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1 Email yc517922 数理方程与特殊函数 任课教师 杨春 数学科学学院 2 本次课主要内容 一 拉普拉斯变换的定义 二 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯变换的定义与性质 三 展开定理 3 1 拉普拉斯变换的引入 一 拉普拉斯变换的定义 该条件很苛刻 很多常用函数都不满足条件 1 如 x sinx cosx 等 傅立叶变换存在的条件为 充分条件 f x 在 绝对可积 2 f x 在任意有限区间分段光滑 同时 在应用上 要能够使用傅立叶变换 必须要求对应变量是全无界变量 但在物理和无线电等技术中 许多涉及时间的问题不满足该要求 4 为了克服傅立叶变换的两大缺点 我们采用如下两个方法 其二 对函数f x 采取如下衰减处理 其一 对给定的在 0 上的函数f x 引进新函数f1 x 使得在x 0时 其函数值为0 于是 对函数f x 我们引进 5 函数f1 x 的傅立叶变换就可能存在 此时有 令 s i 则 2 拉普拉斯变换的定义 积分变换 称为函数f x 的拉普拉斯变换 其中s i 记为 6 下面 考虑f x 的拉普拉斯逆变换 在 0 内 有 所以 有 7 称 为函数f s 的拉普拉斯逆变换 记为 3 拉普拉斯变换存在定理 存在定理 若函数f x 满足如下条件 1 当x0时 f x 在任一有限区间上分段连续 2 当x 时 存在常数M及 0 0 使 8 那么 函数f x 在半平面Res 0上存在拉普拉斯变换 且f s 解析 证明 1 所以 函数f x 在半平面Res 0上存在拉普拉斯变换 9 取 1 0 1是任意实常数 则有 2 证明f s 解析 先证明 积分在半平面Res 0上一致收敛 10 说明积分 在半平面Res 0上一致收敛 所以 可交换积分与微分次序 即 于是得 11 所以 f s 的导数在半平面Res 0上处处存在且有限 因此 函数f x 在半平面Res 0上存在拉普拉斯变换 且f s 解析 注 1 拉普拉斯变换存在定理的条件是充分的 2 物理学和工程技术中遇到的函数大都能够满足这两个条件 因为 一个函数的增大要求不超过某指数函数的增大与要求函数绝对可积相比较 后者的条件强得多 例如 三角函数sinkx coskx 幂函数tm等都存在拉普拉斯变换 但其傅立叶变换都不存在 所以 拉普拉斯变换在物理和工程技术中比傅立叶变换用得更为普遍 12 例1求函数f x 的拉普拉斯变换 4 利用定义求函数的拉普拉斯变换 13 解 1 由拉氏变换定义有 14 2 由拉氏变换定义有 15 同理 3 由拉氏变换定义有 16 注 在求函数f x 的拉普拉斯变换时 结果中必须标明像函数的定义域 二 拉普拉斯变换的基本性质 性质1 线性定理 证明 17 例2求L shax L chax a为任意常数 解 由拉氏变换定义与线性定理有 18 同理 19 性质2 延迟定理 证明 因为u 0时 f u 0 所以 所以 20 例3求L xe x 性质3 位移定理 设a为复数 则 解 由位移定理 而 所以 21 性质4 相似定理 证明 22 证明 证明一阶情形 性质5 原象的导数定理 由归纳法可证明一般情形 23 证明 性质6 积分定理 所以 由微分定理 即 24 性质8 像函数的积分定理 证明 25 证明 证明n 1的情形 性质7 象的导数定理 由归纳法可证明一般情形 26 证明 性质9 卷积定理 卷积定义 27 性质10 函数的变换 28 性质应用举例 例4求下列函数的拉氏变换 解 1 令 f t tm 则f m t m 且 由微分定理 29 2 由于 由位移定理得 30 3 由像函数微分性质 同理 31 三 展开定理 用逆变换公式求原像 通常比较困难 但是当像函数满足一定条件时 可以采用复变函数论中计算留数的方法 下面介绍一个计算拉氏逆变换的展开定理 定理 设函数f s 满足条件 1 在开平面内f S 的全部奇点为s1 s2 sn 且都分布在半平面Res 0上 2 极限等式成立 那么 f s 的原像公式为 32 其中 Res f s esx sk 表示f s esx对应于奇点sk的留数 2 奇点 不解析的点 分为3类 1 可去奇点 即罗朗展式中没有非零负幂项 2 本性奇点 即罗朗展式中有无穷非零负幂项 3 极点 即罗朗展式中有有穷非零负幂项 说明 1 当x 0时 有 33 3 极点z0的阶 若 则极点z0的阶为m 4 留数公式 若z0为f z 的m阶极点 则 展开定理应用举例 34 例5求的逆变换 解 因为f s