数字信号处理讲义-第2章.ppt

1 第2章时域离散信号和系统的频域分析 2 2 1序列的傅立叶变换 FT 和Z变换 3 一 序列的FT的定义及性质 1 1序列傅立叶变换的定义 FT成立的充要条件是序列x n 满足绝对可和的条件 即 FT的反变换 4 例 设 求x n 的FT 解 5 N 4 6 所以 序列的FT是以为周期的函数 表示了信号在频域的分布规律 最高的频率为 1 2序列FT的性质 1 周期性 2 线性 7 3 时移与频移 4 FT的对称性 1 共轭对称序列 共轭反对称序列 实部是偶函数 虚部是奇函数 实部是奇函数 虚部是偶函数 8 2 FT的共轭对称性 1 9 2 10 3 x n 为实序列时 相频 奇函数 幅频 偶函数 4 x n 实 偶对称序列 5 x n 实 奇对称序列 11 6 实因果序列h n 12 因此 实因果序列可以分别用和表示为 13 5 时域卷积定理 6 频域卷积定理 14 7 帕斯维尔 Parseval 定理 Parseval定理的一个重要应用是计算序列能量 一个序列值的平方总和称为 序列能量 即时域中对序列求能量与频域中求能量是一致的 15 16 17 离散傅里叶级数 DFS DiscreteFourierSeries 一个周期为N的周期序列 即 k为任意整数 N为周期周期序列不能进行FT变换 因为其在n 到 都周而复始永不衰减 即不能满足绝对可和 但是 正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达 周期序列也可用离散的傅氏级数来表示 也即用周期为N的正弦序列来表示 二 周期序列的离散傅立叶级数及傅立叶变换表示式 18 2 1周期序列的离散傅立叶级数 设是以N为周期的周期序列 上式中 也是一个以N为周期的周期序列 因此 一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律 19 设是以N为周期的周期序列 因其周期性 可以展开成傅立叶级数 并对n在一个周期N内求和 20 的离散傅立叶级数 用DFS表示 同理 21 所以 可将周期序列分成N次谐波 第K个谐波频率为 基波分量的频率为 因此 一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律 22 是一个周期序列的离散傅里叶级数 DFS 变换对 这种对称关系可表为 习惯上 记 23 DFS变换对公式表明 一个周期序列虽然是无穷长序列 但是只要知道它一个周期的内容 一个周期内信号的变化情况 其它的内容也就都知道了 所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的 因此周期序列与有限长序列有着本质的联系 则DFS变换对可写为 DFS 离散傅里叶级数变换IDFS 离散傅里叶级数反变换 24 2 2周期序列的傅立叶变换表示式 模拟系统中 时域离散系统 25 对于一般的周期序列 令K在 之间变化 上式可简化为 式中 注 上式中 表示单位冲激函数 而表示单位脉冲序列 展开成DFS 第k次谐波为 类似于复指数序列的FT 其FT为 26 三 时域离散信号的傅立叶变换与模拟信号傅立叶变换之间的关系 模拟信号的一对FT变换式为 假定时域离散信号x n 或称序列x n 是由模拟信号采样得到的 即 27 令 代入上式后 再将用代替 得到 将上式的积分区间表示成无限多个积分区间的和 每个积分区间为 28 又 结论 序列的FT是模拟信号的FT以周期为进行周期延拓 频率轴上取值对应关系为 29 5 采样信号 序列和模拟信号FT之间的关系 模拟信号的一对FT变换式为 假定时域离散信号x n 或称序列x n 是由模拟信号采样得到的 即 30 结论 序列的FT是模拟信号的FT以周期为进行周期延拓 频率轴上取值对应关系为 31 所以 模拟折叠频率 对应数字频率 如果满足采样定理 则要求 模拟信号最高频率 不能超过 如果不满足采样定理 则会在 附近引起频谱混叠 对于采样信号来说 有 由此可见 序列的FT与模拟信号的FT之间的关系 与采样信号 模拟信号各自的FT之间的关系一样 32 例 设 进行采样 得到采样信号 和时域离散信号x n 求 的FT变换以及x n 的FT 33 34 同理 按照序列的 