四边形辅助线专题训练.doc

各种辅助线作法一与平行四边形有关的辅助线作法1利用一组对边平行且相等构造平行四边形：当涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可通过添加辅助线构造平行四边形.例1. 如图，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分. 2利用两组对边平行构造平行四边形：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题.例2. 如图，在ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED/AC，FG/AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.3利用对角线互相平分构造平行四边形：利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.例3. 已知AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC. 二、和菱形有关的辅助线的作法：连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.常见的方法：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.例4. 如图，在ABC中，ACB=90，BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF/BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.例5 .如图，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长. 三、 与矩形有辅助线作法 ：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.例6.如图，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长. 四、与正方形有关辅助线的作法：作对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例7.如图，过正方形ABCD的顶点B作BE/AC，且AE=AC，又CF/AE.求证：BCF=AEB. 四、与梯形有关辅助线的作法：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4）延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等.例8. 已知，如图9，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=AC，BAC=90，BD=BC，BD交AC于点0.求证：CO=CD. 例9 .等腰梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，AD+BC=10，DEBC于E.求DE的长. 说明:当有对角线或垂直成梯形时,常作梯形对角线的平行线,构造平行四边形,等腰三角形或直角三角形来解决. 六与中点有关的辅助线作法1、有中线时可倍长中线，构造全等三角形或平行四边形 例10已知：如图，AD为中线，求证：.ABDC类题10已知：如图，AD为的中线，AE=EF.求证：BF=AC.ABDCEF2.有以线段中点为端点的线段时，加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形.APMQBC例11已知：如图，在中，M为AB中点，P、Q分别在AC、BC上，且于M.求证：.3.有中点时，可连结中位线ADPBCQEMN例12(1)如图，中，D、E分别为AB、AC上点，且BD=CE，M、N为BE、CD中点，连MN交AB、AC于P、Q，求证：AP=AQADFEBC(2)E、F分别为四边形ABCD的对角线中点，ABCD.求证：.例13如图，中，AD是高，CE为中线，G为垂足，DC=BE.求证：（1）G是CE的中点；（2）.AEDGCB4.有底边中点，连中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题例14已知：如图，在中，AB=AC，D为BC边中点，P为BC上一点，于F，于E.求证：DF=DE.AFEDPCB例15矩形ABCD，E为CB延长线上一点，且AC=CE，F为AE中点，求证：BDCFEA6. 与梯形中点有关的辅助线：有腰中点时，常见以下三种引辅助线法ADFBC（1）EADBC（2）EGADBC（3）EE例16在直角梯形ABCD中，ADBC，M为CD的中点.求证：AM=MB.ABDMC七和中位线有关辅助线的作法例17.如图，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.遇中点，常作中位线，借助中位线的性质解题. 【课下作业】1、 ABC和DBE为等腰直角三角形，ABC=DBE=90，A、B、D在同一直线上，M、N、P分别是AD、AC、DE边上的中点，说明MP与MN的关系并证明。NMPEDCBA2、如上题A、B、D不在同一直线上，其余条件不变，上述结论是否发生变化？NMPEDCBA3、 平行四边形ABCD，对角线相交于点O，P、E、F分别是AD、OB、OC的中点，AC=2AB。求证：PE=EFABCDOEPF4、等腰梯形ABCD中，DCAB，AOB=60，E、F、M分别是OD、OA、BC的中点。求证：EFM是等边三角形。ABCDEFMO5、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P、Q分别是AD、BC、BD、AC的中点。求证：MN与PQ互相垂直平分。ABCDMNPQ6、ABC中，E是AB的中点，CD平分ACB，ADCD，垂足为点D，求证：2DE=BC-ACABCDEMN7、BD、CE分别为ABC外角平分线，AMBD于M，ANCE于N，探究MN与AB、BC、AC的关系。BCDEAPGF8、 ABC中，AB=AC，BAC=，在AB、AC上截取AD、AE，且AD=AE，连结DE。如图1，易证BD=CE，如图2，将ADE逆时针针旋转到如图所示位置，连结BD、CE。（1）判断BD与CE的数量关系及BD、CE延长线所夹锐角的度数。BCDEABCDEAABCDEBCDE（2）点G、F分别是等腰ABC、等腰ADE底边的中点，BAC=DAE=，点P是线段CD的中点，试探索GPF与的关系，并加以证明。9、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形请解答下列问题：（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；（2）如图1，在ABC 中，AB=AC，点D在BC上，且CD