 2 映射的概念 函数w f z 在几何上可以看做是把z平面上的一个点集D 定义集合 变到w平面上的一个点集G 函数值集合 的映射 或变换 如果D中的点z被映射w f z 映射成G中的点w 则w称为z的象 映象 而z称为w的原象 x u D G Z z w W f z v y W 设函数w z x iy u x v y x y O u v O 把两个坐标系重合可见共轭映射关于实轴对称 设函数w z2 x iy 2 x2 y2 i2xy 有u x2 y2 v 2xy 如果函数 映射 w f z 与它的反函数 逆映射 z j w 都是单值的 则称函数 映射 w f z 是一一的 此时 我们也称集合D与集合G是一一对应的 举例 求曲线在映射下的像 例题1 例题2 例题3 例题4 1 6复变函数的极限和连续性 1 函数的极限定义设函数w f z 定义在z0的去心邻域00 相应地必有正数d e 0 d 使得当0 z z0 d时 有 f z A e 则称A为f z 当z趋向于z0时的极限 记作 或记作当z z0时 f z A 几何意义 等价定义 设f z u x y iv x y A u0 iv0 z0 x0 iy0 则 运算性质 当z 0时的极限不存在 例1证明函数 证 令z x iy 则 由此得 让z沿直线y kx趋于零 我们有 故极限不存在 2 函数的连续性 则说f z 在z0处连续 如果f z 在区域D内处处连续 我们说f z 在D内连续 函数f z u x y iv x