柱、锥、台的侧、表面积及体积.ppt

空间几何体的表面积和体积 主要知识点归纳 1 把柱体 锥体 台体的面展开成一个平面图形 称为它的 它的表面积就是 的面积 展开图 展开图 2 圆柱 圆锥 圆台的侧面积及表面积S圆柱侧 S柱表 S圆锥侧 S锥表 S圆台侧 S台表 2 rl 2 r r l rl r r l r r l r2 r2 rl rl 3 棱柱 棱锥 棱台的侧面积及表面积1 S直棱柱侧 ch 其中直棱柱的底面周长为c 高为h 2 S正棱锥侧 ch nah 其中a c n h 分别为正棱锥底面的边长 周长 边数和正棱锥的斜高 3 如果正棱台的上 下底面的周长是c c 斜高是h 那么它的侧面积是S正棱台侧 c c h 4 棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和 棱锥的全面积等于底面积与侧面积的和 棱台的全面积等于侧面积与两底面积的和 4 柱 锥 台体的体积V长方体 V正方体 V柱 Sh V锥 Sh 这是柱体 锥体 台体统一计算公式 特别的圆柱 圆锥 圆台还可以分别写成 V圆柱 V圆锥 V圆台 abc a3 r2h r2h h r2 rr r2 5 球的体积及球的表面积设球的半径为R V球 S球 4 R2 基础训练 1 一个长方体有共顶点的三个面的面积分别是则这个长方体对角线的长是 答案 D 解析 设长方体的长 宽 高分别为a b c 2 圆台上 下底面面积分别是 4 侧面积是6 这个圆台的体积是 解析 设圆台上 下底面半径分别为r1 r2 母线长为l 高为h 答案 D 3 用与球心距离为1的平面去截球 所得的截面面积为 则球的体积为 解析 截面圆的半径为1 又球心到截面距离等于1 所以球的半径 答案 B 4 如果一个几何体的三视图如右图所示 单位长度 cm 则此几何体的表面积是 A 80 16 cm2B 96cm2C 96 16 cm2D 112cm2 答案 A 解析 将几何体还原 如图 该几何体是由边长为4的正方体和一个底面边长为4高为2的正四棱锥构成的 在正四棱锥中 可得EG 2 四棱锥的表面积为S1 4 4 2 16 正方体除去一个面的表面积为S2 5 42 80 所以几何体的表面积S 80 16 5 有一个正三棱柱 其三视图如图 则其体积等于 A 3B 1C D 4 解析 由图知该几何体为底面为正三角形的三棱柱 底面三角形高为2 答案 D 类型一 棱柱 棱锥 棱台的表面积 体积 解题准备 求解有关多面体表面积问题的关键是利用几何图形的性质找到其特征几何图形 从而体现出高 斜高 边长等几何元素间的关系 如棱柱的矩形 棱锥中的直角三角形 棱台中的直角梯形等 柱体 锥体 台体的体积公式之间的关系 可表示为 解决不规则几何体的问题应注意应用以下方法 1 几何体的 分割 依据已知几何体的特征 将其分割成若干个易于求体积的几何体 进而求解 2 几何体的 补形 有时为了计算方便 可将几何体补成易求体积的几何体 如长方体 正方体等 例1 如图所示 一个直三棱柱形容器中盛有水 且侧棱AA1 8 若侧面AA1B1B水平放置时 液面恰好过AC BC A1C1 B1C1的中点 当底面ABC水平放置时 液面高为多少 解 当侧面 水平放置时 水的形状为四棱柱形 底面 为梯形 设 的面积为 侧 梯形 水 当底面 水平放置时 水的形状为三棱柱形 设水面高为 则有 水 故当底面 水平放置时 液面高为 评析 两种放置方法中水的形状分别为直四棱柱形和直三棱柱形 利用其体积不变可求得高 当侧面AA1B1B水平放置时 可以想象若水凝固不动 将三棱柱竖起来 则水的形状是四棱柱形 可按直四棱柱计算水的体积 也可用间接法 用大三棱柱的体积减去一个小三棱柱 没有水的部分 的体积 本题解答的关键是利用两种放置方法中水的体积不变建立等式求解 探究1 侧面都是直角三角形的正三棱锥 底面边长为a时 该三棱锥的全面积是 答案 A 探究2 已知正六棱台的上 下底面边长分别为2和4 高为2 则其体积为 A 32B 28C 24D 20 解析 