概率论第二章1-3节课件.jsp.ppt

1 关于随机变量 及向量 的研究 是概率论的中心内容 这是因为 对于一个随机试验 我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量 而这些量就是随机变量 也可以说 随机事件是从静态的观点来研究随机现象 而随机变量则是一种动态的观点 一如数学分析中的常量与变量的区分那样 变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念 同样 概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系 其基础概念是随机变量 第二章随机变量及其分布 2 2 1随机变量的概念 例1 设一口袋中有依次标有1 2 3 4 5 6数字的六个球 从这口袋中任取一个球 观察取得的球上所标数字 X是随着试验结果的不同而变化的 X i表示 球上标示的数字为i 设变量X表示取得的球上所标数字 第二章随机变量及其分布 X都有唯一的值与之对应 称X为随机变量 3 X可能取的值为0 1 2 4 例5抛掷一枚硬币 引入一个变量 5 定义 离散随机变量 连续随机变量 可能取值为有限个或可数无穷个 可取得某一区间内的任何数值 分类 随机变量是以随机事件为自变量的实值函数 表示 6 例如 打靶试验中 表示事件 中5环 表示事件 环数不超过6环 表示事件 环数大于3环小于7环 注意 7 2 2离散随机变量 概率分布 表 称为离散型随机变量X的概率函数或分布律 列 性质 8 若随机变量X只能取有限个值则 若随机变量X可能取可数无穷多个值 则 例1 解 9 解 1 设随机变量X是取球次数 因此 所求概率分布为 例2 取得白球为止 求取球次数的概率分布 假定 袋中有2个白球和3个黑球 每次从袋中任取1个球 直至 1 取出的黑球不再放回去 2 取出的黑球仍放回去 10 例2 取得白球为止 求取球次数的概率分布 假定 袋中有2个白球和3个黑球 每次从袋中任取1个球 直至 2 取出的黑球仍放回去 因此 所求概率分布为 2 设随机变量Y是取球次数 11 几何分布 如 一射手连续不断地进行射击 直到第一次命中为止 如每次 命中的概率为p 则所需射击次数X服从几何分布 Geometricaldistribution 其中 易知 12 几种常见的离散随机变量的分布 1 0 1 分布 两点分布 2 3超几何分布 二项分布 泊松分布 向上的次数 例1 掷硬币的试验中 设随机变量X表示一次试验中正面 则X服从0 1分布 其概率分布表为 13 记X为n次试验中事件A发生的次数 则 2 二项分布 Binomialdistribution 其分布列为 特别地 当n 1时 二项分布即为 0 1 分布 易知 14 解 设X为在同一时刻需要供应一个单位电力的工人数 则 注 放回抽样的随机变量服从二项分布 15 例4一张考卷上有5道选择题 每道题列出4个可能答案 其中只有一个答案是正确的 某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少 解 16 易知 3 泊松分布 Poissondistribution 在大量试验中 小概率事件发生的次数可以近似地看作服从Poisson分布 17 在大量试验中 小概率事件发生的次数可以近似地看作服从Poisson分布 在某个时段内 大卖场的顾客数 某地区拨错号的电话呼唤次数 医院急诊病人数 某地区发生的交通事故的次数 一个容器中的细菌数 一本书一页中的印刷错误数 一匹布上的疵点个数 放射性物质发出的粒子数 18 Poisson分布表P286附录1 例如 注 当n越大 p越小时 该公式近似程度越好 一般来讲 19 由已知 解 随机变量X的分布律为 得 由此得方程得解 所以 20 4 超几何分布 Hypergeometricdistribution 记X为取出的n个产品中的次品数 则其分布列 超几何分布 21 对于 1 对于 2 注 不放回抽样的随机变量服从超几何分布 22 定理1 注 23 记X为取出的4个产品中的次品数 1 2 3 24 1 不放回抽样 则 即