概率与数理统计第15讲.ppt

1 性质1 若X C C为常数 则Var X 0 性质2 若b为常数 随机变量X的方差存在 则bX的方差存在 且Var bX b2Var X Var aX b a2Var X 结合性质1与性质2就有 2 若随机变量X1 X2 Xn的方差都存在 则X1 X2 Xn的方差存在 且 若随机变量X1 X2 Xn相互独立 则 性质4 n 2时就有 性质3 Var X Y Var X Var Y 2E X EX Y EY 若X Y独立 Var X Y Var X Var Y 3 注 以后若无特殊说明 都认为随机变量的方差大于0 性质5 对任意常数C Var X E X C 2 等号成立当且仅当C E X 4 例1 设X B n p 求Var X 解 引入随机变量 故 则 由于 5 例2 标准化随机变量 设随机变量X的期望E X 方差D X 都存在 且D X 0 则称 为X的标准化随机变量 显然 6 则 例3 设X1 X2 Xn相互独立 有共同的期望和方差 证明 7 例4 已知随机变量X1 X2 Xn相互独立 且每个Xi的期望都是0 方差都是1 令Y X1 X2 Xn 求E Y2 解 由已知 则有 因此 8 例5 设随机变量X和Y相互独立 且X N 1 2 Y N 0 1 试求Z 2X Y 3的期望和方差 由已知 有E X 1 D X 2 E Y 0 D Y 1 且X和Y独立 因此 D Z 4D X D Y 8 1 9 E Z 2E X E Y 3 2 3 5 解 注 由此可知Z N 5 9 9 思考 为什么 一般地 10 C 两个不等式 定理3 2 马尔可夫 Markov 不等式 对随机变量X和任意的 0 有 证明 设为连续型 密度函数为f x 则 11 上式常称为切比雪夫 Chebyshev 不等式 在马尔可夫不等式中取 2 X为X EX得 是概率论中的一个基本不等式 12 例6 已知某种股票每股价格X的平均值为1元 标准差为0 1元 求a 使股价超过1 a元或低于1 a元的概率小于10 解 由切比雪夫不等式 令 13 例7 在每次试验中 事件A发生的概率为0 75 利用切比雪夫不等式求 n需要多么大时 才能使得在n次独立重复试验中 事件A出现的频率在0 74 0 76之间的概率至少为0 90 解 设X为n次试验中事件A出现的次数 的最小的n 则X B n 0 75 而所求为满足 于是 E X 0 75n Var Y 0 75 0 25n 0 1875n 14 P 0 01n X 0 75n 0 01n P X E X 0 01n P 0 74n X 0 76n 可改写为 P X E X 0 01n 15 解得 依题意 取 即n取18750时 可以使得在n次独立重复试验中 事件A出现的频率在0 74 0 76之间的概率至少为0 90 16 定理3 3 内积不等式或Cauchy Schwarz不等式 设EX2 EY2 则有 证明 注意到对任意的t 有 所以g t 作为t的二次多项式 其判别式 0 即 17 4 4协方差和相关系数 问题对于二维随机变量 X Y 已知联合分布 边缘分布 这说明对于二维随机变量 除了每个随机变量各自的概率特性以外 相互之间可能还有某种联系 问题是用一个什么样的数去反映这种联系 数 反映了随机变量X Y之间的某种关系 18 可以证明协方差矩阵为半正定矩阵 19 若Var X 0 Var Y 0 称 为X Y的相关系数 记为 事实上 20 利用函数的期望或方差计算协方差 若 X Y 为离散型 若 X Y 为连续型 21 求cov X Y XY 解 22 23 例9 设 X Y N 1 12 2 22 求 XY 解 24 定理 若 X Y N 1 12 2 22 则X Y相互独立 X Y不相关 因此 25 例10 设 U 0 2 X cos Y cos 是给定的常数 求 XY 解 26 27 协方差的性质 当且仅当 时 等式成立 Cauchy Schwarz不等式 28 相关系数的性质 Cauchy Schwarz不等式的等号成立 即Y与X有线性关系的概率等于1 这种线性关系为 29 X Y不相关 注 X与Y不相关仅仅是不线性相关 可以非线性相关 30 X Y相互独立 X Y不相关 若X Y服从二维正态分布 X Y相互独立 X Y不相关 31 若X Y是两个随机变量 用X的线性函数去逼近Y所产生的均方误差为 当取 使得均方误差最小 例 最小二乘法的思想 若则线性逼近无意义 为什么 32 例11 设 X Y N 1 4 1 4 0 5 Z X Y 求 XZ 解 33 例12 设X N 0 4 Y P 2 XY 1 2 求E X Y 2 解 E X Y 2 E X Y 2 Var X Y 注意到 EX EY 2 Var X Var Y 2cov X Y 把条件代入即得E X Y 2 由题设知 EX 0 Var X 4 EY 2 Var Y 2 XY 1 2 而 34 设二维随机变量 X Y k l为非负整数 mk E Xk 称为X的k阶原点矩 k E X E X k称为X的k阶中心矩 mkl E XkYl 称为X和Y的 k l 阶混合原点矩 kl E X E X k Y E Y l 称为X和Y的 k l 阶混合中心矩 显然数学期望为1阶原点矩