与模拟信号 之间的关系式可得到x n 的 或者 将 求括弧中为零时的 35 例题 36 37 38 39 2 5序列的Z变换 序列x n 的Z变换定义为 X z 存在的条件是 40 FT和Z变换之间的关系 即 单位圆上的Z变换就是序列的FT 成立条件是收敛域包含单位圆 41 讨论ZT变换的一一对应性 例 解 结论 ZT变换的表达式 收敛域 与序列一一对应 42 这里主要讨论以下四种序列 a有限长序列序列 序列x n 只在有限长度n1 n2内有值 其余为零 其Z变换X z 是有限项的级数和 只要级数每一项有界 有限项和也有界 所以有限长序列z变换的收敛域取决于 z n n1 n n2 显然 z 在整个开域 0 都能满足以上条件 因此有限长序列的收敛域是除0及 两个点 对应n0不收敛 以外的整个z平面 0 z 如果对n1 n2加以一定的限制 如n1 0或n2 0 则根据条件 z n n1 n n2 收敛域可进一步扩大为包括0点或 点的半开域 43 例1序列x n n 由于n1 n2 0 其收敛域为整个闭域z平面 0 Z 例2矩形序列x n RN n 等比级数求和 44 b右边序列指x n 只在n n1时有值 而n n1时 x n 0收敛域 z Rx 为收敛半径Rx 以外的z平面 由此证明右边序列的收敛域为 z Rx 45 右边序列中最重要的一种序列是 因果序列 即n1 0的右边序列 因果序列只在n 0有值 n 0时 x n 0 其z变换为 Z变换的收敛域包括 点是因果序列的特征 46 c左边序列序列x n 只在n n2有值 n n2时 x n 0收敛域 Z Rx 在收敛半径为Rx 的圆内 47 d双边序列可看作一个左边序列和一个右边序列之和 因此双边序列z变换的收敛域是这两个序列z变换收敛域的公共部分 如果Rx Rx 则存在公共的收敛区间 X z 有收敛域 Rx z Rx 如Rx Rx 无公共收敛区间 X z 无收敛域 不收敛 48 49 50 Z变换小结 Z变换收敛域的特点 1 收敛域是一个圆环 有时可向内收缩到原点 有时可向外扩展到 只有x n n 的收敛域是整个z平面 2 在收敛域内没有极点 X z 在收敛域内每一点上都是解析函数 51 典型序列ZT的收敛域 1 因果序列 x n 0 n 0 2 双边序列 x n 52 3 有限长序列 53 54 55 4 2逆Z变换 C 收敛域中一条逆时针闭合曲线 56 求解方法 留数定理 57 上式成立的条件 F z 的分母阶次应比分子阶次高二阶以上 M阶多项式 N阶多项式 则上式成立的条件是 对于N阶极点 需要求N 1次导数 这是比较麻烦的 若c内有多阶极点 而c外没有多阶极点 则可根据留数辅助定理改求c外的所有极点留数之和 使问题简化 58 例 思路 1 求出F z 的标准形式 2 分析F z 的极点情况 3 根据留数定理求解 对于高阶极点 应尽量避免直接求导 考虑留数辅助定理 59 解 60 n 0时 F z 的极点为 n 0时 F z 的极点为 为了避免对 高阶求导采用下法 61 62 63 64 65 66 4 3ZT变换的主要性质 1 序列移位 2 序列卷积 67 3 复卷积定理 在V平面上 被积函数的收敛域为 W z 的收敛域为 68 4 Parseval定理 z变换的重要性质之一若有两序列x n y n 且X z Z x n Rx z Rx Y z Z y n Ry z Ry 它们的收敛域满足条件 Rx Ry 1 Rx Ry 1则其中 C所在收敛域为X v 和Y 1 V 两者收敛区域的重迭部分Max Rx 1 Ry v min Rx 1 Ry 69 证 令w n x n y n 利用复共轭和复卷积特性 p16表1 2 第7和第10 则由于假设条件中已规定收敛域满足 Rx Ry 1 Rx Ry 因此 z 1在收敛域内 即w z 在单位圆上收敛 w z z 1存在 又因因此证毕 70 如果X v Y v 在单位圆上收敛 则选取单位圆为围线积分途径 这时 Parseval定理的一个重要应用是计算序列能量 一个序列值的平方总和称为 序列能量 即时域中对序列求能量与频域中求能量是一致的 71 2 6利用Z变换分析信号和系统的频域特性 传输函数与系统函数 传输函数 H x n y n 系统函数 72 的物理意义 x n y n 