正六棱台上下底面面积分别为 答案 B 例2 已知ABCD A1B1C1D1是棱长为a的正方体 E F分别为棱AA1与CC1的中点 求四棱锥A1 EBFD1的体积 分析 直接求四棱锥A1 EBFD1的体积难以入手 把四棱锥分割为两个三棱锥F A1ED1和F A1EB 而这两个三棱锥体积都易求 解析 如图所示 连结EF 则VA1 EBFD1 VA1 EFD1 VA1 EFB VF A1ED1 VF A1EB S A1ED1 C1D1 SA1EB C1B1 例2 斜三棱柱ABC A1B1C1中 已知侧面BCC1B1的面积为a 侧棱AA1到它的距离为b 求这个棱柱的体积 解题切入点 若棱柱是直棱柱 则由底面积乘以高可得体积 将斜棱柱变为直棱柱 将它 拦腰 垂直截断 两底面对接后就可以得到一个直棱柱 例3 如图 在多面体ABCDEF中 已知ABCD是边长为1的正方形 且 ADE BCF均为正三角形 EF AB EF 2 则该多面体的体积为 解析 如图所示 过BC作与EF垂直的截面BCG 做面ADM 面BCG FO 练习3 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 ACB 90 ACC1 60 BCC1 45 侧棱CC1的长为1 则该三棱柱的高等于 解析 如图 作C1O 底面ABC于点O 过OE BC于E 作OF AC于F 连结C1E C1F 可知C1F FC C1E BC 根据已知条件可得答案 A 例4 如图1 一个正四棱柱形的密闭容器水平放置 其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块 容器内盛有a升水时 水面恰好经过正四棱锥的顶点P 如果将容器倒置 水面也恰好过点P 图2 有下列四个命题 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 将容器侧面水平放置时 水面也恰好过点P 任意摆放该容器 当水面静止时 水面都恰好经过点P 若往容器内再注入a升水 则容器恰好能装满其中真命题的代号是 写出所有真命题的代号 解析 依题意 a升水为容器容积的一半 故 是真命题 是假命题 又容器里面相对四个侧面是对称的 而上下不对称 故 是真命题 是假命题 答案 例5 正四棱台两底面边长分别为a和b a b 1 若侧棱所在直线与上 下底面正方形中心的连线所成的角为45 求棱台的侧面积 2 若棱台的侧面积等于两底面积之和 求它的高 解析 1 如图 设O1 O分别为上 下底面的中心 过C1作C1E AC于E 过点E作EF BC于F 则C1F为正四棱台的斜高 由题意知 C1CO 45 CE CO EO CO C1O1 类型二 圆柱 圆锥 圆台的表面积 体积 解题准备 1 圆柱 圆锥 圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积 因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原几何体的关系是掌握它们的面积公式及解决相关问题的关键 2 计算柱体 锥体 台体的体积关键是根据条件找出相应的底面面积和高 要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面 将空间问题转化为平面问题 例1已知梯形ABCD中 AD BC ABC 90 AD a BC 2a DCB 60 在平面ABCD内 过C作l CB 以l为轴将梯形ABCD旋转一周 求旋转体的表面积 解 如图所示 该几何体是由一个圆柱 一个圆锥构成的 在直角梯形ABCD中 AD a 评析 观察图的角度不同 对几何体的认识不同 解法也不同 解题时要善于多角度分析 找出较好的解法 例2 底半径为1 高为的圆锥 其内接圆柱的底面半径为R 当R为何值时 内接圆柱的体积最大 解 轴截面如图 设圆柱高为h 由圆锥的平行于底面的截面性质得 点评 也可以利用导数求其最值 探究1 已知底面半径为cm 