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第五节数列的综合应用 考纲要求能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系 并能用相关知识解决相应的问题 考情分析1 数列的综合应用常以递推关系为背景 考查等差数列 等比数列的通项公式和前n项和公式 2 常在与其他知识的交汇处命题 考查学生的转化化归能力 如与函数 不等式 解析几何等交汇考查 1 审题 仔细阅读材料 认真理解题意 2 建模 将已知条件翻译成数学 数列 语言 将实际问题转化成数学问题 弄清该数列的特征 要求是什么 3 求解 求出该问题的数学解 4 还原 将所求结果还原到原实际问题中 主干知识整合 1 等差模型 如果增加 或减少 的量是一个固定量时 该模型是等差模型 增加 或减少 的量就是公差 2 等比模型 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时 该模型是等比模型 这个固定的数就是公比 答案C 2 在直角坐标系中 O是坐标原点 P1 x1 y1 P2 x2 y2 是第一象限的两个点 若1 x1 x2 4依次成等差数列 而1 y1 y2 8依次成等比数列 则 OP1P2的面积是A 1B 2C 3D 4解析据等差 等比数列的性质 可知x1 2 x2 3 y1 2 y2 4 P1 2 2 P2 3 4 S OP1P2 1 答案A 答案B 4 有一种细菌和一种病毒 每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个 现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒 假设病毒不繁殖 问细菌将病毒全部杀死至少需要A 6秒钟B 7秒钟C 8秒钟D 9秒钟 答案B 已知函数f x logax a 0且a 1 设f a1 f a2 f a3 f an n N 是首项为4 公差为2的等差数列 1 设a为常数 求证 an 成等比数列 高频考点突破 审题指导 1 由 f an 是等差数列可求得f an 再由等比数列的判别方法 证明 an 为等比数列 2 由an确定通项bn 进而可确定Sn的求法 错位相减求和 3 利用恒成立问题转化为最值问题 求参数范围 通性通法 1 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点 特别是等差 等比数列的通项公式 前n项和公式以及等差中项 等比中项问题是历年命题的热点 2 利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值 同时对两种数列的性质 要熟悉它们的推导过程 利用好性质 可降低题目的难度 解题时有时还需利用条件联立方程组求解 误点警示 利用错位相减法求和时应注意作差后的形式 特点是首项和末项可与中间部分 分别求和 数列求最值要注意n取自然数不能失误 1 已知数列 an 为等差数列 且a1 1 bn 为等比数列 数列 an bn 的前三项依次为3 7 13 求 1 数列 an bn 的通项公式 2 数列 an bn 的前n项和Sn 1 设n年内 本年度为第一年 总投入为an万元 旅游业总收入为bn万元 写出an bn的表达式 2 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入 审题指导 解决本题的关键是正确理解题意 根据题意找出第一年投入的金额和旅游业的收入 第二年投入的金额和旅游业的收入 从而根据等比数列写出表达式 在解决第二问时 首先找到不等关系式 然后利用换元法解决 通性通法 1 解等差 等比数列应用题时 首先要认真审题 深刻理解问题的实际背景 理清蕴含在语言中的数学关系 把应用问题抽象为数学中的等差 等比数列问题 使关系明朗化 标准化 然后用等差 等比数列知识求解 这其中体现了把实际问题数学化的能力 也就是所谓的数学建模能力 2 等比数列中处理分期付款问题的注意事项 1 准确计算出在贷款全部付清时 各期所付款额及利息 注 最后一次付款没有利息 2 明确各期所付的数额连同到最后一次付款时所生的利息之和 等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和 只有掌握了这一点 才可顺利建立等量关系 2 某小区进行绿化建设 有如下统计数据 若以后几年仍然依此速度发展绿化 则该小区的绿化覆盖率超过23 5 的最早年份为 年 答案2013 通性通法 数列的渗透力很强 它和函数 方程 三角 不等式等知识相互联系 优化组合 无形中加大了综合力度 所以 解决此类题目仅靠掌握单一知识点 无异于杯水车薪 必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解 深刻领悟它在解题中的重要作用 常用的数学思想方法主要有 函数与方程 数形结合 分类讨论 等价转化 等 解析 1 由于不等式f x 0的解集有且只有一个元素 即x2 ax a 0的解集有且只有一个元素 所以 a2 4a 0 因为a 0 所以a 4 故f x x2 4x 4 所以Sn n2 4n 4 n 2 2 所以当