1 求y n 2 求y n 73 解 1 意义 对不同频率的响应不同 令 结论 一复指数序列通过线性系统后输出不增加频率成分 模增加了幅度函数对应大小 相位增加了对应相位函数大小 74 2 设h n 为实序列 则 75 线性时不变离散系统也可用差分方程表示 考虑N阶差分方程 两边取z变换 3 H z 的零极点对系统频响的影响 76 于是上式也可用因子的形式来表示式中 ci di 是H z 在z平面上的零点和极点 A为比例常数 整个系统函数可以由它的全部零 极点来唯一确定 77 用极点和零点表示系统函数的优点是 它提供了一种有效的求系统频率响应的几何方法 一个N阶的系统函数可用它的零极点表示为 系统的频响为 78 79 分析上式表明 频响的模函数由从各零 极点指向点的向量幅度来确定 而频响的相位函数则由这些向量的幅角来确定 当频率 由0 2 时 这些向量的终点沿单位圆反时针方向旋转一圈 由此可估算出整个系统的频响 ej 80 其基本原理是 当单位圆上的ej 点在极点di附近时 分母向量最短 出现极小值 频响在这附近可能出现峰值 且极点di越靠近单位圆 极小值越小 频响出现的峰值越尖锐 当di处在单位圆上时 极小值为零 相应的频响将出现 这相当于在该频率处出现无耗 Q 谐振 当极点超出单位圆时系统就处于不稳定状态 对于现实系统 这是不希望的 对于零点位置 频响将正好相反 ej 点越接近某零点ci 频响越低 因此在零点附近 频响出现谷点 零点越接近单位圆 谷点越接近零 零点处于单位圆上时 谷点为零 即在零点所在频率上出现传输零点 零点可以位于单位圆以外 不受稳定性约束 这种几何方法为我们认识零 极点分布对系统性能的影响提供了一个直观的概念 这一概念对系统的分析和设计都十分重要 81 例 Im z 82 0 83 零点在单位圆上0 处 极点在 附近 84 例有限长单位脉冲响应0 a 1求其频率响应特性 解 如果a为正实数 H z 的零点为这些零点分布在 z a的圆周上 对圆周进行M等分 它的第一个零点k 0 恰好与分母上的极点 z a 抵消 因此 整个函数H z 共有下图给出M 8 0 a 1时的系统特性 幅频的峰值出现在 0 因为该处无零点 被极点对消 每一零点附近的频率响应均有陷落 呈现出M次起伏 当M无限增大时 波纹趋于平滑 系统函数趋于书上一阶系统的结果 85 86 上例中的单位脉冲响应是一个有限长序列 这种系统称为 有限长单位脉冲响应系统 简写为FIR系统 相应地 当单位脉冲响应长度无限时 则称为 无限长单位脉冲响应系统 简写为IIR系统 系统函数的一般成可改写为 b0 1 我们知道有限度序列的z变换在整个有限z平面 z 0 上收敛 因此对于FIR系统 H z 在有限z平面上不能有极点 如分子 分母无公共可约因子 则H z 分母中全部系数bi i 1 2 N 必须为零 故只要bi中有一个系数不为零 在有限z平面上就会有极点 这就属于IIR系统 bi不为零就说明需要将延时的输出序列y n i 反馈回来 所以 IIR系统的结构中都带有反馈回路 这种带有反馈回路的结构称为 递归型 结构 IIR系统只能采用 递归型 结构 而FIR系统一般采用非 递归型 结构 但是 采用极 零点抵消的方法 FIR系统也可采用 递归型 结构 IIR FIR构成数字滤波器的两大类 87 例 已知 分析其幅频特性 解 H z 的极点为z 0 为一个N阶极点 不影响系统的频响 零点有N个 由分子多项式的根决定 梳壮滤波器 88 Z域利用H z 的极点分布分析系统的因果性和稳定性 因果系统 H z 的收敛域包含 收敛域在某个圆外 即Rx Z 稳定系统 收敛域包含单位圆 因果稳定系统 收敛域包含点和单位圆 可表示成 这样H z 的极点集中在单位圆的内部 89 例 1 若系统稳定 试确定a b的值域 2 若系统因果稳定 试确定a b的值域 解 1 若系统稳定 则极点不能在单位圆上 所以 2 若系统因果稳定 则极点在单位圆内 所以 90 例 已知 0 a 1 分析其因果性和稳定性 解 H z 的极点为 1 收敛域 对应的系统为因果系统 但由于收敛域 不包含单位圆 是不稳定系统 单位脉冲响应 2 收敛域 对应的系统为非因果且不稳定系统 3 收敛域 对应的系统为非因果但稳定 91 利用z变换解差分方程 设N阶线性常系数差