母线长为cm的圆柱 挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点 下底面为底面的圆锥 求所得几何体的表面积和体积 解 如图 圆柱一个底面的面积为圆柱侧面面积为 所挖圆锥的母线长为所挖圆锥的侧面面积为 则所得几何体的表面积为 所得几何体的体积 练习2 圆柱的侧面展开图是长12cm 宽8cm的矩形 则这个圆柱的体积为 解析 分两种情况 1 12为底面圆周长 则2 r 12 r V 2 8为底面圆周长 则2 r 8 r V 答案 C 类型三 球的表面积 体积解题准备 球的表面积与体积都只与半径R有关 是以R为自变量的函数 一个球的半径给定 它的表面积 体积随之确定 反过来 给定一个球的表面积或体积 这个球的半径也就确定了 1 正方体与球棱长为a的正方体的内切球的半径为 外接球的半径为a 2 正四面体与球棱长为a的正四面体的内切球的半径为a 外接球的半径为a 例1如图 正三棱锥的高为1 底面边长为2 内有一个球与它的四个面都相切 求 1 棱锥的全面积 2 内切球的表面积与体积 解 1 底面正三角形的中心到一边的距离为 2 设正三棱锥P ABC的内切球球心为O 连结OP OA OB OC 而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r VP ABC VO PAB VO PBC VO PAC VO ABC 例2 求棱长为a的正四面体外接球与内切球的半径 解 设正四面体A BCD的高为AO1 外接球球心为O 半径为R 如图所示 正四面体的棱长为a 设内切球的半径为r 则正四面体可分割为4个四棱锥O ABC O ACD O ADB O BCD 它们的高均为r 底面恰为正四面体和各个面 VA BCD 4 VO BCD 例3 木星的体积约是地球体积的240倍 则它的表面积约是地球表面积的 解析 设木星半径为r1 地球半径为r2 类型四 由几何体的三视图求几何体的表面积与体积解题准备 简单的组合体 先分割成规则的几何体 然后根据提供的三视图及图形中的数据 能够进行识别和判断 特别要注意三视图的特点 正侧一样高 正俯一样长 俯侧一样宽 例1 一几何体按比例绘制的三视图如图所示 单位 m 1 试画出它的直观图 2 求它的表面积和体积 分析 由三视图 正确的画出几何体的直观图 确定几何体中线段的位置关系及数量关系 解 1 直观图如图所示 2 解法一 由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角 且该几何体的体积是以A1A A1D1 A1B1为棱的长方体的体积的 在直角梯形AA1B1B中 作BE A1B1 则AA1EB是正方形 AA1 BE 1在Rt BEB1中 BE 1 EB1 1 BB1 几何体的表面积S S正方形AA1D1D 2S梯形AA1B1B S矩形BB1C1C S正方形ABCD S矩形A1B1C1D1 解法二 几何体也可以看作是以AA1B1B为底面的直四棱柱 其表面积求法同法一 V直四棱柱D1C1CD A1B1BA 评析 1 由三视图画几何体的直观图 掌握 长对正 宽相等 高平齐 的规则 是确定几何体特征的关键 2 把不规则几何体分割成几个规则几何体或者是补上一部分使之成为规则几何体 是求不规则几何体常用方法 笑对高考第三关成熟关名师纠错 误区 空间几何体面积计算错误 典例如图所示的 OAB绕x轴和y轴各旋转一周 各自会产生怎样的几何体 分别计算其表面积 剖析 解本题易出现的主要错误有 1 错误判断几何体的形状 如绕x轴旋转时漏掉了线段OB所产生的圆面 这样计算时就少了这个圆的面积 2 用错旋转体的面积计算公式 特别是圆台的侧面积公式 导致运算结果错误 正解 绕x轴旋转一周形成的空间几何体是一个上下底面半径分别为2 3 高为3的圆台 挖去了一个底面半径为3 高为3的圆锥 如下图 1 所示 其表面积是圆台的半径为2的底面积 圆台的侧面积 圆锥的侧面积之和 圆台的母线长是 圆锥的母线长是3 绕y轴旋转一周所形成的空间几何体是一个大圆锥挖去了一个小圆锥 如图 2 所示 此时大圆锥的底面半径为3 母线长为3 小圆锥的底面半径为3 母线长为 这个空间几何体的表面积是这两个圆锥的侧面积之和 评析 圆柱 S全 2 r2 2 rh r为底面半径 h为高或母线长 圆锥 S全 r2 rl r为底面半径 l为母线长 圆台 S全 r 2 r2 r l rl r为下底半径 r 为上底半径 l为母线长 球 S球 4 R2 R为球的半径 在解决面积计算问题时 一要看准计算的全面积还是侧面积 二要准确地利用公式 防止出现误用公式 变式 如图所示是一个几何体的三视图 根据图中数据 可得该几何体的表面积是 A 9 B 10 C 11 D 12 解析 这个空间几何体是由球和圆柱组成的 圆柱的底面半径是1 高是3的 球的半径是1 故其表面积是2 1 3 2 12 4 12 12 故选D 答案 D 解题策略 1 几何体的侧面展开图 1 圆柱的侧面展开图是矩形 矩形的长是底面圆的周长 宽是圆柱的母线长 2 圆锥的侧面展开图是扇形 扇形的半径是圆锥的母线长 弧长是圆锥的底面周长 3 圆台的侧面展开图是扇环 扇环上 下弧长分别是圆台的上 下底面圆的周长 2 立体几何中的 截 展 折 拼 是常用的解题技巧和方法 1 截 是指的截面 平行于柱 锥底面的截面以及旋转体的轴截面 它们集中反映了几何体的主要元素的数量关系 是能帮助解题的重要工具 2 展 指的是侧面和某些面的展开图 在有关沿表面的最短路径问题中 就是求侧面展开图上两点间的距离 3 拆 指的是将一个非规则的几何体拆成几个简单的几何体 便于计算 4 拼 指的是将小几何体嵌入一个大几何体中 如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱 有时将一个三棱柱复原成一个四棱柱 有时把一个正方体再拼补成一个相同的正方体 还台为锥 这些都是拼补的方法 快速解题 典 例斜三棱柱ABC A1B1C1中 已知侧面BCC1B1的面积为a 侧棱AA1到它的距离为b 求这个棱柱的体积 解题切入点 若棱柱是直棱柱 则由底面积乘以高可得体积 将斜棱柱变为直棱柱 将它 拦腰 垂直截断 两底面对接后就可以得到一个直棱柱 分析 拦腰 垂直截断 斜棱柱变成了直棱柱 而体积不改变 侧面面积也不变 侧棱到侧面的距离也不变 其体积很容易被求得 详解 如图所示 作截面A2B2C2垂直于侧棱 使原来的两底面ABC与A1B1C1重合 则原斜三棱柱重新组合为一直棱柱 其底面为A2B2C2 棱长仍为AA1的长 设新底面三角形A2B2C2的边B2C2上的高为A2D 由题意 方法与技巧 将斜三棱柱转化为直三棱柱 则可求体积 这种方法在解题时用得不多 它体现了转化思想 快解是补体法 补体后可直接利用公式求得体积 得分主要步骤 垂直截断 重新组合是解此题的关键 表述要清晰 以下计算较为简单 一般不易求错 易丢分原因 不能盲目地套用 底面积 高 a不是棱柱的底面积 b也不是棱柱的高 否则将得到错误结果 教师备选 球的内切 外接问题近年高考中常考查与球有关的组合体问题 一种是内切 一种是外接 解题时要认真分析图形 明确切点和接点的位置 确定有关元素间的数量关系 并作出合适的过球心的截面图 将立体几何问题转化为平面几何问题求解 1 正方体与球棱长为a的正方体的内切球的半径为 外接球的半径为a 2 正四面体与球棱长为a的正四面体的内切球的半径为a 外接球的半径为a 典例求棱长为a的正四面体外接球与内切球的半径 解 设正四面体A BCD的高为AO1 外接球球心为O 半径为R 如图所示 正四面体的棱长为a 设内切球的半径为r 则正四面体可分割为4个四棱锥O ABC O ACD O ADB O BCD 它们的高均为r 底面恰为正四面体和各个面 VA BCD 4 VO BCD 课时作业四十一空间几何体的表面积和体积 1 新创题 易 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积与体积分别为 A 32 12B 32 8C 28 4 8D 28 4 12 一 选择题 解析 根据三视图可知 该几何体为正方体与三棱柱的组合体 其直观图如图所示 正方体的棱长为2 三棱柱的侧棱长为2 底面是等腰直角三角形 且直角边长为2 组合体的表面积等于正方体5个面的表面积与三棱柱两个侧面的面积及两个底面的面积之和 即S 20 4 4 4 28 4 组合体的体积为正方体的体积与三棱柱的体积之和 V 8 4 12 答案 D 2 2010 德州模拟 基础题 易 将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形 其圆心角之比为3 4 再将它们卷成两个圆锥侧面 则两圆锥体积之比为 A 3 4B 9 16C 27 64D 都不对 答案 D 解析 设圆的半径为r 由于两个扇形的圆心角之比为3 4 3 能力题 中 如图所示 在多面体ABCDEF中 已知ABCD是边长为1的正方形 且 ADE BCF均为正三角形 EF AB EF 2 则该多面体的体积为 解析 解法1 该多面体不是规则几何体 不易直接求体积 应将其分割转化为规则几何体 分别过A B作EF的垂线 垂足分别为G H 连DG CH 则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱 解法2 如图所示 取EF中点P 则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥 易知三棱锥P AED和三棱锥P BCF都是棱长为1的正四面体 四棱锥P ABCD为棱长为1的正四棱锥 答案 A 评析 将不规则的几何体分割为若干个规则的几何体 然后求出这些规则几何体的体积 这是求几何体体积的一种常用的思想方法 4 基础题 易 一个正四棱台两底面边长分别为m n 侧面积等于两个底面积之和 则这个棱台的高为 答案 A 5 基础题 易 如图是一个几何体的三视图 根据图中数据 可得该几何体的表面积是 A 9 B 10 C 11 D 12 解析 由三视图知 几何体由圆柱和球组成 球的半径和圆柱底面半径均为1 圆柱的高为3 所求表面积S 4 12 2 12 2 1 3 12 答案 D 6 能力题 中 如图 在等腰梯形ABCD中 AB 2DC 2 DAB 60 E为AB的中点 将 ADE与 BEC分别沿ED EC向上折起 使A B重合于点P 则三棱锥P DCE的外接球的体积为 解析 根据题意折叠后的三棱锥P DCE为正四面体 且棱长为1 以此正四面体来构造立方体 答案 C 二 填空题7 2010 烟台检测 能力题 中 已知三棱柱ABC A1B1C1的体积为V E是棱CC1上一点 三棱锥E ABC的体积是V1 则三棱锥E A1B1C1的体积是 解析 如图 过E作AC BC的平行线EF EG 分别与AA1 BB1交于F G 连结FG 三棱锥E ABC的体积是V1 三棱柱EFG CAB的体积是3V1 三棱柱EFG C1A1B1的体积是V 3V1 8 2010 广州模拟 基础题 易 如图为一几何体的展开图 其中ABCD是边长为6的正方形 SD PD 6 CR SC AQ AP 点S D A Q及点P D C R共线 沿图中虚线将它们折叠起来 使P Q R S四点重合 则需要 个这样的几何体 可以拼成一个棱长为6的正方体 解析 由题意知 将该展开图沿虚线折叠起来以后 得到一个四棱锥P ABCD 如图 其中PD 平面ABCD 因此该四棱锥的体积V 6 6 6 72 而棱长为6的正方体的体积V 6 6 6 216 故需要 3个这样的几何体 才能拼成一个棱长为6的正方体 答案 3 评析 几何体的展开与折叠问题是近几年高考的一个热点内容 通过折叠与展开问题 可以很好地考查学生的空间想象能力以及推理能力 解决折叠与展开问题时 关键是弄清楚折叠与展开前后 位置关系和数量关系变化的情况 画出准确的图形解决问题 9 能力题 中 已知一个凸多面体共有9个面 所有棱长均为1 其平面展开图如图所示 则该凸多面体的体积V 解析 该几何体形状如